Бесконечная сетка планет с ньютоновской гравитацией

Чтобы сказать, что конфигурация находится в равновесном состоянии, нужно сказать, что результирующая сила, действующая на каждую планету, равна нулю. Однако, чтобы определить результирующую силу (если вы математик), вам нужно выбрать и обосновать правило регуляризации суммы, которая не является абсолютно сходящейся. Правило, которое вы, кажется, выбрали, ограничивает концентрические шары с центром в рассматриваемой планете. Этот метод дает удобный ответ о нулевой результирующей силе.

Вы можете спросить, почему этот метод предпочтительнее какого-либо другого метода регуляризации. Например, если вы выбрали предел для все более крупных эллипсоидов с одинаковым эксцентриситетом, для которых одним фокусом является рассматриваемая планета, а другой фокус смещен в определенном направлении в плоскости, вы получите силу притяжения в этом направлении. . Это допустимый метод суммирования в том смысле, что вклад всех планет в конечном итоге учитывается при вычислении чистой силы, действующей на планету.

Одним из преимуществ сферической регуляризации по сравнению с эллипсоидальным методом является то, что он инвариантен к жестким движениям, и фактически любой метод регуляризации, инвариантный к отражениям или вращениям, даст вам нулевой ответ. Это делает равновесие эстетически естественным ответом, но это не обязательно означает, что оно дает правильный ответ. В частности, я думаю, что установка достаточно отделена от реальных физических ситуаций, так что предпочтение симметрии не оправдывает регуляризацию, поэтому я бы сказал, что на этот вопрос нет четко определенного ответа (но физики могут не согласиться).

Это очень тонкий предел общей теории относительности, в котором оценка неопределенных форм становится важной.

Во-первых, обратите внимание, что из-за однородной плотности материи гравитационный потенциал не будет вести себя хорошо. Это должно было бы удовлетворить

$$\Delta \Phi \sim \rho_{\rm planets}$$ но поскольку правая сторона однородна (на расстояниях, превышающих шаг сетки), вам понадобится что-то вроде $$\Delta = C\vec x\cdot \vec x$$ Это плохо, потому что гравитационный потенциал явно стремится к бесконечности на бесконечности, и есть только одно место, в котором гравитационный потенциал стационарен. Все остальные планеты почувствуют силу. Однако вы также можете игнорировать гравитационный потенциал и рассматривать только его градиент. Точно так же вы можете добавить ньютоновский «космологический постоянный член» $$\Delta \Phi \sim \rho_{\rm planets} -\rho_0$$ Здесь космологический постоянный член $\rho_0$может быть выбран для отмены среднего значения $\rho_{\rm planets}$. Это дополнительное добавление $\rho_0$не повлияет на ускорения и силы, потому что он полностью однороден.

Поэтому, если вы настаиваете на стандартных формулах для гравитационного потенциала и запрещаете космологическую постоянную любого вида, эта установка не может быть в равновесии. Однако, если вы позволите добавить постоянную энергию вакуума и вычесть среднюю плотность, поступающую от планетарной сетки, вы можете получить стационарное состояние, подобное нерелятивистской версии статической Вселенной Эйнштейна, в которую Эйнштейн хотел верить в общей теории относительности. (что оказалось неверным, когда Хаббл наблюдал за расширением Вселенной).

Подобно статической Вселенной Эйнштейна, эта однородная конфигурация материи нестабильна. Небольшое отклонение начнет разрушать сетку и заставлять планеты слипаться, превращая часть их потенциальной энергии в кинетическую энергию и хаотическое движение.

Кстати, если вы вообще не хотите использовать гравитационный потенциал, вы можете просто вычислить ускорения. Ваше рассуждение, в результате которого вы получите «равновесный» ответ, основано на симметрии. Ускорение от других планет пропорционально интегралу

$$\int \frac{\vec r}{r^3} r^2 dr$$ записаны в сферических координатах. Согласно симметрии, можно утверждать, что она обращается в нуль, поскольку подынтегральная функция является нечетной функцией. Однако это верно только в отношении происхождения, которое должно выбираться по-разному для каждой планеты-зонда. Если вы сместите центр сферических координат, вы неизбежно получите другой результат. Эта проблема математически изоморфна «аномалиям», возникающим из-за линейных расходимостей в квантовой теории поля. В каком-то смысле эта теория плохо определяется вашей планетарной сеткой.

Что ж, на главный вопрос о двумерной сетке в 3+1-мерном пространстве-времени уже ответили Любош Мотл и Скотт Карнахан с основным выводом, что и сумма потенциалов, и сумма сил не являются абсолютно сходящимися, и, следовательно, математически не хорошо поставленный.

По поводу бонусного вопроса о сетке размерности$d$, очевидно, что трехмерная сетка только ухудшит ситуацию, что оставляет нам одномерную сетку, скажем, одиночный ряд планет вдоль$x$-ось в положении$x\in a\mathbb{Z}$, куда$a$размер сетки. Соответствующая сумма потенциалов логарифмически расходится, но сумма сил на самом деле абсолютно сходится, поэтому здесь расчет имеет строгий смысл. Если мы назовем единичный вектор в$x$-направление на$\hat{x}$, то сила притяжения на планете$P$в$\vec{r}=\vec{0}$является

$$\vec{F}~=~\frac{Gm^2}{a^2}\hat{x}\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{n}{|n|^3}~=~\vec{0},$$

который равен нулю на$n\leftrightarrow -n$симметрия, как и ожидалось.