Что такое регуляризация в QFT?

Определенный ответ на ваш вопрос таков: не существует математически точного, общепринятого определения термина «процедура регуляризации» в пертурбативной квантовой теории поля.

Вместо этого существуют различные схемы регуляризации со своими преимуществами и недостатками.

Может быть, вы найдете Главу B5: Расхождения и перенормировка моего часто задаваемых вопросов по теоретической физике на http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html . Там я пытаюсь абстрагироваться от общих черт и в общих чертах объяснить, что необходимо для того, чтобы перенормировка заработала. Общее мнение состоит в том, что детали схемы регуляризации не имеют значения, хотя на самом деле известно, что иногда некоторые схемы регуляризации дают явно неверные результаты.

Этого и следовало ожидать, поскольку нерегуляризованная теория плохо определена и может быть определена корректно различными способами, точно так же, как расходящийся бесконечный ряд может иметь бесконечно много различных значений в зависимости от того, как вы группируете термины, чтобы суммировать их.

Если когда-нибудь в будущем и будет положительный ответ на ваш вопрос, то, скорее всего, только тогда, когда кто-то найдет логически обоснованное непертурбативное определение класса перенормируемых квантовых теорий поля.

С другой стороны, если вы хотите иметь математически строгую трактовку некоторых конкретных схем регуляризации для некоторых конкретных теорий, вам следует прочитать книги (i) Salmhofer, Renormalization: an Introduction, Springer 1999, и (ii) Scharf, Finite квантовая электродинамика: причинный подход, Springer 1995.

Я собираюсь дать глупый ответ, но я думаю, что это лучшее, что мы можем сделать. Регулятор - это любое предписание для определения интеграла по траекториям таким образом, чтобы после добавления суммы локальных контрчленов к действию и разрешения зависимости физических связей от масштаба перенормировки$\mu$, корреляционные функции равны функциям, полученным при переходе к континуальному пределу теории решетки. По мотивам это похоже на ваше последнее редактирование, за исключением того, что нам действительно нужно использовать решетку вместо обрезания евклидова импульсного пространства, потому что последнее нарушает калибровочную инвариантность.

Я пессимистично настроен по поводу существования лучшего ответа только потому, что некоторые регуляторы удовлетворяют некоторым хорошим свойствам (т. е. унитарности, симметрии и т. д.), а другие — нет.

Как вы сказали, регуляризация необходима даже для того, чтобы начать понимать диаграммы, которые появляются в теории возмущений. Слово «возмущение» уже содержит намек на ответ, который вы, возможно, ищете. Если вы пытаетесь понять теорию взаимодействия$d\nu$возмущением, это подразумевает, что кто-то возмущается, а именно свободная теория$d\mu$. Я думаю, что регуляризация является особенностью пары$d\nu,d\mu$скорее, чем$d\nu$один. Например, возьмем функциональную меру$d\mu$соответствует обычному свободному полю

$$d\mu(\phi)=\frac{1}{Z}e^{-\frac{1}{2}\int \{(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\}} D\phi$$ и разреши $d\nu(\phi)=\frac{1}{Z'}e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$куда $V$Ваш любимый потенциал взаимодействия, например, $$V(\phi)=g\int \phi^4\ .$$ Позволять $\rho(x)$быть смягчителем (не уверен, как это пишется), т. е. гладкой функцией с быстрым затуханием или даже компактной поддержкой вокруг начала координат с $\int \rho=1$. Позволять $\rho_r(x)=2^{-dr}\rho(2^{-r} x)$куда $d$- размерность (евклидова пространства-времени) и $r\rightarrow -\infty$является отсечкой УФ. Тогда, если обозначить через $d\mu_r$закон $\rho_r\ast\phi$с $\phi$выборка по свободной вероятностной мере $d\mu$, имеет место слабая сходимость $d\mu_r$к $d\mu$когда $r\rightarrow-\infty$. В этом смысле модификация, которую мы делаем, представляет собой разумную регуляризацию меры $d\mu$. Теперь при ближайшем рассмотрении $e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$не имеет никакого смысла. Однако $e^{-V(\phi)}d\mu_r(\phi)$это прекрасно. Таким образом, игра становится попыткой получить $d\nu$как предел мер $d\nu_r(\phi)=\frac{1}{Z_r}e^{-V_r(\phi)}d\mu_r(\phi)$когда $r\rightarrow -\infty$. Обратите внимание, что я изменил $V$в $V_r$потому что теория перенормировки говорит нам, что мы должны позволить связям типа $g$и т.д. зависит от отсечки $r$.

Если удастся такое построение взаимодействующей теории$d\nu$, независимость от регуляризации можно понимать как демонстрацию независимости результата от выбора смягчителя$\rho$(реуляризация теплового ядра или Паули-Вилларс являются частными случаями).

В родственном контексте сингулярных SPDE недавний прогресс был достигнут Хайрером с его теорией структур регулярности (см. Также этот педагогический обзор ). Важной особенностью этой теории является то, что она позволяет доказывать аналогичные утверждения о независимости в отношении выбора процедуры регуляризации. В статье «Вторично-квантованная теорема Колмогорова-Ченцова» я также даю общую процедуру формирования произведений случайных распределений Шварца благодаря разложению операторного произведения Вильсона. Там тоже нужно ввести регуляризацию, а затем контролировать ее удаление. Более того, конечный результат не зависит от выбора регуляризации.

Заметим, что нет причин ограничивать приведенные выше рассуждения возмущенными теориями.$d\mu$которые являются гауссовыми. В некотором смысле конформная теория возмущений касается подобных возмущений вокруг других нетривиальных КТП.

Конечно, в пространстве Фурье пропагатор для$d\mu_r$является

$$\frac{|\widehat{\rho}(2^r p)|^2}{p^2+m^2}$$ но я предпочитаю определение в $x$пространство как свертка, поскольку это сводится к взятию локальных средних значений и является непрерывным аналогом процедуры вращения блока Каданова.

Кстати, понятие регуляризации не является исключительным свойством КТП, оно часто используется в математической теории распределения как инструмент для доказательства различных теорем и работы с нелинейными операциями. Во французской литературе по этому вопросу Лорана Шварца и многих других крылатой фразой является «тронкатура и регуляризация», т. Е. Использование ИК- и УФ-отсечки соответственно.

Регуляризация — это переписывание вашего интеграла, чтобы вы могли обрабатывать его расходимости, используя другие приемы.

Например, в КТП вы вычисляете некоторую амплитуду до определенного порядка в теории возмущений. Интегралы, представляющие петлевые диаграммы, расходятся. Наиболее распространенная процедура регуляризации называется размерной регуляризацией, когда вы параметризуете размерность вашего интеграла цикла, например, d = 4-c.

Получается, что ваш интеграл расходился при большом импульсе, следовательно, у него была отрезана ветвь. Теперь, после размерной регуляризации, расхождение ветвей стало простым полюсом при c=0. Как известно, с простым шестом справиться легче, чем с веткой.

После того, как ваш интеграл станет более управляемым, вы можете перенормировать, а затем разделить расходящиеся и конечные части вашего результата. В конечном итоге вы используете другие приемы для удаления расходящейся части, например, добавляете контрчлены к вашему лагранжиану.

У вас есть теория, затем вы вычисляете какую-то физическую величину, затем вы получаете некоторое расхождение. Идея «регуляризации» состоит в том, чтобы определить другую теорию, зависящую от некоторого параметра, когда пусть параметр стремится к некоторому значению (скажем, d-> 4, Λ-> бесконечность, длина решетки к нулю...), что другая теория будет стремиться к оригинальной теории. Эта процедура гарантирует, что вы получите конечный результат, но когда параметр примет какое-то значение, вы восстановите исходную теорию.

Следующим шагом является «перенормировка». Мы используем регуляризованную теорию для вычисления некоторых основных физических величин, таких как масса, амплитуда рассеяния. Все другие физические величины могут быть выражены этой основной величиной, чудо «перенормируемой теории» заключается в том, что эти выражения не имеют отношения к параметру.