Как можно использовать магниты для подъема кусков металла, если сила магнитного поля не действует?

Сила Лоренца$\textbf{F}=q\textbf{v}\times\textbf{B}$никогда не действует на частицу с зарядом$q$. Это не то же самое, что сказать, что магнитное поле никогда не работает. Проблема в том, что не каждую систему можно корректно описать как единую изолированную точечную зарядку.

Например, магнитное поле действует на диполь при изменении ориентации диполя. Неоднородное магнитное поле также может совершать работу над диполем. Например, предположим, что электрон с магнитным дипольным моментом$\textbf{m}$ориентированный вдоль$z$оси, освобождается в состоянии покоя в неоднородном магнитном поле, имеющем ненулевую$\partial B_z/\partial z$. Тогда электрон чувствует силу$F_z=\pm |\textbf{m}| \partial B_z/\partial z$. Эта сила разгоняет электрон из состояния покоя, придавая ему кинетическую энергию; он работает на электроне. Подробнее об этом сценарии см . в этом вопросе .

Вы также можете иметь составные (не фундаментальные) системы, в которых части взаимодействуют посредством других типов сил. Например, когда проводник с током проходит через магнитное поле, поле совершает работу над проводом в целом, но поле не совершает работу над электронами.

Когда мы говорим, что «поле действует на проволоку», это утверждение допускает некоторую интерпретацию, потому что проволока скорее составная, чем фундаментальная. Работа определяется как механическая передача энергии, где «механический» предназначен для того, чтобы отличить передачу энергии посредством макроскопически измеримой силы от передачи энергии в микроскопическом масштабе, как при теплопроводности, которая не считается формой работы. В примере с проволокой любое макроскопическое измерение подтвердит, что поле воздействует на проволоку силой, и эта сила имеет составляющую, параллельную движению проволоки. Поскольку работа определяется операционально в чисто макроскопических терминах, поле определенно совершает работу на проводе. Однако в микроскопическом масштабе происходит следующее: поле воздействует на электроны силой,электрические силы на объемное вещество провода. Итак, если смотреть на макроскопический уровень (на котором определяется механическая работа), работа выполняется магнитным полем, а на микроскопическом уровне она выполняется электрическим взаимодействием.

Это похожая, но более сложная ситуация, когда вы используете магнит, чтобы поднять скрепку; магнит действует на скрепку в том смысле, что макроскопически наблюдаемая сила имеет составляющую в направлении движения скрепки.

Хотя того, что сказали Бен и другие, может быть достаточно, я хотел бы изложить свою точку зрения.

Рассмотрим кусок проводника, поднимаемый магнитной силой. Течение направлено вправо (со скоростью$w$), и магнитное поле входит в страницу . Следовательно, магнитная сила направлена ​​вверх . Теперь, когда проводник движется вверх , он приобретает скорость$u$в восходящем направлении. Следовательно, магнитная сила меняет направление , как показано на рисунке, но направленная вверх составляющая остается неизменной .

Теперь обратите внимание, что горизонтальная составляющая магнитной силы действует против тока. Чтобы поддерживать ток, батарея , отвечающая за ток, работает против этой силы и является источником выполненной работы.

Популярным аналогом в классической механике является роль нормальной силы в толкании блока вверх по склону. Нормальная сила не работает, но требуется, чтобы переместить блок вверх по склону. Его роль заключается в том, чтобы просто перенаправить$F_{mop}$в восходящем направлении. Именно такова роль магнитной силы в подъеме вещей.

Источник образов и знаний: Введение Гриффитса в электродинамику.

Сила Лоренца — единственная сила, действующая на классическую заряженную точечную частицу (заряд$q$- см. ответ Бена Кроуэлла о неклассических частицах с фундаментальным магнитным моментом, таких как электрон). Магнитная составляющая силы Лоренца$q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$, как известно, всегда находится под прямым углом к ​​скорости$\mathbf{v}$, поэтому работа, совершаемая «непосредственно» магнитным полем, отсутствует.$\mathbf{B}$на эту заряженную частицу.

Однако утверждение, что магнитное поле вообще не может выполнять работу, вводит в заблуждение, потому что:

1. Изменяющееся во времени магнитное поле всегда порождает электрическое поле, которое может совершать работу над классическим точечным зарядом — с этой точки зрения вы не можете разделить электрическое и магнитное поля. «Выполнение работы» — это внесение изменений в систему, а «извлечение работы из системы» — это позволить системе измениться, чтобы она могла работать на вас. Так что мы всегда говорим о динамическом поле, говоря о переносе энергии, и в этой ситуации вы должны думать об электромагнитном поле как о едином целом. В этом заключается часть смысла уравнений Максвелла ротора (законов Фарадея и Ампера). Более того, когда вещи (то есть заряды и элементы тока) приходят в движение, иногда становится легче думать о силах из систем отсчета, стационарных по отношению к ним: тогда преобразования Лоренца «смешивают»
2. Классический точечный заряд, принадлежащий сложной системе (например, «классический» электрон в металлической решетке в проводе), на который действует магнитное поле через$q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$давит на провод вбок (на самом деле он немного смещается вбок, пока дисбаланс заряда, возникающий из-за его смещения, не порождает электрическое поле, поддерживающее его в решетке против силы магнитного поля). Магнитное поле не ускоряет заряд, поэтому оно не действует непосредственно на заряд, но боковая тяга, передаваемая через заряд, может совершать работу на окружающей решетке. Элементы тока, не выровненные с магнитным полем, имеют крутящие моменты через тот же механизм, и эти крутящие моменты могут совершать работу. Эти механизмы лежат в основе электродвигателей.
3. Другой способ суммировать утверждения 1. и 2. состоит в том (как более подробно обсуждается ниже), что магнитное поле имеет плотность энергии$\frac{|\mathbf{B}|^2}{2\mu_0}$. Чтобы использовать энергию этого поля, вы должны позволить магнитному полю уменьшаться со временем, а электрическое поле, возникающее из-за изменяющегося во времени магнитного поля, может воздействовать на заряды, чтобы восстановить работу, хранящуюся в магнитном поле.
4. Представление о токовых элементах, сжатых до бесконечно малых размеров, является классической мотивацией для размышлений о взаимодействии между магнитными полями и неклассическими частицами с фундаментальными магнитными моментами, как в ответе Бена Кроуэлла (я говорю мотивация, потому что, если вы зайдете слишком далеко с классической точки зрения с этим один вы должны думать об электронах как о распределенных зарядах, вращающихся так быстро, что их внешние поверхности будут двигаться со скоростью, превышающей скорость света - идея, которая привела Вольфганга Паули в сильное вращение).

Мы можем представить большинство механизмов, обсуждаемых в утверждениях 1 и 2, в виде символов: предположим, мы хотим создать систему токов с плотностью тока$\mathbf{J}$в идеальных проводниках (чтобы не было омических потерь). Вокруг токов есть магнитное поле; если мы захотим увеличить токи, мы вызовем изменение этого магнитного поля во времени, откуда электрическое поле$\mathbf{E}$что отталкивает наши потоки. Таким образом, в динамический период, когда наш ток изменяется, чтобы поддерживать его возрастание, мы должны совершать работу на единицу объема над токами со скоростью$\mathrm{d}_t w = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$.

Однако мы можем переписать нашу текущую систему$\mathbf{J}$с помощью закона Ампера:

$\mathrm{d}_t w = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} = -(\nabla \wedge \mathbf{H}) \cdot \mathbf{E} + \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \partial_t \mathbf{E}$

затем с помощью стандартного тождества$\nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})=(\nabla \wedge \mathbf{E})\cdot\mathbf{H} - (\nabla \wedge \mathbf{H})\cdot\mathbf{E}$мы можем написать:

$\mathrm{d}_t w = -(\nabla \wedge \mathbf{E}) \cdot \mathbf{H} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+\partial_t\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2\right)$

а затем с помощью закона Фарадея:

$\mathrm{d}_t w = +\mu_0 \mathbf{H} \cdot \partial_t \mathbf{H} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2 = + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+ \partial_t\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2\right)$

и, наконец, если мы интегрируем это выражение для каждого тома по объему$V$что включает в себя всю нашу систему токов:

$\mathrm{d}_t W = \mathrm{d}_t \int_V\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2\right)\,\mathrm{d}\,V + \oint_{\partial V} (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}).\hat{\mathbf{n}} \,\mathrm{d}\,S$

(объемный интеграл становится поверхностным в силу теоремы Гаусса о расходимости). Для многих полей, особенно квазистатических, как$V$становится очень большим, вектор Пойнтинга ($\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}$- что представляет собой излучение), проинтегрированное по$\partial V$пренебрежимо мал, что приводит нас к мысли, что запас нашей работы есть объемный интеграл от$\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2$, поэтому магнитное поле вносит свой вклад в запасенную работу. Должно быть ясно, что это обсуждение является общим описанием любой динамической электромагнитной ситуации и совершенно не зависит от знака$\mathrm{d}_t W$. Таким образом, это одинаково применимо независимо от того, воздействуем ли мы токами на поле или поле воздействует на нас.

Вышеизложенное является очень общим: мы можем более четко сфокусировать его на конкретном примере, где почти полностью магнитное поле хранит и выполняет работу: скажем, у нас есть поверхностный ток, циркулирующий вокруг в форме соленоида, так что существует почти однородное магнитное поле внутри. Для соленоида радиуса$r$, поток через соленоид равен$\pi r^2 |\mathbf{B}|$и магнитная индукция, если поверхностная плотность тока$\sigma$ампер на каждый метр соленоида$|\mathbf{B}| = \mu_0 \sigma$. Если мы увеличим плотность тока, вокруг поверхностного тока возникнет обратная ЭДС (переходное электрическое поле), против которой мы должны работать, и работа, выполненная на единицу длины соленоида, составит:

$\mathrm{d}_t W = \sigma \pi r^2 \mathrm{d}_t |\mathbf{B}| = \frac{1}{2} \mu_0 \pi r^2 \mathrm{d}_t \sigma^2 = \pi r^2 \times \mathrm{d}_t \frac{|\mathbf{B}|^2}{2 \mu_0}$

Все это предполагает, что скорость изменения такова, что длина волны намного, намного больше, чем$r$. Итак, теперь накопителем энергии является чисто магнитное поле: плотность энергии электрического поля$\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2$для этого примера пренебрежимо мал, как и вклад вектора Пойнтинга (возьмем объем$V$в приведенном выше аргументе, чтобы быть цилиндрической поверхностью сразу за соленоидом: сразу за соленоидом магнитное поле исчезает, а векторы Пойнтинга радиальны на концах цилиндра, поэтому они также не вносят вклад. Приведенный выше анализ работает в обратном порядке: если мы позволим токам иссякнуть, электромагнитное поле может воздействовать на токи, и, таким образом, накопленная магнитная энергия может быть восстановлена.

Магнит поднимает куски железа, потому что кто-то настроил эту систему так, чтобы начальные условия были такими, что это происходит. Магнит перемещали в определенное место рядом с кусками ферромагнитного металла или наоборот.

Кусочки металла движутся, потому что это уменьшает их потенциальную энергию в магнитном поле на большее количество, чем увеличивает их гравитационный потенциал.

Система высвобождает энергию. Когда кусок железа ударяется о магнит и прилипает к нему, он издает звук и нагревается. На самом деле это не вопрос того, кто или что выполняет работу, а ситуация, в которой физическая система перестроила себя и изменила энергию из одной формы в другую.

Когда кусочки находятся рядом с магнитом, они вызывают концентрацию поля через них, потому что они очень проницаемы. По мере того, как магнит покрывается кусочками, все больше и больше его поля концентрируется через кусочки, и все меньше и меньше его доступно для притягивания новых кусочков. Это как разряженный аккумулятор.

В конце концов вам придется «перезарядить» систему, очистив магнит, чтобы вы могли продолжать его использовать. Когда вы отделяете кусочки от магнита, вы должны вкладывать энергию.

Из формулы силы Лоренца следует, что магнитное поле не совершает работы по определению . Магнитный вклад перпендикулярен смещению, которое он вызывает. Однако производная магнитного поля по времени идентична вращению электрического поля, поэтому она подразумевает существование электрического поля, которое работает . Итак, хотя формально В не совершает работы, изменение магнитного поля напрямую связано с работой.

Коренная причина этой путаницы в том, что Е и В не являются независимыми величинами, хотя, судя по одной только силе Лоренца, они кажутся таковыми.

Ниже приводится мнение Ландау и Лифшица.

Цитата из «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕД» (второе издание), стр. 128:

«При движении проводника силы

($\overrightarrow j$плотность тока.$\overrightarrow H$магнитное поле)

совершить над ним механическую работу.

На первый взгляд может показаться, что это противоречит тому результату, что силы Лоренца не совершают работы над движущимися зарядами.

В действительности, конечно, противоречия нет, так как работа, совершаемая силами Лоренца в движущемся проводнике, включает в себя не только механическую работу, но и работу, совершаемую электродвижущими силами, наведенными в проводнике при его движении.

Эти два количества работы равны и противоположны.

В выражении (1) $\overrightarrow H$есть истинное значение магнитного поля, обусловленного как внешними источниками, так и самими токами, на которые действует сила (1) .

Суммарная сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, определяется интегралом

Однако при вычислении полной силы из (2) мы можем принять$\overrightarrow H$быть просто внешним полем, в котором находится проводник с током.

Поле самого проводника не может, по закону сохранения количества движения, давать вклад в общую силу, действующую на проводник».

Конец цитаты.

Работа по поднятию чего-либо выполняется не магнитом, а вами!

Если бы магнит и кусок железа находились в свободном пространстве (т.е. в вакууме и без гравитации), они бы просто начали приближаться друг к другу, преобразовывая потенциальную энергию магнитного поля в кинетическую энергию. В гравитационном поле оба падают вниз, но, например, если бы магнит находился над железом, магнит падал бы немного быстрее, а железо - немного медленнее из-за общего притяжения.

Но теперь есть вы (или, например, кран), удерживающий магнит в фиксированном положении (и пол предотвращает падение железа за счет реактивных сил ). Есть два сценария:

• Вы кладете магнит на утюг. В этом случае они просто слипаются, и когда вы поднимаете их, очевидно, что вы выполняете работу.
• Вы наводите магнит на железо. Когда достаточно близко, железо поднимется к магниту. Но магнит тоже притягивается к железу и тянет вниз. Но вы не даете ему опуститься, вы немного больше напрягаете мышцы, чтобы противостоять этому. Вы совершаете работу, когда кладете магнит над железом, и это (в основном) ровно столько, сколько требуется для добавления потенциальной энергии к железу, теперь прикрепленному к вашему магниту.

Я удивлен, что ни один из ответов здесь не использовал самое простое и надежное решение с использованием тензора электромагнитного поля.
Рассмотрим большой провод, ориентированный вдоль оси X, по которому течет ток I в постоянном магнитном поле вдоль отрицательной оси z. Это вызовет силу на проводе в направлении вверх и в рамке покоя, и проделанная работа будет точно такой же, как работа, проделанная батареей для поддержания тока!! Эта отрицательная работа совершается электрическим полем в противоположном направлении тока в каркасе провода. Это можно проверить, выполнив преобразование Лоренца электромагнитного тензора в направлении y. Магнитное поле в направлении z будет иметь составляющую электрического поля в направлении x при преобразовании Лоренца в направлении y. Ниже показано, как электромагнитный тензор будет выглядеть в проволочной системе координат после преобразования Лоренца в направлении y.

Итак, в проволочном каркасе,

Магнитное поле вызывает ориентацию, фактически не совершая никакой работы. Формула работы не$F$, это$W = \int F \cdot dr$, где интеграл находится по пути и$\cdot$векторное скалярное произведение.

Если вы сделаете свои расчеты правильно, вы увидите$W = 0$.

Ну вот мы и пошли по математике.

W = SF.ds F = ma = m d2/dt2. F = qv x B = - vB xv = vmB x (vx dv/dt) F = vmB x 0,5x(vx ds2/d2t + dv/dt x dv/dv) F = Когда v = константа => dv/dt & другие производные равны 0), таким образом, SF.ds = 0