Как построить SU(2)SU(2)SU(2) представление группы Лоренца, используя SU(2)×SU(2)∼SO(3,1)SU(2)×SU(2)∼SO (3,1)SU(2)\times SU(2)\sim SO(3,1) ?

Вот математический вывод. Мы используем соглашение о знаках$(+,-,-,-)$для метрики Минковского$\eta_{\mu\nu}$.

I) Сначала вспомним тот факт, что

$SL(2,\mathbb{C})$является (двойным покрытием) ограниченной группы Лоренца $SO^+(1,3;\mathbb{R})$.

Это следует отчасти потому, что:

1. Существует биективная изометрия из пространства Минковского$(\mathbb{R}^{1,3},||\cdot||^2)$в пространство$2\times2$Эрмитовы матрицы$(u(2),\det(\cdot))$,

   $$\mathbb{R}^{1,3} ~\cong ~ u(2) ~:=~\{\sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid \sigma^{\dagger}=\sigma \} ~=~ {\rm span}_{\mathbb{R}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\},$$ $$\mathbb{R}^{1,3}~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ u(2),$$ $$||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma), \qquad \sigma_{0}~:=~{\bf 1}_{2 \times 2}.\tag{1}$$

2. Есть групповое действие $\rho: SL(2,\mathbb{C})\times u(2) \to u(2)$данный

   $$g\quad \mapsto\quad\rho(g)\sigma~:= ~g\sigma g^{\dagger}, \qquad g\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2), \tag{2}$$ который сохраняет длину, т.е.$g$является псевдоортогональным (или Лоренцевым) преобразованием. Другими словами, существует гомоморфизм групп Ли
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad O(u(2),\mathbb{R})~\cong~ O(1,3;\mathbb{R}) .\tag{3}$$

3. С$\rho$является непрерывным отображением и$SL(2,\mathbb{C})$связное множество, образ$\rho(SL(2,\mathbb{C}))$снова должно быть связным множеством. На самом деле, можно показать, что существует сюръективный гомоморфизм групп Ли$^1$
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO^+(u(2),\mathbb{R})~\cong~ SO^+(1,3;\mathbb{R}) ,$$ $$\rho(\pm {\bf 1}_{2 \times 2})~=~{\bf 1}_{u(2)}.\tag{4}$$

4. Группа « Ложь» $SL(2,\mathbb{C})=\pm e^{sl(2,\mathbb{C})}$имеет алгебру Ли

   $$sl(2,\mathbb{C}) ~=~ \{\tau\in{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(\tau)~=~0 \} ~=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{i} \mid i=1,2,3\}.\tag{5}$$

5. Гомоморфизм групп Ли$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \to O(u(2),\mathbb{R})$индуцирует гомоморфизм алгебр Ли

   $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\to o(u(2),\mathbb{R})\tag{6}$$ данный $$\rho(\tau)\sigma ~=~ \tau \sigma +\sigma \tau^{\dagger}, \qquad \tau\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2),$$ $$\rho(\tau) ~=~ L_{\tau} +R_{\tau^{\dagger}},\tag{7}$$ где мы определили левое и правое умножение$2\times 2$матрицы $$L_{\sigma}(\tau)~:=~\sigma \tau~=:~ R_{\tau}(\sigma), \qquad \sigma,\tau ~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{8}$$

II) Заметим, что алгебра Ли Лоренца$so(1,3;\mathbb{R}) \cong sl(2,\mathbb{C})$не _$^2$содержат две перпендикулярные копии, скажем, реальной алгебры Ли$su(2)$или же$sl(2,\mathbb{R})$. Для сравнения и полноты отметим, что для других подписей в$4$размеры, один имеет

$$SO(4;\mathbb{R})~\cong~[SU(2)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \qquad\text{(compact form)}\tag{9}$$

$$SO^+(2,2;\mathbb{R})~\cong~[SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})]/\mathbb{Z}_2.\qquad\text{(split form)}\tag{10}$$

Компактная форма (9) имеет хорошее доказательство с использованием кватернионов

$$(\mathbb{R}^4,||\cdot||^2) ~\cong~ (\mathbb{H},|\cdot|^2)\quad\text{and}\quad SU(2)~\cong~ U(1,\mathbb{H}),\tag{11}$$

см. также этот пост Math.SE и этот пост Phys.SE. Разделенная форма (10) использует биективную изометрию

$$(\mathbb{R}^{2,2},||\cdot||^2) ~\cong~({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\det(\cdot)).\tag{12}$$

Чтобы разложить пространство Минковского на лево- и правосторонние спинорные представления Вейля, необходимо перейти к комплексификации , т. е. использовать тот факт, что

$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$является (двойным покрытием) комплексифицированной собственной группы Лоренца$SO(1,3;\mathbb{C})$.

Обратите внимание, что исх. 1-2 не обсуждаем усложнение$^2$. Можно более или менее повторить конструкцию из раздела I с вещественными числами.$\mathbb{R}$заменены комплексными числами$\mathbb{C}$, но с некоторыми важными оговорками.

1. Существует биективная изометрия из комплексифицированного пространства Минковского$(\mathbb{C}^{1,3},||\cdot||^2)$в пространство$2\times2$матрицы$({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\det(\cdot))$,

   $$\mathbb{C}^{1,3} ~\cong ~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ~=~ {\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\},$$ $$M(1,3;\mathbb{C})~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ,$$ $$||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma).\tag{13}$$ Обратите внимание, что формы считаются билинейными, а не полуторалинейными .

2. Существует сюръективный гомоморфизм групп Ли$^3$
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})~\cong~ SO(1,3;\mathbb{C})\tag{14}$$ данный $$(g_L, g_R)\quad \mapsto\quad\rho(g_L, g_R)\sigma~:= ~g_L\sigma g^{\dagger}_R,$$ $$g_L, g_R\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{15}$$

3. Группа «Ложь»$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$имеет алгебру Ли$sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$.

4. Гомоморфизм групп Ли
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{16}$$ индуцирует гомоморфизм алгебр Ли $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})\quad\to\quad so({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{17}$$ данный $$\rho(\tau_L\oplus\tau_R)\sigma ~=~ \tau_L \sigma +\sigma \tau^{\dagger}_R, \qquad \tau_L,\tau_R\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad \sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),$$ $$\rho(\tau_L\oplus\tau_R) ~=~ L_{\tau_L} +R_{\tau^{\dagger}_R}.\tag{18}$$

Левое действие (действующее слева на двумерный комплексный вектор-столбец) дает по определению (левое Вейля) спинорное представление$(\frac{1}{2},0)$, в то время как правое действие (действующее справа на двумерный комплексный вектор-строку) дает по определению правостороннее спинорное представление Вейля / комплексно-сопряженного спинора$(0,\frac{1}{2})$. Вышеизложенное показывает, что

Комплексифицированное пространство Минковского$\mathbb{C}^{1,3}$это$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$представление группы Ли$SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})$, действие которого подчиняется метрике Минковского.

Использованная литература:

1. Энтони Зи, Квантовая теория поля в двух словах, 1-е издание, 2003 г.

2. Энтони Зи, Квантовая теория поля в двух словах, 2-е издание, 2010 г.

---

$^1$Легко проверить, что невозможно описать дискретные преобразования Лоренца, такие как, например, четность $P$, обращение времени $T$, или же$PT$с групповым элементом$g\in GL(2,\mathbb{C})$и формула (2).

$^2$Для смеха посмотрите на неправильное (в нескольких смыслах) второе предложение на стр. 113 в Ref. 1: «Подкованные в математике говорят, что алгебра$SO(3,1)$изоморфен$SU(2)\otimes SU(2)$.» Исправленное утверждение будет, например, таким : «Математически искушенные говорят, что группа$SO(3,1;\mathbb{C})$локально изоморфна$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$Тем не менее, позвольте мне спешить добавить, что книга Зи в целом очень хорошая книга .$SO(4)$,$SO(3,1)$, а также$SO(2,2)$" добавлено на стр. 531-532.

$^3$Невозможно имитировать неправильные преобразования Лоренца$\Lambda\in O(1,3;\mathbb{C})$[т.е. с отрицательным определителем$\det (\Lambda)=-1$] с помощью двух матриц$g_L, g_R\in GL(2,\mathbb{C})$в формуле (15); например, преобразование пространственной четности

$$P:~~(x^0,x^1,x^2,x^3) ~\mapsto~ (x^0,-x^1,-x^2,-x^3).\tag{19}$$ Точно так же представления спинора Вейля являются представлениями (двойного покрытия) $SO(1,3;\mathbb{C})$но не (двойная обложка) $O(1,3;\mathbb{C})$. Например, преобразование пространственной четности (19) переплетается между левосторонними и правосторонними представлениями спинора Вейля.

Для поставленной задачи, сформулированной точно, « Покажите, что$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$представительство$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$group is* the Lorentz 4-vector" , решение, которое не так очевидно из хорошего в остальном поста Qmechanic, должно быть продемонстрировано с помощью прямого/грубого вычисления. Это относительно легко, и я цитирую свой диплом/выпускной диплом Batchlor бумага (написана на моем родном румынском)

ЧАСТЬ 1:

Позволять$\psi_{\alpha}$— компоненты спинора Вейля относительно канонического базиса в двумерном векторном пространстве, в котором фундаментальные$\left(\frac{1}{2},0\right)$представительство$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$"жизни". То же самое для$\bar{\chi}_{\dot{\alpha}}$и контраградиентное представление той же группы,$\left(0,\frac{1}{2}\right)$. Тогда, как приложение теоремы Клебша-Гордана для$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$:

ЛЕММА:

$\begin{equation} \psi _{\alpha }\otimes \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv \psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}=\left[ \frac{1% }{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{% \beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv V^{\mu}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\text{.} \end{equation}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

$\left[ \frac{1}{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }% }\right] \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}=% \frac{1}{2}\left( \varepsilon ^{\beta \gamma }\psi _{\gamma }\right) \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \varepsilon ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\stackrel{\bullet }{\gamma }}\overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right) \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =-\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\varepsilon ^{\beta \gamma }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{% \bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{% \alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\left[ \varepsilon ^{\gamma \beta }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{% \bullet }{\alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% \gamma }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{% \stackrel{\bullet }{\alpha }}^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{\alpha }^{\gamma }=\psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}$

Это доказательство заставляет рассматривать матрицы Паули как коэффициенты Клебша-Гордана.

ЧАСТЬ 2:

ТЕОРЕМА:

$V^{\mu}\left(\psi,\chi\right)$определенное выше, является 4-вектором Лоренца (т. е. они являются компонентами 4-вектора Лоренца, рассматриваемого как общий элемент векторного пространства, несущего фундаментальное представление ограниченной группы Лоренца$\mathfrak{Lor}(1,3)$).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

$V'^{\mu}\equiv \left( \phi ^{\prime }\right) ^{\alpha }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }}=-\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }\left( \phi ^{\prime }\right) _{\beta }=-\left( M^{*}\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}{}^{\stackrel{% \bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\delta _{\stackrel{\bullet }{% \gamma }}^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\delta _{\gamma }^{\zeta }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{% \sigma }^{\nu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\left[ \left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right] \left[ \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\nu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\phi _{\zeta }\right] \\ =-\frac{1}{2}Tr\left( M^{\dagger }\overline{\sigma }^{\mu }M\sigma _{\nu }\right) \left( \overline{\chi }\overline{\sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =-\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \overline{\chi }\overline{% \sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \phi \sigma ^{\nu }\overline{% \chi }\right) \equiv \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) V^{\nu}$

* is = в смысле теории представлений групп, это означает, что пространства векторов-носителей двух представлений изоморфны, что является содержанием леммы. Примечание для читателя: в доказательстве теоремы используется тот факт, что эти «классические» спиноры имеют четность Грассмана 1. Это объясняет появление и исчезновение знака «-».