Это уравнение на самом деле отвлекающий маневр.

Профессор обсуждает общее количество массы, потребляемой для создания всех Бендеров, что эквивалентно общей массе всех самих Бендеров, если мы допускаем сохранение массы (т.е. масса на входе = масса на выходе). Это безопасное предположение, учитывая то, как профессор описывает поведение устройства дублирования как «реорганизацию исходного материала» .

Теперь расходящийся ряд был необходим в качестве сюжетного устройства, чтобы проиллюстрировать, как воспроизведение Бендеров в конечном итоге поглотит всю доступную материю. В этом отношении уравнение было удовлетворительным в том смысле, что оно, безусловно, расходящееся, поскольку оно представляет собой обобщенный гармонический ряд (как правильно указывает Зев в комментарии). Это легче увидеть, если упростить, отметив (как это сделал OghmaOsiris в своем ответе), что 2 ⁿ условия отменяют друг друга:

Однако это не правильный расходящийся ряд для данной ситуации.

Как низко ты можешь пасть?...

Во-первых, нам придется игнорировать ограничивающие эффекты Бендеров атомарного размера. Через несколько поколений Бендеры стали бы настолько малы, что, если бы они были «нормальной» материей, они состояли бы из ограниченного числа молекул, слишком малого, чтобы создать полную изгибающуюся единицу. Однако в одной сцене показаны полностью сформированные, но все еще размером с атом Бендеры, манипулирующие молекулами и поглощающие их, подразумевая, что они сформированы не из «обычной» материи, а из «усохшей» материи. Во вселенной Футурамы это разумно, поскольку Профессор ранее упоминал о существовании (и экстравагантной стоимости) «крошечных атомов» в эпизоде ​​« Потерянные паразиты» , когда Бендер спрашивает Профессора об их уменьшении:

Бендер: Эй, старина, зачем нам эти крошечные микродроиды? Ты не можешь просто уменьшить нас?

Фарнсворт: О, боже мой, нет. Для этого потребуются чрезвычайно крошечные атомы, и вы оценивали их в последнее время? Я не из денег! Оставь меня в покое!

Итак, предполагая, что речь идет о «крошечных атомах», мы можем безопасно вычислить массу для бесконечного числа поколений, не беспокоясь о том, что Бендеры составляют доли массы обычного атома.

Лучший выбор уравнения...

При условии:

1. В каждом новом поколении Бендеров в 2 раза больше, чем в предыдущем поколении, и
2. Каждый новый Бендер представляет собой фиксированную долю массы Бендера, из которого он был порожден.

Тогда правильное уравнение для общей массы всех Бендеров (и, следовательно, материи, которую они поглотили) по мере того, как число поколений приближается к бесконечности, выглядит так:

Где M ₀ — масса оригинального Бендера, а _масса r — это отношение массы копии Бендера к массе Бендера, из которого она возникла. Это геометрическая последовательность , и я думаю, что это уравнение выглядит не так интересно, как другое уравнение, которое они использовали. Может быть, они выбрали уравнение, которое могли бы отобразить более сложным образом, а может быть, просто ошиблись. Такова научная фантастика. ;)

Теперь, расходится ли это уравнение, как того требует предпосылка эпизода? Сходится ли уравнение или нет, определяется значением _массы r . В этом эпизоде ​​Бендер ссылается на свои первые две копии как на «копии меня в масштабе 60%» . Независимо от того, применяете ли вы этот масштабный коэффициент к физическим размерам или к массе , вы получите совершенно разные результаты.

Масштабирование физических размеров на 60%...

Если мы сравним высоту и ширину последовательных Бендеров, окажется, что они увеличены на 60%. Используя этот скриншот , я сделал несколько приблизительных измерений (показаны красным):

Соотношение между этими измерениями оказалось равным 0,594 по высоте и 0,599 по ширине. Как отмечает Эрик в своем ответе , масштабирование каждого измерения на 0,6 приведет к увеличению объема (и, следовательно, массы) на коэффициент 0,216. _{Использование этого значения для массы} r дает нам сходящийся ряд, который асимптотирует к общей массе Бендера около 1,76*M ₀ . Масса не стоит даже двух Бендеров!

Поскольку многие / все клоны Бендеров собираются вместе в один момент эпизода, чтобы сразиться с гигантом , совершенно ясно, что массы клонов гораздо больше, чем два Бендера. Таким образом, несмотря на то, что физические размеры увеличиваются на 60% для каждого нового поколения, масса (каким-то образом) не увеличивается одновременно . Может быть, есть Бендеры, копирующие себя более одного раза, что опровергает первое предположение, сделанное мной выше.

Масштабирование массы на 60%...

Если сама масса увеличивается на 60% между поколениями, то r _масса будет равна 0,6, и уравнение станет расходящимся, неограниченно растущим. Ага! Вот что мы хотим видеть! Но, учитывая несоответствия, это что-то вроде пустой победы, и написание этого ответа, хотя и было весело, было в значительной степени «матстурбаторным» . В конце концов, вы просто должны понимать, что это научная фантастика , а не наука , и авторы не всегда будут на 100% правы.

... Тем не менее, это по-прежнему одно из моих самых любимых шоу. ;)

По сути, это сумма от 0 до бесконечности степеней двойки, умноженная на исходную сумму в той же степени 2, умноженная на n+1. Эффективно добавляя все меньшую и меньшую фракцию, пока добавление не станет равным 0.

Его можно было бы переписать так:

M = суммирование (n = 0 -> бесконечность): (M ₀ /n+1), потому что 2 ⁿ сокращается.

Возможно, вы захотите спросить math.stackexchange.com , если я ошибаюсь.

Вот мой анализ - может кто-нибудь найти недостаток? Я собираюсь сделать это темой моего следующего подкаста Math Mutation. :-)

Вместо килограммов давайте упростим наши расчеты и измерим массу в массах Бендера, или Bs, где масса исходного Бендера равна 1B. Какова масса двух полубендеров, которых он создает?

Сначала мы должны определить, что означает «60% размера»: я думаю, было бы логично предположить, что мы уменьшаем меру до 0,6 раза по сравнению с оригиналом в каждом из трех измерений: длина, ширина, высота. Предполагая, что масса пропорциональна объему, это означает, что масса каждого мини-бендера составляет 0,6 * 0,6 * 0,6 Bs, или в 0,216 раз больше массы исходного Бендера. Таким образом, общая масса двух полубендеров равна 2 * 0,216 = 0,432 Bs. Точно так же N-е поколение Бендеров должно иметь массу (0,432) ^ N Bs, поскольку его масса в 0,432 раза больше, чем у предыдущего поколения. И сумма, с которой мы имеем дело, равна (1 + 0,432 + 0,432 ^ 2 + ...).

Хорошие новости - эта серия сходится! Самый простой способ убедиться в этом — заметить, что 0,432 меньше 1/2, поэтому N-й член всегда меньше (1/2^N) — хорошо известный сходящийся ряд, который в сумме дает 2. (Быстрый способ доказать это - посмотреть на число по основанию 2 .1111...) Итак, сколько бы ни было реплик, общая масса будет меньше 2 Бендеров, и наша планета в безопасности.

А сценаристы просто издевались над нами, показывая на экране это неуместное уравнение.

Я относительный новичок в математике, поэтому, пожалуйста, извините меня, если это явно неправильно. Но мне приходит в голову, что, возможно, М в этом уравнении означает не массу результирующих Бендеров, а скорее массу сырья, потребляемого каждым поколением. Это объясняет, почему с каждым поколением он становится меньше. Если это бесконечная серия, то угроза глобального уничтожения, конечно, все еще существует.

Имеет ли это смысл?