«Стена тьмы » Артура Кларка (1949) — произведение математической фантастики, обычно цитируемое в полуакадемических кругах как иллюстрирующее геометрию ленты Мёбиуса .
Он имеет дело со вселенной с одним солнцем и планетой, но без других звезд. Предполагалось, что мир всегда оставался светлым, с небольшими изменениями, когда зимой солнце немного опускалось к горизонту. На их планете есть негостеприимно жаркий север, умеренная середина и чрезвычайно холодный юг. Юг бесплоден, за исключением непреодолимой стены, протянувшейся через весь мир в точке, расположенной так далеко на юге, что люди едва могут добраться до нее летом, когда становится теплее.
Ходят слухи, что вид того, что находится по ту сторону стены, может свести человека с ума. Но любопытный богатый парень по имени Шервейн решает, что он все равно должен это сделать. В масштабном проекте, который занимает более 7 лет, он построил серию платформ и идет по стене, чтобы убедиться, что его друг все взорвет, если произойдет что-то ужасное.
Затем он уходит от солнца, которое меркнет позади него, пока он идет, а перед ним появляется другое солнце и становится ярче. Подойдя к краю стены, он видит, что его друг (которого он оставил позади) смотрит на него снизу вверх.
Затем они взрывают платформы, чтобы никто больше не пытался снова пробить стену, говоря, что это было необходимо. Он представляет себе, как другой взрывает платформу с другой стороны, но говорит, что это, конечно, невозможно, так как он единственный человек в мире, который точно знает, что СТЕНА ИМЕЕТ ТОЛЬКО ОДНУ СТОРОНУ.
Геометрия ленты Мебиуса также объясняется в рассказе через профессора главного героя.
Но, конечно, как автор должен был хорошо знать, лента Мебиуса двухмерна, и любая модель Вселенной (в его рассказе) должна быть трехмерной.
Теперь бутылка Клейна обычно рассматривается как многомерный эквивалент ленты Мёбиуса. Хотя это явно ошибочное представление («бутылка» Клейна — это двумерная поверхность, точно такая же, как лента Мебиуса, только кажется , что она заключает в себе объем, отличный от другой), вполне может быть, что задействованная здесь модель — это «внутри» бутылки Клейна, или, что то же самое, бутылка Клейна является границей Вселенной. Но я не могу понять, как именно «ситуация со стеной» работает со вселенной такой формы.
Было высказано предположение, что стена построена на горлышке бутылки. Но беглый взгляд на рисунок показывает, что человек, проходящий «поверху» такой стены, увидит только область за ней, а не ту же сторону. Свойство бутылки Клейна (аналог ленты Мёбиуса, имеющей только одну сторону, а не две) состоит в том, что она имеет только одну из четностей слева и справа и только одну из внутренней и внешней. Чтобы наша стена работала по назначению, она должна «пройти» «поверхность», соединяющую фальшивое внутреннее и фальшивое внешнее, что не имеет никакого смысла.
Также было отмечено, что история пытается казаться более впечатляющей, чем она есть на самом деле. А может быть, просто автор имел в виду не более чем кусок настроения, посвященный философии нашего существования и нашему поиску «великого неизвестного».
Кто-нибудь может указать, какова правильная геометрия этой вселенной? Это означает распознать, какая известная математическая форма — трехмерная поверхность — точно ее моделирует.
Краткое содержание рассказа и приведенные выше комментарии скопированы отсюда .
РЕДАКТИРОВАТЬ: Мы также допускаем разветвленные трехмерные поверхности, когда говорим о трехмерной поверхности, что кажется необходимым с учетом обсуждения, следующего за ответом Кайла Джонса.
tl;dr Многообразие, окружающее вселенную Шервейна, называется ручкой Алисы .
Чтобы упростить объяснение и облегчить визуализацию, представьте, что наш герой Шерван — двумерное существо, живущее на конечной двухмерной поверхности, круглой области, вырезанной из плоскости. Если смотреть сверху, Шерван выглядит как буква R, когда он перемещается по своему миру. Глядя вниз, мы видим, как Шервейн скользит к краю своего мира и забвения. Чтобы спасти его, мы добавляем к краю его вселенной длинную полосу пространства, чтобы, достигнув старого края, он не улетел в небытие. Мы аккуратно сгибаем полосу в третьем измерении так, чтобы она снова соединилась с краем диска, где она началась. Вселенная Шервейна теперь (примерно) представляет собой диск с цилиндром на краю. Теперь, если Шерван продолжит идти, он пересечет внешнюю часть цилиндра и в конечном итоге окажется там, где начал, но движется в противоположном направлении.
К сожалению, путешествие по третьему измерению также перевернуло Шервана, и теперь он стал своим собственным зеркальным отражением. Сверху он теперь выглядит как буква Я, а не R. Его левая сторона для всех правая, и наоборот. Чтобы Шерван не перевернулся, мы добавляем пол-оборота к полосе, которую мы прикрепили к краю диска, чтобы Шерван получил дополнительный переворот, прежде чем он вернется к диску.
Тот полукруг, который мы добавили, превращает добавленную нами ленту в ленту Мёбиуса, так что теперь вселенная Шервейна выглядит как диск, край которого касается поверхности ленты Мёбиуса, а не как диск, обращенный к цилиндру. Чтобы Шерван не ушел с диска в другом направлении, мы должны окружить весь диск этими скрученными полосками. Мы также должны склеить края полоски вместе, чтобы он не мог сойти с этих краев. Если склеить края ленты Мебиуса вместе, получится поверхность Клейна . Так что, если бы Шервейн жил во Флатландии, чтобы история работала, края его плоского диска должны быть окружены единой поверхностью Клейна и касаться ее. (Если бы мы не заботились о том, чтобы поменять местами левое и правое по Шервейну, было бы достаточно диска, весь край которого касается поверхности тора.)
Чтобы история работала в трехмерной вселенной, вселенная Шервейна должна быть окружена не поверхностью Клейна, а чем-то вроде трехмерного аналога поверхности Клейна. Термин для такого многообразия - ручка Алисы или неориентируемая червоточина.
@N Unnikrishnan написал в комментариях выше: «Я представляю, что поверхность планеты имеет форму тора, а односторонняя стена находится на внутреннем экваторе». Я не думаю, что это правда, потому что:
Мир Шервейна «всегда поворачивался одним и тем же лицом к своему одинокому солнцу». (Кларк называет эту сторону света «севером»). Тогда она должна совершить оборот вокруг Солнца и вокруг своей оси за одно и то же время, как Луна вокруг Земли.
«путешествие по суше и морю ... можно было бы сократить не более чем на немного, если бы он путешествовал так далеко на север, как только осмеливался». Это значит, что чем севернее, тем меньше окружность этого мира.
исходя из 1 и 2, я предполагаю, что от стены до северного полюса этот мир представляет собой полушарие или что-то в этом роде. Я не понимаю, как объяснить смену времен года в этой модели. Но в модели с тором это кажется мне еще более сложной задачей.
что касается южной границы этого мира, если заменить диск полусферой, мне нравится твоя идея.
Может ли быть так, что в районе возведения стены планета соприкасается с границей этой вселенной?
Как в ленте Мебиуса, так и в бутылке Клейна «поворот» и воссоединение находятся в более высоком измерении. Полоска 1D, а бутылка 2D. Ошибочно думать, что бутылка проходит «сквозь себя». Настоящая бутылка Кляйна не имеет отверстия, в отличие от физической картины, которую мы видим.
Чтобы область трехмерного пространства «не имела другой стороны», вам нужно искривить само пространство и соединить его закрученным назад в более высоких измерениях. Если вы сделаете это, вы в конце концов окажетесь в исходной точке, не оборачиваясь.
Вы не можете правильно сделать даже бутылку Клейна, поэтому истинного представления этого пространства не больше, чем тессеракта, четырехмерного аналога куба.
Гипносифл