Калибровочная симметрия не является симметрией?

В целях:

1. Потому что термин «калибровочная симметрия» предшествует КТП. Он был придуман Вейлем в попытке расширить общую теорию относительности. При создании ОТО можно было бы начать с идеи, что нельзя сравнивать касательные векторы в разных точках пространства-времени без указания параллельного транспорта/соединения; Вейль попытался расширить это, включив в него размер, отсюда и название «калибр». Говоря современным языком, он создал классическую теорию поля$\mathbb{R}$-калибровочная теория. Потому что$\mathbb{R}$локально то же самое, что$U(1)$это дало правильные классические уравнения движения для электродинамики (то есть уравнения Максвелла). Как мы увидим ниже, на классическом уровне нет разницы между калибровочной симметрией и «реальной» симметрией.

2. Да. Фактически, часто используемый прием состоит в том, чтобы ввести такую ​​симметрию для работы с ограничениями. Особенно в таких предметах, как теория конденсированного состояния, где нет ничего особенного, чтобы считаться фундаментальным, часто вводят больше степеней свободы, а затем «склеивают» их вместе с калибровочными полями. В частности, в теории сильной связи/модели Хаббарда$T_c$В сверхпроводниках один из способов справиться с ограничением, состоящим в том, что на узел приходится не более одного электрона (независимо от спина), состоит в том, чтобы ввести спиноны (фермионы) и холоны (бозоны) и неабелево калибровочное поле, такое, что действительно низкое динамика энергии ограничена --- таким образом воспроизводится физический электрон; но затем можно пойти и поискать деконфайнментированные фазы и спросить, полезны ли они. Это совсем другой обзорный документ сам по себе. (Термины Google: «калибровочная теория Патрика Ли, высокая tc».)

3. Вам нужно различать силы и поля/степени свободы. В любом случае, силы — это в лучшем случае иллюзия. Однако степень свободы действительно имеет значение. В квантовой механике можно очень точно определить разницу. Два состояния$\left|a\right\rangle$а также$\left|b\right\rangle$являются «симметричными», если существует унитарный оператор$U$ул.

   $$U\left|a\right\rangle = \left|b\right\rangle$$ а также $$\left\langle a|A|a\right\rangle =\left\langle b|A|b\right\rangle$$ куда$A$любая физическая наблюдаемая. «Калибровочные» симметрии — это те, где мы решаем пометить одно и то же состояние$\left|\psi\right\rangle$Как оба$a$а также$b$. В классической механике обе они представляются так же, как симметрии (дискретные или иные) симплектического многообразия. Таким образом, в классической механике они не разделены, потому что и действительная, и калибровочная симметрии приводят к одним и тем же уравнениям движения; Другими словами, в формализме интеграла по путям вы замечаете разницу только с «большими» преобразованиями, а локально действие такое же. Хорошим примером этого является парадокс Гиббса о вычислении энтропии смешения идентичных частиц — нужно вручную ввести множитель$N!$чтобы избежать пересчета --- это потому, что на квантовом уровне замена двух частиц является калибровочной симметрией. Эта симметрия не влияет на локальную структуру (в терминах дифференциальной геометрии), поэтому ее нельзя наблюдать классически.

Общая вещь — когда люди говорят «калибровочная теория», они часто имеют в виду гораздо более ограниченную версию того, о чем шла вся эта дискуссия. По большей части они означают теорию, в которой конфигурационная переменная включает связь на некотором многообразии. Это сильно ограниченная версия, но она охватывает тот тип, с которым обычно работают люди, и именно отсюда, как правило, происходят такие термины, как «локальная симметрия». Говоря как физик конденсированного состояния, я склонен думать о них как о теориях замкнутых петель (поскольку голономия вокруг петли «калибровочно инвариантна») или, если задействованы фермионы, открытых петель. Затем различные фазы представляют собой уплотнения этих циклов и т. д. (Для справки см. «Сгущение строк и сетей» в Google.)

Наконец, обсуждение было бы неуместно без нескольких слов о «нарушении» калибровочной симметрии. Как и в случае реального нарушения симметрии, это вежливая, но полезная фикция, и на самом деле она относится к тому факту, что основное состояние — это не наивный вакуум. Ключевым моментом является коммутация пределов --- если (правильно) последний принимает предел большой системы (как IR, так и UV), то нарушение какой-либо симметрии не может произойти. Однако полезно указать вручную тот факт, что разные реальные симметричные основные состояния находятся по отдельности в разных секторах суперотбора и поэтому работают с редуцированным гильбертовым пространством только одного из них; для калибровочных симметрий можно снова сделать тот же (осторожно) коммутирующий суперотбор с фиксацией калибровки.

(Большое) различие между калибровочной теорией и теорией только с жесткой симметрией точно выражается первой и второй теоремами Нётер:

В то время как в случае жесткой симметрии токи, соответствующие образующим группы, сохраняются только как следствие уравнений движения, это называется их сохранением «на оболочке». В случае непрерывной калибровочной симметрии законы сохранения становятся справедливыми «вне оболочки», то есть независимо от уравнений движения. Это подразумевает, например, сохранение электрического заряда независимо от уравнения движения.

Теперь уравнения закона сохранения в принципе можно использовать для уменьшения количества полей.

Процедура следующая:

1. Работа над подпространством конфигураций поля, удовлетворяющих законам сохранения. Однако на этом подпространстве все еще будут остаточные калибровочные симметрии. Чтобы избавиться от них:

2. Выберите условие фиксации калибровки для каждого закона сохранения.

Это уменьшит «количество компонент поля» на два для каждой калибровочной симметрии. Однако реализация этой процедуры очень сложна, так как фактически требует решения законов сохранения, и, кроме того, очень сложно редуцированное пространство конфигураций полей. По этой причине эта процедура редко применяется и используются другие методы, такие как BRST.

1) Почему это называется симметрией, если это не симметрия? как насчет теоремы Нётер в этом случае? и калибровочные группы U(1)... и т.д.?

Калибровочная симметрия — это локальная симметрия в КЛАССИЧЕСКОЙ теории поля. Возможно, поэтому люди называют калибровочную симметрию локальной симметрией. Но мы знаем, что наш мир квантовый. В квантовых системах калибровочная симметрия не является симметрией в том смысле, что калибровочное преобразование не изменяет никакого квантового состояния и является преобразованием без каких-либо действий. Теорема Нётер — это понятие классической теории. Квантовая калибровочная теория (при описании физическим гильбертовым пространством и гамильтонианом) не имеет теоремы Нётер.

Поскольку калибровочная симметрия не является симметрией, калибровочная группа не имеет большого значения в том смысле, что две разные калибровочные группы иногда могут описывать одну и ту же физическую теорию. Например,$Z_2$Калибровочная теория эквивалентна следующему$U(1)\times U(1)$Калибровочная теория Черна-Саймонса:

Поскольку калибровочное преобразование — это преобразование, которое ничего не делает, а калибровочная группа нефизична, калибровочную теорию лучше описывать без использования калибровочной группы и связанного с ней калибровочного преобразования. Это было достигнуто с помощью теории струнных сетей . Хотя теория струнных сетей разработана для описания топологического порядка, ее также можно рассматривать как описание калибровочной теории без использования калибровочной группы.

Изучение топологического порядка (или дальнодействующей запутанности) показывает, что если бозонная модель имеет дальнодействующее запутанное основное состояние, то низкоэнергетическая эффективная теория должна быть своего рода калибровочной теорией. Таким образом, калибровочная теория низкой энергии на самом деле является отражением дальнодействующих запутываний в основном состоянии.

Таким образом, в физике конденсированного состояния калибровочная теория не связана с геометрией или кривизной. Калибровочная теория напрямую связана с дальнодействующими запутанностями в основном состоянии и является их следствием. Так что, возможно, калибровочная теория в нашем вакууме также является прямым отражением дальнодействующих запутанностей в вакууме .

2) Означает ли это в принципе, что любую теорию можно измерить (просто вводя соответствующие ложные степени свободы)?

Да, любую теорию можно переписать как калибровочную теорию любой калибровочной группы. Однако такая калибровочная теория обычно находится в ограниченной фазе, и эффективная теория при низкой энергии не является калибровочной теорией.

Также см. связанное обсуждение: Понимание теоремы Элицура из простого рассуждения Полякова?

Говоря о симметрии, всегда следует указывать: симметрия чего?

Если я измерю длину палки в дюймах, а затем в сантиметрах, т. е. в разных мерах, то я получу два разных ответа, хотя палка в обоих случаях одна и та же. Точно так же, когда я измеряю фазу синусоидальной волны двумя часами с разными фазами, я получаю две разные фазы, а фазовые сдвиги образуют группу U(1). В первом примере палка инвариантна при изменении размера с сантиметров на дюймы, но это не имеет ничего общего с какой-либо физической симметрией палки. Теорема Нётер связана с симметриями лагранжиана. Например, если лагранжиан имеет сферическую симметрию, то полный угловой момент сохраняется. Теорема Нётер, очевидно, применима и к квантовым системам. Смена калибра — это не физическое преобразование, вот и все. В квантовой теории поля начинают с простого лагранжиана (например, лагранжиана Дирака), а затем изменяет его так, чтобы он стал инвариантным при локальных изменениях калибровки, т. е. затем производную в уравнении Дирака заменяют на D, в котором есть «калибровочное поле»: чтобы придать этому загадочный вид, говорят: что «локальная калибровочная инвариантность породила калибровочное поле», хотя это неверно. Наложение локальной калибровочной инвариантности просто накладывает ограничение на то, какие лагранжианы могут быть записаны. Это похоже на требование, чтобы функция F(z) была аналитической в ​​комплексной плоскости, это также имеет серьезные последствия.

Калибровочная симметрия налагает локальные законы сохранения, которые называются тождествами Уорда в КЭД и тождествами Славнова-Тейлора для неабелевых калибровочных теорий. Эти тождества связывают амплитуды или ограничивают их.

Примером таких ограничений, налагаемых калибровочной симметрией, является трансверсальность поляризации вакуума. Точнее говоря, калибровочная симметрия не допускает массового члена фотона в лагранжиане. Тем не менее, это может развиваться через квантовые флуктуации. Этого не происходит из-за тождества Уорда, которое налагает трансверсальность поляризации фотонного вакуума. Другим примером является связь между фермионным пропагатором и базовой вершиной в КЭД. Это гарантирует отсутствие продольных фотонов.

Идея, таким образом, состоит в том, что калибровочная симметрия действительно налагает своего рода теорему Нётер, но гораздо более тонким образом. Он проявляется на уровне квантовых поправок и ограничивает их. Эти отношения, кроме того, локальны. Они становятся своего рода локальной версией теоремы Нётер.