Этот вопрос был вызван тем, что материя действительно может провалиться за горизонт событий? . Общеизвестно, что если вы рассчитаете время координаты Шварцшильда для чего-либо, материи или света, чтобы достичь горизонта событий, результат будет бесконечным. Это означает, что Вселенная стареет на бесконечное время, прежде чем кто-то, упавший в черную дыру, достигнет горизонта событий, поэтому может ли этот человек увидеть, как Вселенная стареет на бесконечное время?
Чтобы быть более точным, предположим, что наблюдатель начинает падать из состояния покоя в момент времени и некоторое начальное расстояние . Если мы подождем некоторое время затем направьте луч света на падающего наблюдателя. Всегда ли луч света достигнет падающего наблюдателя до того, как он пересечет горизонт событий? Если нет, то какова формула наибольшего времени что мы можем подождать и быть уверенными, что луч поймает наблюдателя? Если не ограничен, это означает, что наблюдатель действительно может видеть конец вселенной.
Я могу придумать качественный аргумент в пользу верхнего предела , но я не уверен, насколько обоснован мой аргумент. Собственное время падения наблюдателя на горизонт событий конечно — назовем это . Собственное время для того, чтобы световой луч достиг горизонта, равно нулю, поэтому световой луч достигнет наблюдателя до того, как пересечет горизонт событий, только если . Следовательно ограничено, и наблюдатель не увидит конца Вселенной.
Я думаю, что более строгим подходом было бы определение уравнений движения (в координатах Шварцшильда) для падающего наблюдателя и светового луча, а затем найти условие достижения светом падающего наблюдателя на некотором расстоянии от горизонта событий. Тогда примите предел как . В принципе это кажется простым, но на практике алгебра быстро победила меня. Даже для светового луча уравнение радиальное расстояние:время не имеет замкнутой формы (Вольфрам утверждает, что ему нужна функция), а для падающего наблюдателя расчет еще сложнее.
Я бы рекомендовал избегать координат Шварцшильда для таких вопросов. Все классические бесконечности (т.е. парадокс межсетевых экранов в стороне), имеющие отношение к горизонту событий, происходят из-за плохого выбора координат. Вы хотите использовать систему координат, которая является регулярной на горизонте, например, Крускала-Секереса . Действительно, взгляните на диаграмму Крускала-Секереса:
(источник: Википедия)
Это максимально расширенная геометрия Шваршильда, а не физическая черная дыра, образующаяся в результате коллапса звезды, но различия не должны нас беспокоить в этом вопросе. Область I и III — асимптотически плоские области, II — внутренняя часть черной дыры, а IV — белая дыра. Жирные гиперболы в областях II и IV — особенности. Диагонали, проходящие через начало координат, являются горизонтами событий. Происхождение (на самом деле 2-сфера с опущенными угловыми координатами) является горловиной непроходимой червоточины, соединяющей отдельные «вселенные» I и III. Радиальные световые лучи остаются диагональными линиями под углом 45 градусов на диаграмме Крускала-Секереса. Штриховые гиперболы — линии постоянной Шварцшильда. координата, а штриховые радиальные лучи – линии постоянных . Вы можете видеть, как горизонт событий становится координатной сингулярностью, где а также поменяться ролями.
Теперь, если вы проведете мировую линию из области I, ведущую в область II, станет очевидным, что она пересекает горизонт за конечное собственное время и, что более важно, световой конус прошлого события, в котором она попадает в сингулярность, не может содержать все пространство-время. Итак, краткий ответ на ваш вопрос: нет , кто-то, упав в черную дыру, не видит конца вселенной. Я не знаю формулы, которую вы просите , но в принципе вы можете прочитать это по световым лучам на диаграмме и просто преобразовать в любую координату/правильное время, которое вы хотите использовать.
Это переписывание ответа Майкла Брауна , чтобы помочь мне прояснить свои мысли и, возможно, помочь всем остальным, кто заинтересован, также прояснить свои мысли :-) Майкл представляет очень простой ответ на мой вопрос, основанный на геометрии пространства-времени. вокруг черной дыры.
Ключевым моментом является то, что обычные координаты Шварцшильда радиус/время бесполезны, потому что они скрывают то, что происходит. Чтобы обойти это, мы используем преобразование координат, чтобы нарисовать пространство-время вокруг черной дыры, используя координаты Крускала-Секереша . а также . Вот как выглядит результат:
The координата горизонтальна и координата вертикальная.
Проблема с этими координатами в том, что они очень неинтуитивны. Смещение в или же не соответствует какой-либо простой физической величине, в отличие от смещения в обычной радиальной координате или координата времени . Тем не менее, координаты KS значительно упрощают дело следующим образом:
В этих координатах постоянная является гиперболой, показанной пунктирной линией. Горизонт событий — сплошная линия 45°. Вы можете думать как увеличивается по мере продвижения вверх - это происходит, хотя и не линейным образом. Сингулярность — это красная гипербола (помните, это диаграмма пространства-времени, поэтому сингулярность — это кривая, а не точка). Регион, который я пометил это внешняя сторона черной дыры и область, которую я обозначил область внутри горизонта событий. Игнорируйте область диаграммы в левом нижнем углу, поскольку она не имеет отношения к моему вопросу.
Наконец, ключевой особенностью, позволяющей ответить на мой вопрос, является то, что все радиально входящие световые лучи представляют собой прямые линии под углом 45°, идущие снизу справа вверх слева. Я нарисовал несколько таких световых лучей в виде пурпурных линий.
Теперь мы можем ответить на мой вопрос. Начнем с ракеты, парящей на постоянном расстоянии от черной дыры, которая представлена черной пунктирной гиперболой постоянного (как я упоминал выше, вы можете думать об увеличении времени по мере продвижения вверх). Вовремя наш наблюдатель покидает ракету и начинает падать в сторону черной дыры. Синяя линия показывает траекторию движения наблюдателя. Наблюдатель попадает в сингулярность в точке, где встречаются синяя и красная линии.
Вовремя ракета освещает падающего наблюдателя лучом света. Луч света, движущийся под углом 45°, достигает наблюдателя до того, как пересекает горизонт событий — пока все хорошо. Вовремя ракета направляет на наблюдателя второй световой луч, и этот световой луч достигает наблюдателя в момент попадания в сингулярность. Вовремя ракета направляет третий луч света в черную дыру, но он не достигает наблюдателя, потому что наблюдатель уже попал в сингулярность и больше не существует. Это означает, что наблюдатель никогда не увидит световой луч, испускаемый в момент времени. . Наблюдатель видит любой световой луч, выпущенный между а также , но не видит ни одного луча света, выпущенного после . Таким образом, пунктирная пурпурная линия отмечает границу между лучами света, которые наблюдатель может видеть, и лучами, которые он не может видеть.
И есть ответ на мой вопрос. Наблюдатель не видит конца Вселенной, потому что последний луч света, который он видит, — это тот, который выпущен в момент времени. .
Это не дает мне простой способ вычислить значение , потому что мне нужно было бы вывести выражение для траектории падающего наблюдателя (синяя линия), а это сложно. Тем не менее это показывает, что конечен, поэтому, используя обозначения в моем вопросе, ограничен.
Принятый в настоящее время ответ обходит вопрос о расчете того, какие события на самом деле можно увидеть с использованием координат Шварцшильда. Ответ на этот вопрос можно найти, используя координаты Шварцшильда, как численно, так и аналитически . Ответ, конечно же, заключается в том, что световой конус прошлого для предельного случая не охватывает всю Вселенную за пределами черной дыры и что существует конечное время, доступное для подачи сигнала падающему объекту (даже в координатах Шварцшильда), это зависит от того, где Падающий наблюдатель был освобожден от.
Есть две отдельные проблемы, каждая из которых имеет два отдельных случая. Во-первых, выяснить, перехватывает ли свет падающего наблюдателя до того, как он достигнет горизонта событий. Однако затем необходимо внести небольшую дополнительную поправку, чтобы выяснить, может ли световой сигнал перехватить падающего наблюдателя после того, как он пересечет горизонт событий, но до того, как достигнет сингулярности.
1. Может ли свет перехватить объект до того, как он достигнет горизонта событий
(а) Объект, падающий с бесконечности
Я начинаю с наблюдателя в радиусе (все радиусы выражены как кратные радиусу Шварцшильда ). Наблюдатель проходит во время (в координатах Шварцшильда, что равно согласно собственным часам наблюдателя), объектом, падающим радиально внутрь к черной дыре из бесконечности (откуда он начал в покое). В какой-то момент позже наблюдатель направляет лазерный луч радиально внутрь. Задача состоит в том, чтобы выработать максимум который перехватит падающий объект, а затем преобразует его в с точки зрения собственного времени по мнению наблюдателя. Что должен быть максимум а также концептуально легко установить, рассматривая (например) координаты Крускала-Секереша.
Нулевая геодезическая (в координатах Шварцшильда), по которой следует свет, движущийся внутрь (в единиц) составляет:
Геодезическая, за которой следует тело, выпущенное из бесконечности в состоянии покоя, равна (например, см. Уравнение 25.38 в разделе «Орбиты частиц» книги «Гравитация» Мизнера, Торна и Уилера, 2017, издательство Принстонского университета)
Построив эти геодезические и используя метод деления пополам, чтобы определить, когда они пересекаются и если они пересекаются, я смог определить максимальное ( в OP, хотя я начал свой объект в свободном падении из бесконечности), который по-прежнему позволяет свету перехватывать падающий объект в зависимости от того, откуда этот свет излучается. Результат кажется устойчивым к снижению толерантности (я использовал ).
Пример предельного случая показан ниже. Красная кривая — световая геодезическая, а синяя кривая — геодезическая объекта, падающего из бесконечности и проходящего (в данном случае) в . Падающий наблюдатель мог видеть только события ниже красной кривой.
Затем я «вывел» эту кривую аналитически. Преобразуя уравнение (1), мы можем написать
Преобразуя уравнение (2) аналогичным образом, получим
Наличие или отсутствие точки пересечения определяется тем, меньше ли отношение уравнений (4) и (5) 1, как .
Чтобы превратить это в максимально правильный интервал времени с точки зрения наблюдателя, результат будет умножен на .
(b) Объект, падающий из состояния покоя в
Теперь настройка такова, что наблюдатель выпускает объект из , затем ждет (координатный) интервал времени до подачи сигнала.
Уравнение (1) по-прежнему справедливо в этом сценарии, однако уравнение (2) необходимо заменить следующей геодезической для объекта, свободно падающего из состояния покоя при .
В качестве , первый член в уравнении (6) растет экспоненциально, в то время как второй член, который я буду определять как , стремится к константе:
Используя тождество, которое , тогда
Чтобы найти предельное для которого луч света от наблюдателя «подхватит» падающий предмет, возьмем соотношение уравнений 4 и 7, положим и требуем, чтобы это число было меньше 1. Это дает
Результат представлен ниже в виде красной кривой (и я подтвердил, что она верна, используя численный метод деления пополам) и сравнивается со случаем 1 со свободным падением объекта из бесконечности (синяя кривая, как на первом рисунке). Как и ожидалось, разрешено больше, когда объект выходит из состояния покоя.
Как и прежде, этот результат является максимальным интервалом времени в координатах Шварцшильда. Оно должно быть уменьшено соответствующим коэффициентом замедления времени. чтобы получить максимальный правильный временной интервал.
Пример предельного случая показан ниже. Красная кривая — геодезическая света, синяя кривая — геодезическая падающего объекта. Объект, падающий в черную дыру из состояния покоя, из (в данном случае) примерно .
2. Может ли свет перехватить объект до того, как он достигнет сингулярности.
Ответ выше дает максимальную (координатную) временную задержку сигнала от стационарного наблюдателя для достижения падающего объекта до того, как он достигнет горизонта событий . . Но это не полностью отвечает на вопрос (заголовок), потому что объект все еще может получать свет в течение времени, необходимого для достижения сингулярности после пересечения горизонта событий. Наиболее отчетливо это видно в координатах Крускала-Секереса, но опять же можно решить (довольно легко) в координатах Шварцшильда.
Условием здесь является то, что координатное время геодезической с задержкой света должно быть меньше или равно координатному времени геодезической падающего объекта в точке .
Это условие на самом деле довольно легко найти. Для случая свободного падения объекта с бесконечности уравнения (1-3) показывают, что исходная то, что я получил, должно быть увеличено как
Для случая падения объекта из состояния покоя мы видим, что в , так что если координатное время меньше или равно координатному времени объекта в получается из уравнений (1) и (6) как
Сюжет ниже должен прояснить ситуацию. Он показывает геодезические либо сбоку, либо в случае падения предмета с в . Светлая геодезическая, выделенная красным цветом, рассчитана таким образом, что она просто перехватывает объект как и имеет . Но мы видим, что эта геодезическая «догоняет» падающий объект до того, как он достигает сингулярности в . Однако геодезический зеленый свет, с пересекает геодезическую точку объекта точно .
Я согласен, что для пространства-времени, которое в точности соответствует Шварцшильду, падающий наблюдатель не видит всей истории Вселенной. Однако оказывается, что это не тот типичный случай, которого можно было бы ожидать от астрофизической черной дыры, образовавшейся в результате коллапса некоторого приблизительно сферического распределения материи. Эта тема на самом деле активно исследуется, и есть некоторые очень интересные результаты о том, как на самом деле выглядит внутренняя часть черной дыры. См., например, эту недавнюю статью .
Причина того, что у Шварцшильда падающий наблюдатель не видит всей истории вселенной, заключается в том, что сингулярность пространственноподобна. Это означает, что существует диапазон точек, в которых падающий наблюдатель может столкнуться с сингулярностью, и каждая точка может видеть только часть Вселенной в ее причинном прошлом.
Но люди уже давно знают о других видах черных дыр, которые не разделяют такого поведения. Наиболее известными примерами являются решение Рейсснера-Нордстрема для заряженной сферически-симметричной черной дыры и решение Керра для вращающейся черной дыры. Они оба имеют времяподобные особенности, и, следовательно, ситуация совершенно иная. Вот причинно-следственная диаграмма черной дыры Рейсснера-Норстрема:
Вертикальные зубчатые линии представляют времяподобные сингулярности этой черной дыры. В этом случае можно избежать сингулярности и выйти в новую вселенную, которую можно прикрепить к верхней части этой картинки. В этом случае, когда вы пересекаете внутренний горизонт, вы должны иметь возможность оглянуться назад и увидеть всю историю или вселенную.
Однако это поднимает проблемный момент. Наблюдатель проходит внутренний горизонт за конечное собственное время, однако он способен видеть весь свет, проникающий в черную дыру, за всю бесконечную историю Вселенной. Поскольку у света есть энергия, вы можете подумать, что это скопление излучения из внешней вселенной должно приводить к сильному искривлению, и это действительно так. Это известно как нестабильность массовой инфляции черной дыры. Черные дыры Керра разделяют эту особенность, хотя структура сингулярности в этом случае более сложная.
Таким образом, для обычных черных дыр, которые не являются точно шварцшильдовскими, ожидается другое поведение. Возмущения имеют тенденцию изменять сингулярность от пространственной до поведения нулевой поверхности, т.е. следования траекториям света. На картинке из приведенной выше статьи показана такая ситуация:
Внешняя вселенная живет в правом нижнем треугольнике этой картинки. Линии, помеченные являются нулевыми особенностями. В документе было обнаружено, что эта ситуация возникла в результате возмущения решения Шварцшильда веществом скалярного поля. В этом случае, если бы вы упали в черную дыру из внешней вселенной, вы бы столкнулись с нулевыми сингулярностями, и, если бы вы попали в ту, что справа, вы увидите всю историю вселенной, в том смысле, что все это у вас будет доступ к свету, проникающему в черную дыру из сколь угодно поздних времен истории вселенной.
(Ответ Майкла Брауна является правильным ответом, и он просто усиливается с помощью добавленной диаграммы.)
Ниже приведен рисунок 31.4 со страницы 835 книги Gravitation (MTW).
Обе диаграммы относятся к геометрии Шварцшильда. Обратите внимание, что в координатах Крускала-Секереша световые конусы появляются так же, как и в пространстве-времени Минковского.
Как указывает Майкл, светоподобные радиальные геодезические представляют собой линии под углом 45 градусов, что можно увидеть, взглянув на геодезическую B.
Ясно, что существуют светоподобные мировые линии, которые пересекают горизонт после некоторых времениподобных мировых линий, поэтому мировая линия астронавта, падающего радиально к дыре, не пересекает все светоподобные радиальные мировые линии до пересечения горизонта.
Также ясно, что существуют светоподобные мировые линии, которые заканчиваются на сингулярности после некоторых времениподобных мировых линий.
Таким образом, космонавт не видит бесконечного будущего до пересечения горизонта или встречи с сингулярностью.
Кроме того, и это просто интересное примечание, решение Шварцшильда является сферически-симметричным статическим (ну, по крайней мере, за пределами горизонта) решением уравнений Эйнштейна. Другими словами, в этом решении нет «конца вселенной» .
Вдохновленный подобным вопросом , я работал над этой темой одновременно с Робом Джеффрисом. Раздражающе, он меня опередил; но поскольку я использую немного другой подход и не хочу, чтобы мои усилия были напрасными, я опубликую свой собственный вывод. По крайней мере, это служит подтверждением его фантастического ответа :)
Начнем с задания координат Крускала–Секереша (область I)
Как известно, в этих координатах геодезические радиально падающих световых лучей представляют собой прямые линии при углы. Действительно, если мы подключим в уравнения, с константа, то из мы нашли , чтобы
Теперь предположим, что у нас есть радиально падающий объект, который находится в состоянии покоя в точке в . Какие радиально падающие фотоны достигнут объекта до того, как он пересечет горизонт событий? Чтобы ответить на этот вопрос, мы попытаемся вывести геодезическую для радиально падающего фотона, который догонит объект прямо на горизонте событий.
Геодезическая для радиально падающего объекта может быть записана в виде (уравнение Мизнера, Торна и Уилера (31.10), стр. 824)
Я построил график для визуализации результатов в координатах Шварцшильда и Крускала-Секереса:
Синяя кривая — геодезическая объекта, находящегося в покое. (здесь, ). Оранжевая кривая — это геодезическая фотона, находящегося в положении в . Красная кривая — это геодезическая, которую я вывел в этом посте. Он начинается с позиции в и догоняет объект прямо на горизонте событий. Геодезические фотонов, лежащие между оранжевой и красной кривыми (я нарисовал две из них, пунктирные кривые), догонят объект, а геодезические за красной кривой — нет.
Чтобы добавить к превосходным ответам выше, вот диаграмма пространства-времени в координатах Гуллстранда-Пенлеве или «дождя». Это из превосходной и доступной книги « Исследование черных дыр » (2000) Тейлора и Уилера. . Их метафора «дождь» означает пробную частицу с массой, которая первоначально упала из состояния покоя вдали от черной дыры. Думайте о них как о космонавтах/наблюдателях для решения этой проблемы.
- собственное время капли дождя, которое используется в качестве координаты. - обычная координата кривизны, как в координатах Шварцшильда [-Дросте], и это масса черной дыры. Диаграмма показывает, что большинство «импульсов света» никогда не догоняют данный «плунжер дождя»; в частности, они не увидят конца вселенной.
Нет. Черная дыра полностью испарится за конечное время, поэтому к концу Вселенной ее больше не будет.
Ваш вопрос вызван некоторой путаницей с пространственно-временной концепцией черной дыры. Вы должны различать вашу систему координат и то, что вы видите. Это разные концепции. Один простой пример — пространство Минковского: если диаграмма Минковского представляет ваши координаты, вы получаете четырехмерное представление всего пространства-времени. Напротив, то, что вы видите, — это элементы, расположенные на вашем световом конусе, который показывает прошлое.
Вблизи черной дыры мы должны применять такое же различие этой двоякой концепции, которое можно показать на следующей диаграмме Крускала, где одна падающая частица А и одна частица остается вне В:
Временные координаты далекого наблюдателя обозначены линиями, проходящими через центр: t = 0, t = 1, t = 2, ограниченными горизонтом событий, где t = . Согласно этим временным координатам падающая частица никогда не достигнет горизонта. И наоборот, когда А приближается к горизонту, часы стороннего наблюдателя будут приближаться к концу времени.
Возможно, именно поэтому вы задали свой вопрос. Но ваш вопрос заключается не в том, каково положение по отношению к координатам стороннего наблюдателя, а в том, что видит падающая частица, и для этого вопроса вы должны обратиться (как показано в других ответах) к малому 45°- стрелки между взаимодействующими частицами A и B. 3 диагональные стрелки снизу налево показывают, что B находится в определенной точке, когда A касается горизонта событий.
Аникс