Максимальная высота конечной скорости для определенной массы?

Уравнение$v^2=u^2+2as$применяется только к объекту, который ускоряется с постоянным ускорением$a$. Если принять во внимание сопротивление, ускорение падающего объекта не является постоянным — оно начинается с$g$когда$t=v=0$, но затем асимптотически убывает в сторону$0$. Таким образом, вы не можете использовать$v^2=u^2+2as$.

Падающий объект с сопротивлением никогда не достигает своей конечной скорости.$V_t$- оно приближается к нему асимптотически (так же, как его ускорение приближается, но никогда не достигает$0$). Его скорость во времени$t$на самом деле дается

$\displaystyle v(t) = V_t \tanh \left( t \frac {g} {V_t} \right)$

Мы можем переписать это как

$\displaystyle v(t) = V_t \tanh \left( \frac t T \right)$

где

$\displaystyle T = \frac {V_t}{g} = \sqrt {\frac {2m}{g \rho A C_d}}$

$\tanh(1) \approx 0.762$, так что в свое время$t=T$падающий объект достигнет$76.2\%$его конечной скорости; вовремя$t=2T$это будет достигнуто$96.4\%$его конечной скорости; и вовремя$t=3T$это будет достигнуто$99.5\%$его конечной скорости.

Я также знаю, что$v^2 = u^2 + 2as$.

К сожалению, это рассуждение неверно, потому что здесь $v$мгновенно меняется со временем.

Ньютоновское уравнение движения падающего объекта:

Это дифференциальное уравнение показывает, что по мере увеличения скорости тела его ускорение$a=\dot{v}$постепенно уменьшается, пока не станет$0$при достижении конечной скорости.

@gandalf61 предоставил решения для$(1)$.