Можно ли вывести уравнения Максвелла из закона Кулона и специальной теории относительности?

Уравнения Максвелла следуют из законов электричества в сочетании с принципами специальной теории относительности. Но этот факт не означает, что магнитное поле в данной точке менее реально, чем электрическое поле. Наоборот, относительность подразумевает, что эти два поля должны быть в равной степени реальными.

Когда применяются принципы специальной теории относительности, электрическое поле$\vec{E}$должен быть включен в объект, который трансформируется определенным образом при преобразованиях Лоренца, т. е. при изменении скорости наблюдателя. Поскольку «скалярной электрической силы» не существует, и по другим техническим причинам я не хочу объяснять,$\vec{E}$не может быть частью 4-вектора в пространстве-времени,$V_{\mu}$.

Вместо этого это должны быть компоненты$F_{0i}$антисимметричного тензора с двумя индексами,

Индексы$\mu,\nu$принимать значения$0,1,2,3$то есть$t,x,y,z$. Из-за описанной выше антисимметрии имеется 6 неэквивалентных компонент тензора — значения$\mu\nu$может быть

Когда мне было 10 лет, я тоже думал, что магнитное поле могло быть просто артефактом электрического поля, но этого не может быть. Вместо этого электрические и магнитные поля в каждой точке полностью независимы друг от друга. Тем не менее, симметрия Лоренца может переводить их друг в друга и они оба нужны для того, чтобы их друг мог трансформироваться во что-то в другой инерциальной системе, чтобы симметрия при смене инерциальной системы не терялась.

Если только начать с$E_z$электрическое поле, составляющая$F_{03}$отличен от нуля. Однако, когда вы повышаете систему в$x$-направление, вы смешиваете временную координату$0$с пространственным$x$-координат$1$. Следовательно, часть$F_{03}$поле превращается в составляющую$F_{13}$что интерпретируется как магнитное поле$B_y$, с точностью до знака.

В качестве альтернативы можно описать электричество электрическим потенциалом$\phi$. Однако плотность энергии от плотности заряда$\rho=j_0$должен быть тензором с двумя времяподобными индексами,$T_{00}$, так$\phi$сам по себе также должен иметь времяподобный индекс. Должно быть, это$\phi=A_0$для некоторого 4-вектора$A$. Весь этот 4-вектор должен существовать по теории относительности, включая пространственные компоненты$\vec{A}$, и новое поле$\vec{B}$можно рассчитать как завиток$\vec{A}$пока$\vec{E}=-\nabla\phi-\partial \vec{A}/\partial t$.

Вы, видимо, хотели доказать отсутствие магнитных монополей, доказав отсутствие самого магнитного поля. Что ж, извините, что прервал ваш исследовательский план: он не сработает. Магниты чертовски настоящие. И если вам интересно, существование магнитных монополей неизбежно в любой последовательной теории квантовой гравитации. В частности, два полюса гантелеобразного магнита могут коллапсировать в пару черных дыр, которые неизбежно будут обладать (противоположными) зарядами магнитных монополей. Самые легкие из возможных (планковская масса) черные дыры с монопольными магнитными зарядами будут «доказательствами концепции» тяжелых элементарных частиц с магнитными зарядами — однако иногда могут существовать и более легкие частицы с такими же зарядами.

Ответ Любоша Мотла очень хорош, но я думаю, что стоит сказать еще кое-что.

Вы можете рассматривать магнетизм просто как побочный продукт электричества в следующем смысле: если вы предполагаете, что закон Кулона верен, и что специальная теория относительности верна, и что заряд является скаляром Лоренца (так что заряд и плотность тока образуют 4- вектор), то вы можете вывести все уравнения Максвелла. (На самом деле, теперь, когда я думаю об этом, вы, вероятно, также должны предположить, что теория также является линейной.) Учебник Перселла для бакалавриата очень подробно описывает это в приятной, приятной форме, и это также есть в более продвинутых учебниках. .

Некоторые книги замалчивают необходимость постулировать, что заряд является скаляром. По крайней мере, в одном учебнике — не помню в каком — это подчеркивается и приводит убедительные доводы в пользу того, что на это стоит обратить внимание. Один из способов убедиться в том, что это не тривиальное условие, состоит в том, чтобы рассмотреть аналогию с гравитацией, то есть заменить заряд массой, а электрическое поле — гравитацией, и попытаться применить тот же аргумент. (Допустим слабые поля, чтобы все можно было рассматривать как линейное, если хотите.) Существуют «гравитомагнитные» эффекты, но они не связаны с обычной гравитацией так же, как магнитное поле связано с электрическим полем, т.е. , гравитационные аналоги уравнений Максвелла выглядят иначе, чем обычные уравнения Максвелла). Одной из причин является различие знаков, конечно - в одном случае одноименные заряды отталкиваются, а в другом притягиваются. Но более важная причина в том, что источник гравитации не является скаляром: его плотность является частью не 4-вектора, а скорее тензора второго ранга.

Но на более философском (или, возможно, семантическом) уровне я бы не стал прыгать от этого факта к выводу, что магнетизм — это «просто» побочный продукт электричества. По крайней мере, такой язык не кажется полезным для понимания теории или ее использования! Например, понять, как электромагнитная волна может распространяться от далекой галактики к вашему глазу, гораздо проще и естественнее, если посмотреть на это с «обычной» точки зрения.

Не прямой ответ на ваш вопрос, но все же удивительный вывод уравнений Максвелла:

Фейнмановское доказательство уравнений Максвелла (FJ Dyson - Phys. Rev. A, 1989) показывает, что можно вывести уравнения Максвелла из второго закона Ньютона и коммутационных соотношений (в нерелятивистских пределах).

Да, вы можете это сделать, но вам также нужно использовать принцип суперпозиции.

1. Вы определяете, что закон Кулона, $$\mathbf F = \frac{qQ\mathbf r}{|\mathbf r |^{3}},$$ является граничным случаем релятивистской силы, действующей на заряд q полем Q-заряда.
2. Используя преобразование Лоренца для силы и радиус-вектора, $$\mathbf F = \mathbf F' + \gamma \mathbf u \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}},$$ $$\mathbf r' = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} (t = 0),$$ где u — скорость инерциальной системы, v — скорость заряда, можно считать, что относительно другой инерциальной системы с относительной скоростью u сила имеет вид $$\mathbf F = q\mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B],$$ куда $$\mathbf E = \frac{\gamma Q \mathbf r}{(r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2})^{\frac{3}{2}}}, \quad \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E].$$ Конечно, магнитное поле является релятивистским кинематическим эффектом, но описанная выше процедура представляет собой релятивистское кинематическое преобразование закона Кулона. Поэтому некоторые люди сделали ошибку, дав отрицательный ответ.
3. После этого, используя первичные теоремы векторного анализа и процедуру регуляризации, можно «взять» rot и div из приведенных выше выражений E и B. После этого вы сможете заработать уравнения Максвелла. При переходе от поля одного заряда к многозарядному непрерывному распределению необходимо использовать принцип суперпозиции.

Я знаю, что Перселл и другие использовали симметрию Лоренца в качестве педагогического приема для мотивации введения магнитных полей, но я не припомню, чтобы когда-либо видел аксиоматический вывод уравнений Максвелла. Было бы интересно увидеть, какие именно предположения помимо симметрии Лоренца и закона Кулона необходимы для реконструкции уравнений Максвелла.

Поля B не являются фиктивными полями

Если вам известны электрические и магнитные поля в одной инерциальной системе отсчета, вы можете определить электрические и магнитные поля в любой другой системе с помощью преобразования Лоренца. Если магнитное поле исчезнет в данной инерциальной системе отсчета, вы можете считать магнитные эффекты в других системах отсчета фиктивными. Однако не всегда удается найти систему, в которой магнитные поля обращаются в нуль. Самый быстрый способ убедиться в этом — заметить, что E^2 - B^2 c^2 является величиной, инвариантной по Лоренцу ( см. Википедию). Если мы обнаружим, что B^2 > E^2/c^2 в данной точке пространства-времени в данной инерциальной системе отсчета, отсюда следует, что B^2 > 0 в этой точке во всех инерциальных системах отсчета. На самом деле вы могли бы начать с системы отсчета, где электрическое поле исчезает, а магнитное поле — нет; тогда электрические поля, наблюдаемые в других системах отсчета, можно было бы считать фиктивными.

В общем, ни электрическое поле, ни магнитное поле не могут исчезнуть при лоренцевом импульсе. Чтобы быстро увидеть это, обратите внимание, что скалярное произведение вектора поля E на вектор поля B в данной точке пространства-времени является лоренц-инвариантной величиной ( см. Википедию ). Если это скалярное произведение не равно нулю в данной точке пространства-времени в данной инерциальной системе отсчета, векторы электрического и магнитного полей будут отличны от нуля в этой точке пространства-времени во всех инерциальных системах отсчета.

Как указывал Эйнштейн, вы можете понять движение заряженной частицы, обратившись к электрическому полю в системе покоя этой частицы. Однако, если у вас есть несколько частиц с разными скоростями, вам нужно отслеживать электрическое поле в мгновенной системе покоя каждой частицы. Поскольку бустеры Лоренца смешивают поле E с полем B, единственный способ отслеживать поле E в системе покоя каждой из ваших частиц в терминах локальных величин в одной инерциальной системе отсчета — это обращаться к полю E и полю B. поле.

Местонахождение

Даже если это возможно, мне не ясно, желательно ли использовать закон Кулона в качестве аксиомы в электромагнитной теории. Уравнения Максвелла объясняют движение частиц, ссылаясь на локальные степени свободы, поля. Закон Кулона, с другой стороны, является формой действия на расстоянии и явно нелокален.

Безусловно, можно переписать как поля E, так и B в виде интегралов по плотности заряда и плотности тока (другую ссылку дать не могу, так что погуглите "уравнения Ефименко"), а затем использовать эти выражения для интерпретации электромагнитных сил как форма замедленного действия на расстоянии. Однако для получения этих выражений требуются предположения о граничных условиях для полей E и B. Мы всегда можем получить другое правильное решение уравнений Максвелла, просто изменив граничные условия на полях, что демонстрирует, что поля имеют независимое существование, а не просто учетные переменные для упрощения более фундаментального нелокального взаимодействия.

Монополи

Как обычно пишут, уравнения Максвелла не содержат членов, соответствующих магнитному заряду, но было бы непротиворечиво добавить такие члены. Фактически, Дирак показал, что квантование электрического заряда может быть связано с существованием магнитных монополей (я не могу опубликовать другую ссылку, поэтому погуглите «условие квантования магнитного монополя Дирака»). Уравнения Максвелла не говорят нам, существуют ли или могут ли существовать магнитные монополи, но квантование электрического заряда может свидетельствовать о том, что магнитные монополи существуют где-то во Вселенной.

Вы не можете. B — это не просто релятивистский побочный эффект E. Джексон, электродинамика , раздел 12.2 имеет хорошее обсуждение, в котором он опровергает «доказательства», приведенные в некоторых учебниках для студентов.

«Путаница возникает главным образом потому, что свойства преобразования силы Лоренца таковы, что магнитоподобный член силы появляется, когда сила в одной инерциальной системе отсчета выражается через силу в другой системе отсчета. Заманчиво дать этому дополнительному члену силы независимое существование и, таким образом, идентифицируют магнитное поле как отдельную сущность. Но такой шаг необоснован без дополнительных предположений».

Джексон продолжает демонстрировать явный контрпример, основанный на скалярном потенциале Лоренца. Это поле выглядит как электростатика (или даже ньютоновская гравитация!) в нерелятивистском пределе. У него также есть «кажущаяся магнитоподобная сила. Но независимой сущности B не существует ». Итак, в этой «теории» В действительно является лишь релятивистским эффектом, но эта теория неприменима к Природе.

С помощью закона Кулона и специальной теории относительности вы можете вывести закон Ампера, который дает вам магнитостатику. Чего не хватает для электродинамики, так это тока смещения ($\frac{1}{c^2} \frac{\partial E}{\partial t}$), который является источником магнитного поля, возникающего из-за переменного во времени электрического поля, а не в результате движения электрического заряда.

В теории относительности всего два постулата:

1. Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
2. Все инерциальные наблюдатели измеряют одну и ту же скорость света в вакууме.

Сама по себе теория относительности не требует, чтобы электрические поля (или электрический потенциал, если уж на то пошло) двигались со скоростью света. Чтобы вывести уравнения Максвелла, вам нужен дополнительный постулат, который обеспечивается волновым уравнением (для электрического потенциала) в разделе 4 ссылки в ответе Хелдера. Без этого дополнительного постулата (что изменения электрического потенциала распространяются со скоростью света) вы не можете вывести ток смещения только из закона Кулона и теории относительности.

Ханс де Врис (*):

Самый простой и полный вывод магнетизма как релятивистского побочного эффекта электростатики.

Он использует только Электростатическое поле и неодновременность для получения Магнитного поля. Он объясняет это лучше, чем Перселл.

Магнитное поле является побочным эффектом движения в электрическом поле.

(*) У Ханса де Вриса есть очень интересная онлайн-книга (еще не законченная) на его сайте, и он предлагает еще одну жемчужину, не имеющую отношения к этому посту, но я чувствую себя обязанным поделиться: Сокращение Лоренца — это реальный эффект, и не только «референциальный эффект», как мы склонны полагать.

Нет, ты не можешь. По нескольким причинам. Во-первых, если у вас есть E, чтобы получить поле B, вам нужны дополнительные предположения о структуре теории, т.е. более подробно о тензоре напряженности поля, см. выше ответ Любоша. Но в дополнение к этому, даже если бы у вас было решение для точечного заряда, чтобы получить уравнения Максвелла, вам нужно знать больше, чем просто иметь одно решение. Например, что они линейны, второго порядка и что такое группа симметрии. И если вы добавите это, вы все равно сможете вывести уравнения Максвелла из этих предположений, даже не начав с кулоновского поля.

Да. См. Принципы электродинамики Мелвина Шварца. Он выводит всю электродинамику, включая уравнения Максвелла, из закона Кулона и специальной теории относительности.

Ответ Любоша Мотля в некоторой степени полезен тем, что он показывает, как привнести те виды прозрений, которые предлагает теория относительности, но, тем не менее, он начинается с общего вывода, а этот вывод неверен. Это неправильно во многом по причинам, кратко указанным в ответе WIMP.

Вопрос важный, и важно получить правильный ответ. Вопрос в том:

Можно ли вывести уравнения Максвелла, используя только закон Кулона и специальную теорию относительности?

Ответ: нет, потому что можно придумать множество других теорий поля, уважающих специальную теорию относительности, которые воспроизводят закон Кулона в инерциальной системе отсчета данного точечного заряда.

Однако можно сказать, что классический электромагнетизм (т. е. уравнение Максвелла и уравнение силы Лоренца или любая формулировка, эквивалентная ей, например формула Лагранжа) относится к числу простейших теорий поля, учитывающих специальную теорию относительности и включающих закон Кулона. Определение «самый простой» здесь, по общему признанию, неточное.

Основная причина, по которой вы не можете вывести Максвелла из «Кулона + СТО», заключается в том, что вы не знаете, следует ли включать эффекты ускорения в соотношение между потенциалами и зарядами.

Теперь я немного «приоткрою крышку» теоретической физики. Очень хороший (не единственный) математический способ гарантировать, что любая часть физики соблюдает Специальную теорию относительности (СТО), состоит в том, чтобы ограничиться тензорными выражениями во всем, что вы предлагаете и записываете. Здесь «тензорный» включает в себя тензоры нулевого ранга, т. е. скаляры, но не просто любые старые скаляры: они были бы лоренц-инвариантными скалярами. Он также включает 4-векторы и тензоры второго и более высоких рангов. При взятии производных вы используете оператор ковариантного градиента$\partial_a$, а затем у вас есть набор инструментов для построения дифференциальных уравнений, учитывающих SR

Таким образом, «самая простая» теория поля может заключаться в том, что частицы могут обладать лоренц-инвариантным скалярным свойством, называемым зарядом.$q$, а сила, действующая на заряженную частицу, не зависит от 4-скорости$u^a$частицы. Беда в том, что вы быстро обнаружите, что в такой теории сила, действующая на частицу, не может изменить скорость частицы без изменения ее массы. Исследуя дальше, вы пытаетесь позволить 4-силе$f^a$зависеть от 4-скорости через простое линейное уравнение, включающее скалярное поле$\phi$, такие как$f^a = q \phi u^q$(?). Все еще не хорошо (массовые изменения снова). Итак, вы вынуждены попробовать тензор второго ранга$F^{ab}$для поля, потому что это самая простая вещь, кроме скаляра, который может принимать 4-вектор$u^a$в качестве входных данных и вернуть 4-векторную силу:

$f^a = q F^{a\mu} u_\mu$

Теперь все в порядке: сила сохраняет массу до тех пор, пока$F^{ab}$является антисимметричным. Хороший! Антисимметричный тензор является простейшим типом тензора второго ранга. Далее нам нужно дифференциальное уравнение для этого поля: попробуйте самое простое — взять дивергенцию, и вы уже на пути к уравнениям Максвелла. Если теперь мы введем закон Кулона (а именно здесь он и пригодится), то вы гарантированно получите два уравнения Максвелла, если ограничите исходный член в своем дифференциальном уравнении только одним членом, пропорциональным плотности заряда и 4-скорости. . Закон Кулона сам по себе не говорит вам не добавлять дополнительные термины, связанные с 4-ускорением.

При таком подходе мы не приходим неумолимо к уравнениям Максвелла, но можно обнаружить, что они, пожалуй, самые простые, которые включают свойство сохранения заряда и допускают силу, сохраняющую массу (на техническом языке, чистую силу).

Среди других теорий поля, с которыми приходится сталкиваться, есть одна, очень похожая на Максвелла, но включающая магнитные монополи. Это возникает очень естественно при теоретическом рассмотрении и, безусловно, является серьезным кандидатом на то, как на самом деле работает физический мир. Это несколько менее просто, поскольку теряется приятное свойство записи тензора поля в виде 4-завитка 4-векторного поля (4-потенциал), и теория больше не соблюдает симметрию относительно инверсии пространства (четность). См. обсуждение в книге Джексона об электромагнетизме. Если на самом деле существуют магнитные монополи, как предполагают многие версии квантовой теории поля, то загадка заключается в том, почему электрических монополий гораздо больше, чем магнитных монополий.

Однако я хотел бы подчеркнуть, что проблема с магнитным монополем — далеко не единственная причина, по которой уравнения Максвелла не могут быть полностью выведены из закона Кулона и СТО. Другие причины включают в себя то, что можно легко представить себе, что уравнения поля включают производные движения высших порядков. частицы; SR сам по себе не может сказать вам, что это не так. Начав с лагранжевого подхода, можно ввести дополнительные ограничения, такие как инвариантность, ведущая к законам сохранения, и тогда электромагнетизм будет довольно жестко, но все же не полностью ограничен. По сути, СТО может сказать вам, что поле, создающее силу, независимую от скорости тела, не может быть всей историей физики. Такое поле (например, электрическое поле) должнобыть в партнерстве с дальнейшими эффектами, которые действительно зависят от скорости тела.

Есть несколько статей, которые показывают, что уравнения сохранения/непрерывности для электрического заряда достаточно, чтобы вывести всю систему уравнений Максвелла. См., например, эту ссылку и цитаты; https://pdfs.semanticscholar.org/3251/31eadb62c8fdfdaaad7b21a308992ff3a4d2.pdf«Как получить ковариантную форму уравнений Максвелла из уравнения неразрывности... Таким образом, круговой процесс кажется неизбежным в электромагнетизме: ρ и J влекут за собой E и B, которые, в свою очередь, влекут за собой новые ρ1 и J1, и скоро. Из-за этой круговой характеристики неясно, являются ли E и B (удовлетворяющие уравнениям Максвелла) следствием ρ и J (удовлетворяющих уравнению неразрывности) или наоборот. По словам рефери, кажется делом вкуса сказать, какое из них является следствием другого. Другими словами: из комментария рецензента мы можем заключить, что связь между источниками и полями немного напоминает проблему яйца и курицы: кто был первым?».

Кроме того, исходя из закона Кулона для статического электричества и принимая во внимание тот факт, что действие не может двигаться быстрее света, использование запаздывающего интеграла дает полный набор уравнений Максвелла. https://en.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A9nard%E2%80%93Wiechert_potential .

Таким образом, само замедление порождает силу, нормальную движению (скорости), пропорциональную ей и убывающую пропорционально квадрату расстояния, т. е. магнитному полю по определению. Это также порождает двухкомпонентную силу — электрическое и магнитное поля, пропорциональные ускорению, которые затухают только обратно пропорционально расстоянию (а не обратному квадрату), и это излучение по определению. Таким образом, можно сделать вывод, что магнетизм и излучение являются эмерджентными явлениями, вызванными конечностью скорости распространения задействованных сил.

Некоторые ответы указывали на связь с гравито-магнетизмом и относительностью. Я думаю, это происходит из-за того, что закон тяготения Ньютона можно трактовать так же, как закон Кулона, что приводит к набору уравнений, подобных уравнениям Максвелла. Это гравито-магнитные уравнения, которые фактически также выводятся из общей теории относительности для слабых полей. https://en.wikipedia.org/wiki/Гравитоэлектромагнетизм

Насколько я понимаю вашу идею, вы спрашиваете, можно ли восстановить все уравнения Максвелла, только используя преобразования Лоренца и используя существование электрического поля. Ответ - нет. Вот эвристический пример: если у вас есть круглый одномерный провод с переменным током$I(t)$, нет никакого преобразования Лоренца для создания магнитного поля этой системы, исходя только из электрического поля, потому что электрический заряд круглого провода движется неинерционным образом.