Насколько ошибочны классические уравнения Максвелла (по сравнению с КЭД)?

Максвелловская электродинамика терпит неудачу, когда речь идет о явлениях квантовой механики, точно так же, как ньютоновскую механику в этом режиме необходимо заменить квантовой механикой. Уравнения Максвелла на самом деле не «проваливаются», поскольку эквивалентная версия все еще существует в КМ, меняется только сама механика.

Позвольте мне немного остановиться на этом. В ньютоновской механике у вас были зависящие от времени положение и импульс,$x(t)$а также$p(t)$для вашей частицы. В квантовой механике динамическое состояние переносится в квантовое состояние$\psi$, ближайшим классическим аналогом которой является плотность вероятности в фазовом пространстве в лиувиллевой механике . В квантовой механике есть две разные «картинки», которые совершенно эквивалентны.

• В картине Шрёдингера динамическая эволюция закодирована в квантовом состоянии$\psi$, которая эволюционирует во времени по уравнению Шрёдингера. Позиция и импульс заменены статическими операторами$\hat x$а также$\hat p$которые действуют на$\psi$; это действие можно использовать для нахождения ожидаемого значения и других статистических данных любого измерения положения или импульса.

• В картине Гейзенберга квантовое состояние фиксировано, и именно операторы всех динамических переменных, включая положение и импульс, развиваются во времени посредством уравнения Гейзенберга.

В простейшей версии квантовой электродинамики и, в частности, когда не участвуют релятивистские явления, уравнения Максвелла продолжают выполняться: это в точности уравнения Гейзенберга для электрического и магнитного полей, которые теперь являются операторами состояния системы.$\psi$. Таким образом, вы формально все еще «используете» уравнения Максвелла, но это скорее вводит в заблуждение, поскольку механика вокруг этого совершенно другая. (Кроме того, вы склонны работать над картиной Шредингера, но это не относится к делу.)

Этот режим используется для описания экспериментов, которые требуют квантования самого поля, таких как интерферометрия Хонга-Оу-Манделя или эксперименты, в которых поле измеримо запутано с веществом. Существует также большая серая область экспериментов, которые полезно описать с помощью этого формализма, но на самом деле не требуют квантованного электромагнитного поля, например, примеры, упомянутые Анной. (Так, например, излучение черного тела можно с таким же успехом объяснить дискретными уровнями энергии на излучателях, а не излучением.)

Этот режим до недавнего времени в значительной степени ограничивался физикой оптики, поэтому инженеру-электрику не о чем было бы беспокоиться. Ситуация начала меняться с введением схемной КЭД , которая представляет собой исследование сверхпроводящих цепей, демонстрирующих квантовое поведение. Это захватывающая новая область исследований, и это один из наших лучших вариантов для создания квантового компьютера (или, в зависимости от того, кого вы спрашиваете, модели, используемой в одном уже построенном квантовом компьютере, так сказать), так что это то, на что стоит обратить внимание. если вы ищете варианты карьеры;).

Действительно сумасшедшие вещи возникают, когда вы толкаете электродинамику в режимы, которые являются одновременно квантовыми и релятивистскими (где «релятивистский» означает, что частота$\nu$ЭМ излучения больше, чем$c^2/h$раз больше массы всех соответствующих материальных частиц). Здесь квантовая механика также меняется и становится тем, что известно как квантовая теория поля , и это вводит ряд различных явлений. В частности, количество частиц может меняться со временем, поэтому вы можете поместить фотон в ящик и вернуться, чтобы найти электрон и позитрон (чего не произошло бы в классической ЭМ).

Опять же, здесь проблема не в самом ЭМ, а в механике вокруг него. QFT построен вокруг концепции, называемой действием , которая полностью определяет динамику. Вы также можете построить классическую механику вокруг действия, и действие для квантовой электродинамики формально идентично действию классической электродинамики.

Этот режим включает в себя явления рождения и аннигиляции пар, а также такие вещи, как фотон-фотонное рассеяние, которые кажутся противоречащими классической ЭМ. Например, вы можете создать два пучка гамма-излучения и заставить их пересекаться, и они будут немного рассеиваться друг от друга. Это несовместимо с принципом суперпозиции классической ЭМ, так как нарушает линейность, так что можно сказать, что уравнения Максвелла неверны, но, как я уже говорил, это немного тоньше.

Забавно, что все ответы до сих пор упускали из виду простой и элегантный следующий критерий: квантовая механика появляется, когда

с$h=2\pi\hbar\approx6,63.10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$постоянная Планка и$k_{B}\approx1,38.10^{-23}\text{J}\cdot\text{K}^{-1}$постоянная Больцмана,$\omega$а также$T$являющиеся (угловой) частотой и температурой соответственно.

Критерий вступает в игру следующим образом: постоянная Планка представляет собой характеристическую шкалу энергии (относительно частоты) квантового мира, а постоянная Больцмана представляет собой характеристическую шкалу энергии (относительно температуры) статистического мира.

В электрических цепях большинство интересующих нас свойств связано со стаей электронов, перетекающих из одной точки в другую. На самом деле, количество протекающих электронов довольно велико, скажем,$\left(10^{10}-10^{30}\right)$электроны (большое окно). Раздел физики, в котором обсуждаются проблемы многих тел, называется статистической физикой. Напротив, квантовая механика (особенно квантовая оптика) была построена с учетом задач одного тела (один электрон вращается вокруг ядра, одна частица туннелирует, ...). Это все еще верно (но, как правило, менее заметно) в физике высоких энергий. Раздел физики, изучающий квантовые свойства пучка электронов, движущихся в веществе, называется физикой конденсированного состояния .. Фактически, невозможно понять большинство свойств материалов без квантовой механики (зонная теория, оптический отклик материалов, ...). Поэтому каждый инженер-электрик использует квантовую механику, дело в том, что они используют статистическое усреднение этих квантовых свойств, которое ведут себя достаточно хорошо, как и в классическом режиме. Другими словами, это вполне могут быть квантовые эффекты, введенные при расчете емкости, индуктивности и сопротивления материалов, но как только вы узнаете эти величины, вы можете просто использовать законы Кирхгофа.

Это самый главный секрет физики: теория всегда эффективна. Законы Кирхгофа верны при высоких температурах (но не слишком высоких, скажем, при комнатной температуре) и для квазистатических явлений (достаточно низких частотах). Вот как они выводятся из теории Максвелла.

Свойство материи, которое невозможно объяснить без квантовой механики, хорошо известно в микроволновом режиме — это магнетизм. Тем не менее, существует теория цепи для этих материалов, называемая теорией магнитной цепи , которая действительно похожа на уравнения Максвелла. Но для расчета макроскопических величин, которые демонстрируют материалы, вам нужна квантовая механика... или их измерение и табулирование!

В исторической перспективе, когда люди попытались применить одни и те же правила к проблемам одного тела и к проблемам многих тел (а также обобщение к релятивистским проблемам), они начали строить квантовую теорию поля. Большинство ответов, данных до сих пор, по существу обсуждают квантовую теорию поля в вакууме, хотя на самом деле уравнения Максвелла всегда верны, если вы определяете электрические и магнитные поля как средние по квантовым свойствам. Действительно, иногда приходится квантовать обмен возбуждениями между изолированным объектом и полями ( Анна привела несколько примеровэтого квантования в ее ответе). Уравнения Максвелла восстанавливаются, когда вы суммируете множество одночастичных конфигураций (если говорить быстро). Также иногда это квантование требует обобщения симметрии полей, тогда есть обобщения электрических и магнитных полей, называемых в этом контексте неабелевыми калибровочными полями. Но тогда мы далеки от описания электронов в материи, поскольку эти теории необходимы для обсуждения элементарных составляющих ядра, некоторые энергетические масштабы которых электротехника вообще не касается! (Я скрещиваю палец, так как мы никогда не должны делать ставку на технологическое будущее, скажем, по крайней мере, на следующие несколько десятилетий...)

Когда вы уменьшаете количество частиц, участвующих в цепях, когда вы уменьшаете температуру и когда вы увеличиваете частоту, системы начинают вести себя иначе, чем в законах Кирхгофа. В некотором смысле все квантовые свойства, которые были скрыты в рассмотренном выше статистическом усреднении, начинают проявляться все более и более.

Обсуждение электронных свойств при низких температурах (несколько кельвинов), малых размерных масштабах (нанометровый/микрометровый масштаб) и высоких частотах (мегагерц/гигагерц; для оптиков это не так уж и высоко, но для электротехников это очень много) является центральной темой доклада. то, что называется мезоскопической физикой , промежуточной физикой между классическим и квантовым мирами. Схема QED , упомянутая Эмилио Писанти в его ответе на этой странице, является всего лишь подтемой мезоскопической физики. Вполне может быть, что это «самая квантовая», поскольку электронные свойства сверхпроводников не могут быть описаны классической физикой, хотя можно исправить уравнения Максвелла, чтобы обсудить электромагнетизм сверхпроводников. Этот набор модифицированных законов называетсяУравнения Лондона , эффективная теория сверхпроводящих цепей, которые, однако, не могут объяснить эффект Джозефсона. Немного изучив эти законы, вы увидите, что они не могут быть калибровочно-инвариантными... что вы не можете объяснить без большого аппарата квантовой теории поля. Потребовалось 10-20 лет, чтобы объяснить теорию Лондона из микроскопических вычислений, и снова 10 лет, чтобы связать нарушение калибровочной инвариантности с механизмом Андерсона-Хиггса. Тем временем инженеры-электрики применяли уравнения Лондона и составляли таблицы сверхпроводников с большой точностью!

Этот ответ получился намного длиннее, чем я думал, когда начинал писать, конечно же, потому что тема увлекательна :-)

Я хотел бы дать вам другой взгляд на уравнения Максвелла и эффективную теорию. Через несколько десятилетий после их появления люди думали, что уравнения Максвелла объединяют все возможные излучения . По сути, они объединили все известные на тот момент излучения., которые уже были большим шагом, не так ли? Таким образом, это интерпретация универсальности, наивно связанная с уравнениями Максвелла, которые потерпели неудачу, а не сами уравнения Максвелла, поскольку они обсуждались в ясном историческом и экспериментальном контексте. Уравнения Максвелла должны быть исправлены (или радикально изменены) при переходе к высоким частотам (что означает: при высоких энергиях) или при переходе к низким температурам (что означает: при низких энергиях). Еще один тонкий момент (надеюсь, я подробно объяснил его выше): уравнения Максвелла также не могут описать отдельный объект (скажем, отдельные фотоны). Но очевидно, что они никогда не были предназначены для этого... и на самом деле это все механическое описание, которое нужно изменить, чтобы достичь этого предела. Эмилио подробно обсудил это.

Важный момент, оставленный в обсуждении выше, состоит в следующем: конечно, большая заслуга Максвелла заключалась в объединении электричества и магнетизма, а не излучений, как я сказал выше. На самом деле излучение происходит естественным образом из электромагнитной теории. В заключение можно также сказать, что уравнения Максвелла определяют электромагнетизм. Это общепринятая точка зрения, и именно поэтому люди говорят о квантовом электромагнетизме, когда используют квантовую версию уравнений Максвелла...

Анна В. ошибается, когда говорит, что уравнения Максвелла несовместимы с излучением черного тела. В квантовой механике, даже если вы игнорируете излучение, существует плотность заряда, которую вы можете вычислить (в принципе) по уравнению Шредингера. В теплом теле эта плотность заряда колеблется в результате случайного теплового движения. Если вы отследите эволюцию плотности заряда во времени, а затем примените уравнения Максвелла, вы получите правильный спектр излучения черного тела. Вам не нужно отбрасывать уравнения Максвелла, и вам не нужно квантовать энергию.

Другие примеры Анны так же ложны. В уравнениях Максвелла нет ничего, что предсказывало бы непрерывный спектр для атомов. Вы не используете уравнения Максвелла для расчета движения заряда внутри атома, вы используете уравнение Шредингера. Оттуда вы получаете колеблющееся распределение заряда. Если вы затем воспользуетесь уравнениями Максвелла для расчета спектра излучения, вы получите абсолютно правильный ответ, вплоть до ширины линии.

То же и с лазерами. Уравнение Шредингера дает вам «инверсии населенностей» и т. д., но результирующие волны, возникающие в результате атомных колебаний, совершенно классические: особенно то, как один резонатор, стимулируя соседний резонатор, приводит его в движение в фазе, так что результирующая волна является когерентной. Все вытекает из уравнений Максвелла. Конечно, не атомные состояния... они исходят от Шредингера. Но результирующее излучение — это все Максвелл.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Руслан спросил (в комментариях), как я могу рассчитать ширину линий, используя только Шредингер + Максвелл. Это расчет, который я сделал в своем блоге. которые вы можете найти здесь . Важно понять, что, хотя мы любим говорить о таких вещах, как «атом водорода в чистом возбужденном состоянии», на самом деле в экспериментальной ситуации мы обычно имеем дело с ансамблем из миллиона атомов водорода, некоторые (например , 1 %), из которых находятся в возбужденном состоянии (100 %). В этом случае я не могу сделать расчет. Но нет экспериментального способа отличить этот гипотетический ансамбль от альтернативного ансамбля, в котором все (100%) атомы находятся в 1% возбужденном состоянии. И тогда расчет очевиден.

Если вы считаете, что эти состояния различимы, попробуйте написать для них матрицу плотности.

Классические электромагнитные волны возникают из лежащего в их основе квантово-электродинамического описания гладким и непротиворечивым образом. Квантовая структура означает, что классические волны построены из фотонов, и единственный раз, когда нужно беспокоиться о большей детализации, чем то, что обеспечивают уравнения Максвелла, это на уровне физики элементарных частиц и везде, где было обнаружено, что квантование устраняет несоответствия классических предсказаний с данные.

1. атомные спектры , которые показывают линии, неожиданные для гладких растворов ME

2. излучение черного тела , которое требует квантования энергии

3. генерация и подобные явления, зависящие от атомной физики

4. ситуации, когда фотоны (частицы) обладают достаточной энергией для создания и уничтожения частиц, имеют измеримые взаимодействия фотонов с фотонами и т. д., которые не могут быть описаны с помощью решений МЭ.

Классические решения уравнений Максвелла подходят для большинства ситуаций.

Редактировать: Глядя на обсуждение в ответе Марти Грина, где он настаивает на том, что уравнения Максвелла не терпят неудачу при использовании атома Шредингера и размахивании вручную излучением и поглощением на линиях, я думаю, что в полном ответе Эмилио Писанти выше этого очищается:

В простейшей версии квантовой электродинамики и, в частности, когда не участвуют релятивистские явления, уравнения Максвелла продолжают выполняться: это в точности уравнения Гейзенберга для электрического и магнитного полей, которые теперь являются операторами состояния системы ψ. Таким образом, вы формально все еще «используете» уравнения Максвелла, но это скорее вводит в заблуждение, поскольку механика вокруг этого совершенно другая.

Форма та же самая, но способ ее применения в квантовом режиме кардинально отличается, настолько же, насколько дифференциальные операторы (квантовые) отличаются от реальных переменных (классических).

Цитата поясняет то, что я махнул рукой: «Классические электромагнитные волны возникают из лежащего в основе квантового электродинамического описания плавным и последовательным образом».

РЕДАКТИРОВАТЬ: Поскольку это было объявлено дубликатом недавнего вопроса, я хочу добавить две ссылки. Здесь приведена волновая функция Максвелла фотона. , у Любоша Мотля есть запись в блоге о том, как классические поля и частицы возникают из квантовой теории .

Проблема в том, что с одним зарядом в пустом пространстве, даже если он запущен с ускорением, он все равно не может отправить волну. Он не может посылать излучение. Чтобы излучатель излучал волну излучения, ему нужен поглотитель для приема волны. Об этом говорит нам теория поглотителя Уилера-Фейнмана.

Если вы полагаете, что один заряд всегда может послать волну излучения даже без поглотителя, вы ошибаетесь. Согласно теории Максвелла, ток источника всегда посылает волну наружу, что неверно.

Согласно «принципу взаимной энергии» и «принципу собственной энергии», только тогда, когда запаздывающая волна может найти соответствующую опережающую волну, фотон может быть послан. Это означает, что только запаздывающая волна и опережающая волна синхронизируются, излучение может быть получено.

Следовательно, две группы уравнений Максвелла должны работать вместе: одна для запаздывающей волны, другая для опережающей волны.

Без согласованной опережающей волны запаздывающая волна, возможно, также посылается, но возвращается с процессом обращения времени.

Вывод: уравнения Максвелла верны только с некоторой вероятностью, в зависимости от того, может ли мужская волна жениться на женской волне. Вот почему в QET волна — это волна вероятности.

См. мою публикацию: http://www.openscienceonline.com/journal/archive2?journalId=726&paperId=4042