Остается ли проблема 4343\frac{4}{3} классического электромагнетизма в квантовой механике?

В Томе II Глава 28 Феймановских лекций по физике Фейнман обсуждает печально известную 4 3 Проблема классического электромагнетизма. Предположим, у вас есть заряженная частица радиуса а и заряжать д (равномерно распределены по поверхности). Если вы проинтегрируете плотность энергии электромагнитного поля по всему пространству вне частицы, вы получите полную электромагнитную энергию, которая представляет собой выражение, пропорциональное с 2 . Энергия, разделенная на с 2 это то, что мы обычно называем массой, поэтому, если мы вычислим «электромагнитную массу» таким образом, мы получим м знак равно 1 2 1 4 π ϵ 0 д 2 а с 2 . Если, с другой стороны, взять плотность импульса электромагнитного поля и проинтегрировать ее по всему пространству вне частицы, то получится полный электромагнитный импульс, который получается (для в << с ) пропорциональна скорости частицы. Константа пропорциональности импульса и скорости — это то, что мы называем массой, поэтому, если бы мы рассчитали электромагнитную массу таким образом, мы бы получили м знак равно 2 3 1 4 π ϵ 0 д 2 а с 2 , который 4 3 раз больше значения, которое мы получили раньше! Это 4 3 проблема.

Фейнман утверждает, что эта фундаментальная проблема остается, когда мы переходим к квантовой электродинамике. Был ли он прав, и если да, то изменилась ли ситуация с момента 1960 г. ′ с когда он писал? Я видел утверждения в Интернете (у меня нет ссылок), что 4 3 проблема все еще существует в QED, но вместо 4 3 коэффициент ближе к 1. Так ли это, и если да, то какой коэффициент? Все это, конечно, связано с вопросами собственной энергии и перенормировки.

Любая помощь будет принята с благодарностью.

Ответы (4)

Схема проблемы

В цитируемой ссылке Фейнман начинает свой аргумент с утверждения, что энергия для инерциальной сферы радиуса а и равномерный заряд д дан кем-то

U е л е с знак равно ∫ р 3 г В ты е л е с знак равно ∫ р 3 г В ( ϵ 0 Е 2 ) знак равно 1 2 а д 2 4 π ϵ 0 ≡ е 2 2 а ( * )

куда Е а также ты е л е с - его электрическое поле и плотность, а последнее уравнение определяет символ е 2 . Если теперь считать, что шар движется с постоянной скоростью в ≪ с , его плотность импульса получается из вектора Пойнтинга:

п → знак равно ∫ р 3 г В С → знак равно ∫ р 3 г В ( ϵ 0 Е → × Б → ) знак равно ( 2 3 е 2 а с 2 ) в → ≡ м е в → , ( * * )

где последнее уравнение определяет электромагнитную массу м е . Мы также можем связать вторую электрическую массу м е ′ в поле U е л е с с помощью специальной теории относительности (СТО):

Е знак равно м с 2 ⟹ U е л е с с 2 знак равно м е ′ ⟺ е 2 2 а с 2 знак равно м е ′ знак равно 3 4 м е ⟹ U е л е с знак равно 4 3 м е с 2 ,

то есть "релятивистская" масса м е ′ не то же самое, что "электрическая" масса м е , абсурд явный в приведенных выше уравнениях.

Лазейка

Имеем ли мы право ссылаться на СТО на одном шаге вывода? Хотя мы использовали знаменитую формулу Эйнштейна, чтобы прийти к 4 3 проблема, обратите внимание, что мы не использовали SR ранее: ( * ) а также ( * * ) даже не лоренц-инвариантны! Если мы адаптируем расчеты, чтобы включить SR, U е л е с а также п → трансформировать как

U е л е с ′ знак равно γ ( U е л е с + п → ⋅ в → ) п → ′ знак равно γ ( п → + U е л е с в → с 2 ) + ( γ − 1 ) в → × ( в → × п → ) .

То есть для покоящейся частицы имеем п → знак равно 0 и, вводя скорость релятивистски значимым способом, переходя в движущуюся систему отсчета со скоростью в → ,

U е л е с ′ знак равно γ U е л е с знак равно γ ( е 2 2 а ) знак равно γ м е ′ с 2 п → ′ знак равно γ ( U е л е с с 2 ) в → знак равно γ ( е 2 2 а с 2 ) в → знак равно γ м е ′ в → ,

где сейчас, о чудо, все влезает и совсем нет 4 3 парадокс. Это был просто вопрос правильного перемещения между системами отсчета.

Что имел в виду Фейнман?

Будучи одним из самых блестящих физиков в истории, Ричард Фейнман никогда не стал бы злоупотреблять СТО, чтобы прийти к 4 3 парадокс. На самом деле, Авраам и Лоренц, первооткрыватели, сделали это только потому, что они действительно не знали, как выполнять преобразования между системами отсчета, так как СТО в то время еще не было закончено. Давайте тогда процитируем то, что на самом деле сказал Фейнман:

С идеями теории Максвелла связаны трудности, которые не решаются и не связаны непосредственно с квантовой механикой. Вы можете сказать: «Возможно, нет смысла беспокоиться об этих трудностях. Поскольку квантовая механика собирается изменить законы электродинамики, нам следует подождать, чтобы увидеть, какие трудности возникнут после модификации». Однако, когда электромагнетизм соединяется с квантовой механикой, трудности остаются.

Действительно, 4 3 проблема решается не квантовой механикой (КМ), а тщательным использованием СТО. Авраам и Лоренц использовали ( * ) а также ( * * ) без разбора, потому что они не знали, что движущиеся электроны деформируются в эллипсоиды согласно СТО. Прекрасная статья Рорлиха , резюме которой является этим ответом, показывает, что ошибка в пренебрежении деформацией электрона составляет ровно − 1 3 м е ′ с 2 , что бы исправить их результат, а также избавиться от 4 3 проблема. Я полагаю, что Фейнман говорил о других проблемах, которые переходят от классической к квантовой электродинамике (КЭД), а не об этом очевидном парадоксе. Проблема собственной энергии , например, требует, чтобы электрон в КЭД имел либо довольно неинтуитивную внутреннюю структуру, либо взаимодействовал с веществом, имеющим отрицательную массу, иначе он взорвался бы (не считая перенормировки). Эта проблема ошибочно мигрирует из классической электродинамики из-за постулирования «напряжения Пуанкаре», которое не только стабилизировало бы электрон, но и скорректировало бы 1 3 фактор, отсутствующий в 4 3 проблема. К счастью, многие физики помогли отделить проблему электронной устойчивости от 4 3 проблема, которая на самом деле не является проблемой, поскольку на самом деле она не отображается в QED. Однако проблема внутренней структуры электрона вполне реальна.

«Имеем ли мы право использовать СТО на одном шаге вывода? Хотя мы использовали знаменитую формулу Эйнштейна, чтобы прийти к проблеме 43, обратите внимание, что мы не использовали СТО раньше: (∗) и (∗∗) даже не инвариантны по Лоренцу. !" На самом деле Фейнман полностью учитывает проблему деформации, но не решает проблему 4/3. Прокрутите вниз до того места, где он говорит: «Давайте продолжим нашу электромагнитную теорию массы. Наши расчеты были для v≪c; что произойдет, если мы перейдем к высоким скоростям?» feynmanlectures.caltech.edu/II_28.html Вы получаете инвариантную форму Лоренца, но она все еще имеет 2323 фактор.
Во-первых, формула Фейнмана 28.7 предназначена для релятивистского изменения неправильной массы, m eме , который не возникает в СТО: правильный термин m ′ eм′е . Во-вторых, полный учет деформации электрона включает в себя не пренебрежение интегралом, который равен нулю только внутри голого электрона. Я призываю вас проверить статью Рорлиха, где все очень хорошо представлено, особенно последний раздел, где он решает тензор энергии-импульса внутри и снаружи эллипсоидального электрона.
Я не знаю, что вы подразумеваете под формулой Фейнмана 28.7 для релятивистского изменения неправильной массы , т.е.ме , которого в СТО не возникает". Формула 28.7 - это просто расчет релятивистского импульса, речь еще не об электромагнитной массе.
Проверьте внимательно: Фейнман определяет электромагнитную массу m eме в 28,4 с коэффициентом 2/3 перед ним. Затем он позже использует его в 28.7 для определения релятивистского импульса. Однако это неправильно, и Фейнман только отрабатывает последствия неудачного выбора. Правильная, правильная масса исходит из SR и не имеет перед собой множителя 2/3, так как она определяется выражением m ′ e = U e l e c / c 2м′езнак равноUе л е с/с2 . Затем эта масса используется для получения релятивистски правильного импульса → p ′ = γ m ′ e → vп⃗ ′= γм′ев⃗  . Масса в 28.4 неверна , так как она исходит из выражения, неверного в СТО.
Он не выводит 28,7 из 28,4. Сначала он выводит 28,4 из 28,3, затем приводит 28,7 в качестве релятивистского аналога расчета, сделанного для получения 28,3, чтобы показать, что 28,4 получается из 28,7 таким же образом, как и из 28,3.
Я подкреплю то, что сказал ранее: правильная масса, которая появляется при использовании правильного релятивистского импульса, равна m ′ e .м′е , не яме . Это явно сделано в моих расчетах. Формула Фейнмана 28.7 неверна .
Это не может быть проблемой с формулой 28.7, потому что формула 28.7 вообще не касается электромагнитной массы. Речь идет об электромагнитном импульсе, а затем 28,7 используется для получения электромагнитной массы.
Упражнение 1: Прийти к формуле 28.7 , не начиная с начального импульса, равного m e → vмев⃗  . Подсказка: это невозможно. Упражнение 2: определите массу, используя m ′ e = U e l e c / c 2м′езнак равноUе л е с/с2 , затем повторите вычисления, которые я показал, и получите правильный импульс в режиме малых скоростей m ′ e → vм′ев⃗  .
Фейнман в общих чертах описывает, как это делается, и не использует формулу 28.4. Это путем интегрирования плотности импульса с учетом относительности: «Первые попытки привели к некоторой путанице, но Лоренц понял, что заряженная сфера будет сжиматься в эллипсоид при высоких скоростях и что поля будут изменяться в соответствии с формулами (26.6). ) и (26.7), которые мы вывели для релятивистского случая в главе 26. Если вы перенесете интегралы для p в этом случае…» Я очень сомневаюсь, что Фейнман блефовал, он, по-видимому, сделал соответствующие вычисления.
Я позволю вам выполнить упражнения, которые я предложил. Тогда, пожалуйста, найдите ошибку в: for → p = 0п⃗ = 0 , m ′ e = U e l e c / c 2 ⇒ → p ′ = γ U e l e c → v / c 2 = γ m ′ e → vм′езнак равноUе л е с/с2⇒п⃗ ′= γUе л е св⃗ /с2= γм′ев⃗  . Этот расчет был сделан Швингером, Ферми, Рорлихом и десятками других. Без правильного понимания моего ответа или чтения ссылок, которые я предоставил, нет смысла продолжать это обсуждение.
Почему бы мне не сделать это: я могу разместить на сайте новый вопрос о том, как делается интеграл для формулы 28.7. Как вы сказали, Фейнман — «один из самых блестящих физиков в истории», поэтому мы не должны сбрасывать со счетов то, что он говорит об интегрировании для нахождения p .п из рук.
Вы можете спросить об этом, но это тривиально: чтобы прийти к 28,7, Фейнман начал с 28,3, а позже использовал закон преобразования → p ′ = γ → pп⃗ ′= γп⃗  начать с начального импульса m e → vмев⃗  и сопоставьте его с γ m e → vγмев⃗  . Уравнение 28.7 явно некорректно с релятивистской точки зрения , поскольку 2/32 / 3 множитель перед ним не позволяет соответствующему 4-импульсу преобразоваться в 4-вектор. Таким образом, уравнение 28.7 использует правильный закон преобразования для неправильного импульса, полученного из релятивистски неправильного уравнения. Правильный получается из → p = m ′ e → vп⃗ знак равном′ев⃗  .
«чтобы прийти к 28,7, Фейнман начал с 28,3, а позже использовал закон преобразования p ′ ​​= γ p начать с начального импульса m e v и сопоставьте его с γ m e v Он говорит, что сделал не это. Он говорит, что проинтегрировал плотность импульса, используя преобразования поля из формул 26.6 и 26.7 .

С современной точки зрения квантовой теории поля 4 / 3 проблема, а также связанные с ней вопросы о точечных зарядах — это вопросы регуляризации.

Проблема в том, что вы хотите иметь дело с сингулярной величиной, а именно с энергией и импульсом идеального точечного заряда, но ничего определенного сказать нельзя, потому что все эти величины расходятся. Чтобы получить конечный ответ, вы модифицируете систему, каким-то образом упорядочивая ее, так что ответы получаются конечными. Как правило, регуляризация может и будет нарушать симметрии, и мы обычно стараемся выбрать схему регуляризации, которая сохраняет наиболее важные для нас симметрии.

Философская причина, по которой это работает, заключается в том, что мы знаем, что наши теории действительны только до определенной шкалы отсечения. Λ , над которыми появляются новые явления. Ниже отсечки эффекты этих новых явлений могут быть параметризованы в терминах эффективного лагранжиана. Следовательно, мы можем получить одни и те же предсказания для низких энергий в любой схеме регуляризации, которая дает один и тот же эффективный лагранжиан, даже если эти схемы помещают совершенно разную физику выше шкалы отсечения.

В этом случае Фейнман регуляризирует классическую теорию, обрезая интегралы поля при Λ ∼ 1 / а . К сожалению, эта схема регуляризации не сохраняет лоренц-инвариантность, и, более того, лоренц-инвариантность не восстанавливается даже в континуальном пределе. Λ → ∞ . Это не редкость. Например, КХД на решетке также должна решать эту проблему, потому что регуляризация решетки явно нарушает лоренц-инвариантность.

Причина того, что решеточная КХД в любом случае работает на языке РГ, заключается в том, что их системы спроектированы таким образом, что могут быть созданы только дополнительные нерелевантные операторы, эффекты которых исчезают в континуальном пределе. а → 0 . Интуитивно проблема с регуляризацией Фейнмана заключается в том, что она допускает дополнительные релевантные операторы, которые в любом случае искажают эффективный лагранжиан. а есть, хотя этот язык не точен, поскольку Фейнман не имеет дело с квантовой теорией поля.

Современное разрешение 4 / 3 проблема в квантовой теории поля, по существу, надумана. Нерегуляризованная теория плохо определена; мы не можем говорить о нерегулярной КЭД, потому что такой теории даже не существует. Вместо этого нам нужно с самого начала иметь в виду регулятор. Поскольку мы знаем, что лоренц-инвариантность является симметрией нашего мира, мы выбираем регулятор, который восстанавливает лоренц-инвариантность в континуальном пределе.

Я понимаю, что проблема изначально возникла из понимания физики точечных заряженных частиц, и замена точечной заряженной частицы заряженной оболочкой — это очень физический способ поставить только регуляризацию обрезания, которая нарушает лоренцеву симметрию. Однако можно забыть о более важном вопросе физики точечной заряженной частицы и просто интересоваться физикой заряженной оболочки как таковой. Если кто-то это сделает, я думаю, что 4 / 3 проблема остается актуальным вопросом, не так ли?

Помимо А. Пуанкаре, первым физиком, сделавшим правильный релятивистский «вывод», был Э. Ферми.

Здесь я хотел бы остановиться на физическом эффекте знаменитого самовоздействия: это просто самоиндукция, которая «замедляет» или «сопротивляется» любому ускорению (изменению во времени постоянного тока). По-видимому, это нежелательный эффект - это вовсе не малое радиационное сопротивление, каков бы ни был размер электрона.

Заметьте, ЭДС прекрасно "движется" вместе с электроном - по уравнению Максвелла, поэтому нет необходимости учитывать ее "снова" в электронных (механических) уравнениях. О радиационном сопротивлении надо догадываться из разных физических представлений, а не из «самодействия».

В КЭД эта проблема остается, и она «решается» путем изменения (неправильных) решений уравнений, а не путем изменения неправильных уравнений.

Результаты моих исследований пока находятся в зачаточном состоянии, но я исхожу из другой физической идеи, хорошо улавливающей радиационное сопротивление.

Я согласен с «В КЭД эта проблема остается, и она «решается» путем изменения (неправильных) решений уравнения, а не путем изменения неправильных уравнений». К сожалению, этот ответ во многом непонятен.
@QuantumBrick: Жаль. У меня есть еще одна ссылка на Ролиха: Фриц Рорлих, Динамика заряженной частицы, (2008) arxiv.org/abs/0804.4614 , где он утверждает, что в CED проблема еще не решена (удовлетворительно).

Что касается проблемы, описанной в томе II, главе 28 Фейнмановских лекций по физике, то причина проблемы 4/3 заключается в том, что не учитывается одно из условий, влияющих на движение частицы. Этот термин есть разрушение энергии поля в передней части заряженной сферы и ее создание в задней части. В то время как общая энергия поля не меняется, если вы оцениваете энергию локально, вы можете видеть, что спереди член v·E означает, что энергия передается от поля к частице, а сзади происходит обратное, поскольку это происходит все время, его эффект эквивалентен движению назад. Когда вы добавите его к нормальному движению, вызванному импульсом, вы обнаружите, что вам требуется масса m_e = (1/2)e^2/a, и несоответствий больше нет.

Я разместил небольшой документ по теме здесь: https://www.slideshare.net/SergioPL81/adding-a-shift-term-to-solve-the-43-problem-in-classical-electrodinamics

Остается ли проблема 4343\frac{4}{3} классического электромагнетизма в квантовой механике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v