Почему кинетическая энергия увеличивается со скоростью квадратично, а не линейно?

Все предыдущие ответы переформулировали проблему как «Работа - это точка силы / расстояние, умноженное на расстояние». Но это не совсем удовлетворительно, потому что тогда вы могли бы спросить: «Почему рабочая сила точечная дистанция?» и загадка та же.

Единственный способ ответить на подобные вопросы — полагаться на принципы симметрии, поскольку они более фундаментальны, чем законы движения. Используя инвариантность Галилея, симметрию, которая говорит, что законы физики выглядят одинаково для движущегося поезда, вы можете объяснить, почему энергия должна быть пропорциональна массе, умноженной на квадрат скорости.

Во-первых, вам нужно определить кинетическую энергию. Я определю ее следующим образом: кинетическая энергия$E(m,v)$из шарика глины массы$m$движущийся со скоростью$v$это количество калорий тепла, которое он производит, когда врезается в стену. Это определение не относится к какой-либо механической величине, и ее можно определить с помощью термометров. Я покажу, что в предположении галилеевой инвариантности$E(v)$должен быть квадратом скорости.

$E(m,v)$, если она инвариантна, должна быть пропорциональна массе, потому что вы можете ударить два глиняных шарика рядом и получить двойной нагрев, поэтому

Далее, если ударить два одинаковых глиняных шарика массой$m$движущийся со скоростью$v$Направляясь друг в друга, оба шара останавливаются по симметрии. В результате каждый действует как стена для другого, и вы должны получить количество тепла, равное$2m E(v)$.

А теперь посмотрите на это в поезде, который движется вместе с одним из шаров до столкновения. В этой системе отсчета первый мяч стартует с остановки, второй мяч ударяется о него в$2v$, и застрявшая система с двумя шарами начинает двигаться со скоростью$v$.

Кинетическая энергия второго шара равна$mE(2v)$в начале и после столкновения у вас есть$2mE(v)$кинетическая энергия, запасенная в комбинированном шаре. Но нагрев, вызванный столкновением, такой же, как и в предыдущем случае. Так что теперь их двое$2mE(v)$термины для рассмотрения: один, представляющий тепло, выделяемое при столкновении, которое мы видели ранее, был$2mE(v)$, а другой представляет энергию, запасенную в движущемся двухмассовом шаре, который также$2mE(v)$. Из-за сохранения энергии эти два члена должны составлять кинетическую энергию второго шара перед столкновением:

что подразумевает, что$E$является квадратичным.

Некруговая сила-время-расстояние

Вот нециклическая версия аргумента сила-время-расстояние, который, кажется, всем так нравится, но никогда не используется правильно. Чтобы утверждать, что энергия квадратична по скорости, достаточно установить две вещи:

• Потенциальная энергия на поверхности Земли линейна по высоте
• Объекты, падающие на поверхность Земли, имеют постоянное ускорение

Затем следует результат.

То, что энергия в постоянном гравитационном поле пропорциональна высоте, установлено статикой. Если верить закону рычага, объект будет находиться в равновесии с другим объектом на рычаге, когда расстояния обратно пропорциональны массам (существуют простые геометрические доказательства этого, которые не требуют ничего, кроме того факта, что объекты с одинаковой массой уравновешиваются). на одинаковом расстоянии от центра масс). Затем, если вы немного наклоните рычаг, масса, умноженная на высоту, полученная 1, будет равна массе, умноженной на высоту, полученной другим. Это позволяет вам поднимать объекты и опускать их с очень небольшим усилием, пока масса-высота, добавленная ко всем объектам, постоянна до и после. Это принцип Архимеда.

Другой способ сказать то же самое использует лифт, состоящий из двух платформ, соединенных цепью через шкив, так что, когда одна поднимается, другая опускается. Вы можете поднять объект вверх, если опустите равное количество массы вниз на такое же количество. Вы можете поднять два предмета на определенное расстояние за два шага, если бросите предмет вдвое дальше.

Это устанавливает, что для всех обратимых движений лифта, тех, которые не требуют от вас совершения какой-либо работы (как в разговорном, так и в физическом смысле — здесь оба понятия совпадают), масса, умноженная на высоту, суммируется по все объекты законсервированы. «Энергию» теперь можно определить как количество движения, которое сохраняется, когда этим объектам позволяют двигаться с небесконечно малой скоростью. Это версия Архимеда Фейнмана.

Таким образом, отношение массы к высоте — это мера усилия, необходимого для подъема чего-либо, и это сохраняющаяся величина в статике. Эта величина должна сохраняться даже при наличии динамики на промежуточных стадиях. Под этим я подразумеваю, что если вы позволите двум грузам упасть, подвешенным на веревке, позволить им совершить упругое столкновение и поймать два объекта, когда они снова перестанут двигаться, вы не проделаете никакой работы. Затем объекты должны подняться до той же общей массы на высоту.

Это первоначальная демонстрация законов упругих столкновений Христианом Гюйгенсом, который утверждал, что если вы бросите две массы на маятники и позволите им столкнуться, их центр масс должен подняться на одну и ту же высоту, если вы поймаете шары на их максимальная точка. Отсюда Гюйгенс обобщил неявный в Архимеде закон сохранения потенциальной энергии, чтобы вывести закон сохранения квадратичной скорости при упругих столкновениях. Его принцип, согласно которому центр масс не может быть поднят за счет динамических столкновений, является первым утверждением сохранения энергии.

Для полноты, тот факт, что объект ускоряется в постоянном гравитационном поле с равномерным ускорением, является следствием инвариантности Галилея и предположения, что гравитационное поле инвариантно системе отсчета к однородным движениям вверх и вниз с постоянной скоростью. Как только вы узнаете, что движение в условиях постоянной гравитации есть постоянное ускорение, вы поймете, что

так что динамическая величина Гюйгенса, которая аддитивно сохраняется вместе с массой Архимеда, умноженной на высоту, представляет собой квадрат скорости.

Вопрос особенно актуален с дидактической точки зрения, поскольку необходимо научиться различать энергию (работу) и импульс (количество движения).

Кинематическое свойство, пропорциональное$v$в настоящее время называется импульсом, это «количество движения», присутствующее в движущемся объекте, его определение$p:= mv$.

Изменение количества движения пропорционально импульсу: импульс есть произведение силы$F$и промежуток времени$\Delta t$это применяется. Это соотношение также известно как второй закон Ньютона:$F \Delta t = \Delta p$или же$F dt = dp$. Когда один заменяет$mv$за$p$можно получить его более распространенную форму:$F= m \frac{\Delta v}{\Delta t} = ma$.

Теперь интуитивное объяснение того, что объект с удвоенной скоростью имеет в четыре раза больше кинетической энергии.
Скажем, A имеет скорость$v$и B — идентичный объект со скоростью$2v$.
B имеет двойное количество движения (импульса) - это если ваша интуиция верна!
Теперь приложим постоянную силу$F$замедлить оба объекта до полной остановки. Из$F \Delta t = \Delta p$следует, что время$\Delta t$необходимо для замедления B в два раза больше (мы прикладываем одинаковую силу к A и B). Следовательно, тормозной путь В будет в 4 раза больше, чем тормозной путь А (его начальная скорость, а значит, и его средняя скорость в два раза больше, а его время$\Delta t$в два раза больше, поэтому расстояние,$s = \bar{v}\Delta t$, увеличивается в 2 х 2 = 4 раза).
Работа$W$необходимое для замедления А и В, рассчитывается как произведение силы и тормозного пути$W=Fs$, так что это также в четыре раза больше. Кинетическая энергия определяется как это количество работы, так что мы здесь.

Позвольте мне просто дать интуитивное объяснение. Вы можете перефразировать свой вопрос так:

Почему скорость увеличивается только как квадратный корень из кинетической энергии, а не линейно?

Итак, бросьте мяч с высоты 1 метр, и в момент удара о землю он будет иметь скорость v .

Теперь сбросьте его с высоты 2 метра. Будет ли он иметь скорость 2v , когда упадет на землю?

Нет, потому что он проходит второй метр за гораздо меньшее время (потому что он уже движется), поэтому у него меньше времени для набора скорости.

Единственная реальная физическая причина (которая на самом деле не является полностью удовлетворительным ответом) заключается в том, что$E \sim v^2$вот что говорят нам эксперименты. Например, гравитационная потенциальная энергия на поверхности Земли пропорциональна высоте, и если вы уроните объект, вы можете измерить, что высота его падения пропорциональна квадрату его скорости. Таким образом, для сохранения энергии кинетическая энергия должна быть пропорциональна$v^2$.

Конечно, вы можете задаться вопросом, почему гравитационная потенциальная энергия пропорциональна высоте, и как только это будет решено, вопрос, почему какой-то другой вид энергии пропорционален чему-то другому, и так далее. В какой-то момент это становится философским вопросом. Суть в том, что определение кинетической энергии как пропорциональной квадрату скорости оказалось полезной теорией. Вот почему мы это делаем.

С другой стороны, вы всегда можете сказать, что если бы он был линейным по скорости, его бы назвали импульсом ;-)

PS Возможно, стоит упомянуть, что кинетическая энергия не совсем пропорциональна$v^2$. Специальная теория относительности дает нам следующую формулу:

$K = mc^2\left(1/\sqrt{1 - v^2/c^2} - 1\right)$

Для низких скоростей это практически равно$mv^2/2$.

Просто чтобы опубликовать другую, более математическую версию этого, которая не зависит от термодинамики, а просто от векторного исчисления и законов Ньютона, давайте рассмотрим второй закон Ньютона:

Теперь применим определение работы,$W = \int d{\vec s} \cdot{\vec F}$

Имеем, если предположить, что$s$- это фактический путь, пройденный частицей, и с использованием некоторых умных замен переменных:

Итак, мы видим, что определение работы синонимично квадратичной зависимости от скорости. Какая разница? Ну а теперь зафиксируем некоторые требования к силе. А именно, мы предполагаем, что наши силы консервативны. Что это значит? Ну, это означает, что наша сила без завитка$\rightarrow {\vec \nabla} \times {\vec F}=0$. Математически это эквивалентно многим вещам, но наиболее важными являются два.$\int d{\vec s}\cdot {\vec F}$не зависит от пути, по которому вы интегрируете, а только от конечных точек кривой, и, во-вторых, это${\vec F} = -{\vec \nabla}\phi$для некоторой функции$\phi(x,y,z,t)$. Зная это, относительно легко показать, что$\int {\vec ds}\cdot {\vec F} = \phi_{0} - \phi_{f}$

Тогда у вас есть:

где сумма представляет собой потенциалы для различных сил (и я хитро подставил PE вместо$\phi$, так как мы, очевидно, сейчас говорим о потенциальной энергии.) Теперь мы доказали, что полная энергия не меняется. Поэтому стандартное определение работы дает нам сохраняющуюся величину, которую мы можем назвать энергией (пока мы предполагаем отсутствие неконсервативных сил, но при их наличии энергия не сохраняется, и мы начинаем беспокоиться о потери на тепло и излучение).

Как предложил Петр, принимая определение работы$W=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$, то кинетическая энергия возрастает квадратично. Почему? Потому что сила и бесконечно малый интервал линейно зависят от скорости. Поэтому естественно думать, что если умножить обе величины, то в итоге должно получиться что-то вроде$K v^{2}$, куда$K$является «произвольной» константой.

Гораздо интереснее вопрос, почему лагранжиан зависит от квадрата скорости. Учитывая однородность пространства, оно не может содержать явно$\mathbf{r}$а учитывая однородность времени, оно не может зависеть от времени. Кроме того, поскольку пространство изотропно, лагранжиан не может содержать скорость$\mathbf{v}$. Следовательно, следующий простейший выбор должен заключаться в том, что лагранжиан должен содержать квадрат скорости. Я действительно думаю, что лагранжиан по своей природе более фундаментален, чем другие величины, однако его вывод включает определение работы или, что то же самое, энергии. Так что, вероятно, вы не купитесь на мысль, что это последнее объяснение является истинной причиной квадратичного увеличения кинетической энергии, хотя я думаю, что оно гораздо более удовлетворительно, чем первое объяснение.

Дело доходит до определений.

Импульс определяется как$p = mv$. Импульс растет линейно со скоростью, делая импульс интуитивно понятной величиной (чем больше импульс, тем труднее остановить объект). Кинетическая энергия — менее интуитивная величина, связанная с движущимся объектом. KE назначается таким образом, что мгновенное изменение KE дает импульс этого объекта в любой момент времени:

$\frac{dKE}{dv} = p$

Можно задать отдельный вопрос: зачем нам эта величина? Ответ заключается в том, что в системе без трения сумма кинетической и потенциальной энергий объекта сохраняется:

$\frac{d(KE + PE)}{dt} = 0$

Для каждого относительно равного (в процентах) увеличения скорости приложенная сила должна присутствовать на все возрастающем (квадратичном) расстоянии перемещения. F=м*а. При этом сила*расстояние=работа, где работа=энергия.

Общая форма кинетической энергии включает поправки более высокого порядка, обусловленные теорией относительности. Квадратичный член - это только ньютоновское приближение, действительное, когда скорости малы по сравнению со скоростью света c.

Есть еще одна фундаментальная причина, по которой кинетическая энергия не может линейно зависеть от скорости. Кинетическая энергия — скаляр, скорость — вектор. Более того, если бы зависимость была линейной, это означало бы, что кинетическая энергия будет изменяться заменой$\mathbf{v}$по$-\mathbf{v}$. Т.е. кинетическая энергия будет зависеть от ориентации, что опять же не имеет смысла. Квадратичная зависимость Ньютона и релятивистские поправки$v^4$,$v^6$... удовлетворяют обоим требованиям: кинетическая энергия является скаляром и инвариантом к подстановке$\mathbf{v}$по$-\mathbf{v}$.

Думаю, это следует из первого закона термодинамики. Это превращает ваше определение работы в законсервированное свойство, называемое энергией. Если вы определяете работу в$Fdx$стиле (как это сделал Джеймс Джоуль), то квадратное выражение для кинетической энергии будет следовать с аргументами симметрии.

В своем превосходном ответе Рон Маймон умно предлагает использовать тепло, чтобы избежать ссылки на работу. Для определения количества калорий он использует термометр. Идеальный термометр измеряет$\partial{E}/\partial{S}$поэтому, когда он закончил определение энтропии, ему все еще нужно немеханическое определение работы. (На самом деле, я считаю, что вклад Джоуля заключается в том, чтобы показать, что калория является избыточной мерой энергии.) Слабость ответа Рона в том, что ему также нужен второй закон термодинамики, чтобы ответить на вопрос.

Чтобы увидеть это явно, запишите первый закон в терминах уравнения Гиббса:

Теперь интегрировать. Гюйгенс предполагает$p$является лишь функцией$v$. Для небольших изменений в$v$мы делаем линейное приближение$p = mv$, куда$m \equiv dp/dv$. Подставьте это, проинтегрируйте, и вы получите квадратичную зависимость. На самом деле, нетрудно заметить, что если использовать гравитацию в качестве силы,$F = mg$что приводит к

Теперь обратите внимание, что нам потребовались изменения в$v$быть маленьким. На самом деле кинетическая энергия не всегда пропорциональна$v^2$. Если приблизиться к скорости света, все рушится, и у самого света нет массы, но у фотонов есть кинетическая энергия, равная$c p$куда$c$это скорость света. Поэтому лучше думать о кинетической энергии как

Итак, резюмируя, я предполагаю, что «почему» в этом вопросе то же самое, что и «почему» в первом законе.

В основном, импульс связан с силой, умноженной на время, а KE связан с силой, умноженной на расстояние. Это все метр системы отсчета, будь то время или расстояние. Соотношение между временем и расстоянием для начальной скорости, равной нулю, равно$d = \frac{at^2}{2}= \frac{tV}{2}$. Подключите это к уравнениям, которые вы получите KE$= \frac{pV}{2} = \frac{p^2}{2m}$

Вула - волшебство!

Кинетическая энергия определяется как$\frac{1}{2}mv^2$(по крайней мере, в классической механике).

Когда движение объекта подчиняется физическому закону, постоянному во времени (например,$\ddot{r}=-\frac{GM}{r^2}$где GM — константа), то при интегрировании обеих частей по расстоянию и умножении на массу$m$объекта, который вы получаете:

Если предположить, что закон постоянен во времени, то между начальным и конечным состояниями величина объекта$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$также сохраняется во времени.

Если вместо$-\frac{GM}{r^2}$физический закон - это какая-то другая функция$f(r)$постоянной во времени, то количество объекта$\frac{1}{2}mv^2 - F(r)$где F является примитивом f, также сохраняется во времени.

Эта величина называется энергией. Затем мы даем имя двум слагаемым: слагаемое, зависящее от скорости ($\frac{1}{2}mv^2$) называется кинетической энергией, а член, зависящий от расстояния ($-F(r)$) называется потенциальной энергией.

Полезно определить эти величины, потому что, если мы предположим, что ускорение объекта является функцией расстояния, постоянной во времени (как в случае с законом тяготения, законом Кулона, законом Гука, ...), и если мы знаем цену$F(r)$и значение скорости на заданном расстоянии$r_1$(которые оба получены из измерений), то мы можем напрямую вывести скорость объекта на любом другом расстоянии, не вычисляя интеграл от$f(r)$каждый раз.

Поскольку кинетическая энергия является определенной величиной, бессмысленно спрашивать, почему она увеличивается квадратично со скоростью, потому что она определена таким образом. Вышеупомянутый аргумент дает причину, почему он определен именно таким образом.

Почему для перехода от 1 м/с к 2 м/с требуется гораздо больше энергии, чем от 0 м/с до 1 м/с?

Разогнать что-либо с 1 м/с до 2 м/с не труднее, чем с 0 м/с до 1 м/с, при постоянном ускорении это занимает то же время, однако проходит в 3 раза большее расстояние (так что это требуется в 4 раза большее расстояние, чтобы разогнаться с 0 м/с до 2 м/с, чем с 0 м/с до 1 м/с).

Допустим, вы ускоряете свой объект с некоторой постоянной скоростью, так что это занимает время$\tau$перейти от 0 м/с к 1 м/с. Тогда это займет столько же времени$\tau$перейти от 1 м/с к 2 м/с.

Его скорость как функция времени будет$v(t) = \frac{1}{\tau}t$. Особенно,$v(\tau) = 1$а также$v(2\tau) = 2$. Его пройденный путь как функция времени будет$d(t) = \frac{1}{2\tau}t^2$

Это занимает расстояние$d(\tau) = \frac{\tau}{2}$разогнать его от 0 м/с до 1 м/с, при этом он проходит расстояние$d(2\tau) = 2\tau$разогнать его с 0 м/с до 2 м/с.

Как вы видете,$d(2\tau) = 4d(\tau)$. Ни в коем случае вам не нужно привлекать кинетическую энергию, чтобы объяснить это наблюдение, это занимает в 4 раза больше расстояния, потому что объект движется быстрее между$\tau$а также$2\tau$чем между$0$а также$\tau$. Точно так же при постоянной скорости торможения требуется в 4 раза больше пути для торможения до полной остановки на скорости.$2v$чем на скорости$v$, не потому, что кинетическая энергия как-то затрудняет торможение, когда мы едем быстрее, а просто потому, что для торможения требуется в два раза больше времени (время, чтобы перейти от$2v$к$v$такое же, как время, чтобы перейти от$v$к$0$), и потому что мы движемся быстрее, чем$v$(следовательно, преодолевая большее расстояние) за половину времени торможения.

У меня есть количественный ответ, который является мысленным экспериментом, избегающим всех уравнений, кроме простейших.

Объект, движущийся от скорости v=0 до v=1, нужно каким-то образом толкать или тянуть. В моем объяснении я буду использовать тот же метод, чтобы толкнуть объект от v=0 до v=1, затем от v=1 до v=2, затем от v=2 до v=3 и т. д. Я покажу, как энергия движения воплощенный в объекте повышается от 0 до 1 до 4 до 9 и т.д.

Начните с двух одинаковых шаров, m1 и m2. Между двумя шариками находится пружина s1, которая сжимается. Предположим, что масса пружины очень мала. Потенциальная энергия пружины PE=2, а скорость всех трех акторов v=0.

А. v=0. Все объекты имеют скорость 0, поэтому кинетическая энергия KE=0.

Б. v=1. Отпустите пружину, и m1 полетит влево со скоростью v=1. m2 идет в обратном направлении с v=-1. Кинетическая энергия обоих шариков одинакова и равна KE=1, потому что вся потенциальная энергия пружины передается шарикам симметрично.

С. v=2. Теперь поместите другой такой же мяч, m3, справа от m1, который также движется со скоростью v=1 и со сжатой пружиной s2 между ними. С m1 ничего не изменилось, он по-прежнему счастливо путешествует при v=1. Итак, какова полная энергия системы m1, s2 и m3? Это 1 + 2 + 1 = 4, являющееся KE m1, PE s2 и KE m3.

Теперь отпустите пружину, и m1 отскочит влево с v=2, а скорость m3 изменится от v=1 до v=0, что сделает его KE=0. Поскольку мы сказали, что масса пружины очень мала, поэтому ее KE почти равна нулю, тогда вся энергия, которая была в системе до того, как пружина была выпущена, теперь выражена в m1. Таким образом, KE m1 равно KE=4. Уф, КЭ пропорциональна v в квадрате!

Д. v=3. Просто повторите процесс, чтобы заставить m1 перейти от v=2 к v=3, отталкивая другой такой же мяч, m4. Во-первых, определите общую энергию системы из двух шариков и пружины до того, как пружина будет отпущена. Это 4+2+4=10. После отпускания пружины m4 имеет v=1, что, как мы установили, эквивалентно KE=1. Итак, m1 имеет оставшуюся энергию системы, которая равна KE=9.

Е. v=4. Повторите процесс. Энергия системы до отпускания пружины 9+2+9=20. KE m1 после отпускания пружины, KE=20-4=16.

Я не доволен тем, что убрал массу пружины, поэтому более аккуратное объяснение состоит в том, что к каждому шарику прикреплена пружина, и шарики взаимодействуют через свои пружины, которые находятся в контакте.

Квадратичное изменение кинетической энергии со скоростью можно объяснить свойствами симметрии пространства и времени. Функция Лагранжа определяется как$\mathcal{L}=T-U$, куда$T$кинетическая энергия и$U$является потенциальной энергией.

Мы знаем, что пространство однородно и изотропно, а время однородно. Для свободной частицы отсюда следует, что лагранжиан$\mathcal{L}$должен обладать следующими свойствами:

1. $\mathcal{L}$не должен зависеть от координаты положения.
2. $\mathcal{L}$не должен зависеть от вектора скорости. Скорее, она должна зависеть от величины скорости, т. е. от некоторой степени вектора скорости.
3. $\mathcal{L}$не должны зависеть от временной координаты.

Таким образом, общий вид лагранжиана для свободной частицы имеет вид

Поскольку мы рассматриваем свободную частицу (имеющую только кинетическую энергию), лагранжиан (выбирая$n=2$) является

Цель этого ответа - построить интуитивное представление о том, что такое кинетическая энергия. Целевая аудитория этого повествования — новички, которые впервые знакомятся с концепцией кинетической энергии.

(Повествование может показаться слишком медленным. Идея такова: вот как бы я представил эту тему любознательному умному юноше.)

В качестве основы я сначала рассмотрю наши представления здравого смысла о силе и движении.

В нашей повседневной жизни мы имеем дело примерно с тремя типами сил, которые я буду называть «гравитацией», «силами упругости» и «силами трения».

Трение
При малых скоростях трение имеет тенденцию быть пропорциональным скорости. Есть образ бармена, подносящего гостю стакан. Как мы знаем: это выполнимо; вы можете почувствовать, какой толчок нужно дать, чтобы стекло остановилось в пределах досягаемости руки клиента.

Упругость
Как мы знаем, сила упругости имеет тенденцию быть пропорциональной степени деформации.

Гравитация
Гравитация присутствует всегда, гравитации никогда не бывает. Наш опыт гравитации настолько усвоен, что мы склонны не осознавать, насколько уникальны свойства гравитации.

В отличие от трения эффект гравитации не зависит от вашей текущей скорости . Какой бы ни была ваша текущая скорость, ваше изменение скорости будет одинаковым.

В отличие от эластичности эффект гравитации не зависит от вашего текущего положения . (Повседневная жизнь протекает на поверхности Земли, где во всех смыслах и целях сила тяжести одинакова.)

Чтобы сосредоточиться на том, что такое кинетическая энергия, я использую силу, которая позволяет F=ma действовать в самой чистой возможной форме: силу, которая не зависит от текущей скорости и положения: гравитация.

Я позволяю предмету падать с высоты 16 метров.
(Я выбираю 16 единиц вместо 4, потому что 4 имеет неоднозначность. Сумма 2 и 2 и произведение 2 и 2 равно 4. 16 позволяет избежать этого.)

Чтобы сделать числа простыми, я установил силу, вызывающую ускорение 2$m/s^2$

Как мы знаем: результирующая траектория возникает из свойства Природы, связывающего Силу и Ускорение:$F=ma$

Скорость увеличивается линейно со временем: через 2 секунды объект имеет скорость 4 м/с, через 4 секунды объект имеет скорость 8 м/с.

Пройденное расстояние увеличивается квадратично со временем: за 2 секунды объект преодолел 4 метра, за 4 секунды объект прошел 16 метров.

Подбрасывание предметов вверх
Как мы знаем, ускорение и замедление в некотором смысле являются зеркальными отражениями друг друга, зеркально отраженными по отношению к направлению времени.

Используя ту же скорость изменения скорости: 2$m/s^2$

Если предмет бросить вверх с начальной скоростью 4 метра в секунду, он поднимется на высоту 4 метра.
Если предмет бросить вверх с начальной скоростью 8 метров в секунду, он достигнет высоты 16 метров.

Итак: при броске вверх с удвоенной скоростью достигнутая высота увеличивается квадратично .

В нашей повседневной жизни мы все время сталкиваемся с силами упругости и силами трения, и, следовательно, мы склонны ожидать, что когда вы бросаете что-то с удвоенной скоростью, оно будет иметь в два раза большую силу . Но количество «удара», которое имеет объект, увеличивается пропорционально квадрату скорости.

F=ma
Квадратичная зависимость возникает из-за того, что ускорение является второй производной положения. Существует фундаментальная связь между операцией взятия второй производной и операцией возведения в квадрат .

Если ваша начальная скорость равна 8 м/с, а вы замедляетесь на 2$m/s^2$:
От t=0 до t=2 вы проходите 3/4 всего тормозного пути.
От t=2 до t=4 вы проезжаете оставшуюся 1/4 всего тормозного пути.

Это отношение 3/4 к 1/4 обобщается на любое равномерное ускорение/замедление.

Столкновение автомобилей

При столкновении автомобилей количество повреждений быстро увеличивается с увеличением скорости.

Причиной тому является характер замедления.
В течение первой половины времени торможения пройденный путь составляет 3/4 полного тормозного пути. Важно отметить, что количество нанесенного урона пропорционально пройденному расстоянию, а не пропорционально продолжительности замедления.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия выражает количество повреждений, наносимых при разрушительном столкновении.

Теорема работы-энергии
Величина изменения кинетической энергии как следствие силы, действующей на расстоянии, определяется теоремой работы-энергии .

Мой ответ здесь является результатом моего собственного мышления, но по существу он противоположен ответу Рона Маймона . Тем не менее, я думаю, что немного другая точка зрения может быть полезной.

Из ответа Маймона,

Единственный способ ответить на подобные вопросы — полагаться на принципы симметрии, поскольку они более фундаментальны, чем законы движения. Используя инвариантность Галилея, симметрию, которая говорит, что законы физики выглядят одинаково для движущегося поезда, вы можете объяснить, почему энергия должна быть пропорциональна массе, умноженной на квадрат скорости.

Во-первых, вам нужно определить кинетическую энергию. Я определю его следующим образом: кинетическая энергия E(m, v) глиняного шара массы m, движущегося со скоростью v, равна количеству теплоты, которое он выделяет при ударе о стену. Это определение не относится к какой-либо механической величине, и ее можно определить с помощью термометров. Я покажу, что в предположении галилеевой инвариантности E(v) должно быть квадратом скорости.

Я не буду определять энергию, но предполагаю, что (1) кинетическая энергия является функцией массы и скорости и (2) устройства, запускающие объекты (например, пружины), обладают потенциальной энергией, и эта потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию. при запуске объекта. Есть много других предположений, которые входят в мою аргументацию, но я не буду делать их явными для краткости.

Сценарий

Предположим, у нас есть два ящика, каждый массой$m$, движущийся со скоростью$v$вправо со сжатой пружиной между ними (или чем-то еще, что потенциально может разделить две коробки). Эта система имеет полную энергию$E(2m, v) + U$куда$E(\cdot, \cdot)$кинетическая энергия и$U$- потенциальная энергия пружины.

Теперь представьте, что мы отпустили пружину (может быть, мы перерезали веревку, скрепляющую два ящика), и предположим, что два ящика раздвинуты друг от друга как раз таким образом, что левый ящик останавливается. При сохранении импульса правый ящик должен быть ускорен, чтобы двигаться со скоростью$2v$Направо.

Отсюда мы получаем

Чтобы получить точное соотношение пропорциональности между энергией и скоростью, я буду рассматривать относительность Галилея так же, как Рон Маймон. Учитывая текущую систему координат, рассмотрим систему координат, движущуюся вправо со скоростью$v$. Переходя к новой системе отсчета, два ящика изначально покоятся (поэтому кинетическая энергия равна$E(2m, 0) = 0$) и пружина сжимается с потенциальной энергией$U$. После отпускания оба ящика движутся в противоположных направлениях со скоростью$v$. В этом случае мы имеем

Следовательно$E(\cdot, \cdot)$квадратичен по скорости.

Это демонстрирует только четырехкратное увеличение кинетической энергии по сравнению с удвоением скорости, но я уверен, что вариации этого могут выявить общее$E\propto v^{2}$пропорция.

Подбросьте 3 мяча одинакового веса без трения о воздух.

У мяча есть скорость

И давайте для простоты имеем

Давайте для простоты шар 1 путешествует

И остановись по прошествии времени

Какое расстояние пролетит мяч 2?

Заметь

Также замедление постоянное.

Таким образом, шар 2 потребует

Однако средняя скорость мяча 2 также удвоится. Таким образом, мяч 2 пролетит в 4 раза выше.

По той же причине шар 3 потребует

И средняя скорость тоже будет тройной.

Таким образом, шар 3 поднимется в 9 раз выше.

Таким образом, количество кинетической энергии шаров будет квадратичным количеством скорости.

На самом деле, мы можем измерить это прямо сейчас.

Полная потенциальная энергия будет

Средняя скорость подъема будет

Здесь,

Так

Так,

Суммарная кинетическая энергия мяча, движущегося вверх со скоростью

будет просто потенциальной энергией мяча, когда он остановится.

Так что, это

Один из способов взглянуть на этот ваш вопрос таков:

Итак, если мы умножим скорость на некоторую величину, т. е. если мы масштабируем скорость, мы получим следующее:

То есть, если вы масштабируете свою скорость с коэффициентом$\lambda$, ваша Энергия масштабируется с коэффициентом$\lambda^2$— это должно ответить на ваш вопрос (просто подставьте числа).