Почему нам нужно знать форму горки, чтобы найти время, чтобы скатиться по ней?

Просто для полноты я объясню, как получить время, затрачиваемое на произвольную кривую.

Если$h$- начальный рост ребенка и$y$высота, как только он начал падать. По энергосбережению:

Путь, пройденный за очень малый промежуток времени, можно записать в виде:

Итак, скорость:

Подставив это уравнение в$(1)$а интеграция приводит к:

Этот интеграл дает вам время, необходимое для достижения земли по любой кривой.$y(x)$.

Кроме того, можно получить такую ​​кривую, таутохрону , время которой не зависит от начальной точки:

Источник изображения

Форма горки определенно определяет, сколько времени потребуется, чтобы спуститься по ней. Подумайте, был ли слайд полностью вертикальным. Так вот, некий известный [недавно умерший :( ] комик имел проницательную наблюдательность, чтобы указать, что на самом деле это будет падение, а не горка. Тем не менее, вы бы быстро достигли дна. А теперь представьте, если бы горка была как американские горки: он спускался, затем снова поднимался, затем опускался и т. д., достигая земли только в самом конце. Это движение вверх и вниз является чисто результатом формы горки и обязательно должно занять больше один раз прямо вниз. Итак, вы видите, что время, необходимое для прохождения слайда, сильно зависит от формы слайда.

Почему автор говорит, что нам нужно знать форму горки, чтобы найти время, за которое ребенок достигнет нижней части горки?

Как вы обнаружили, скорость спуска по горке без трения зависит только от расстояния по вертикали. Эта скорость не является вертикальной составляющей скорости. Это величина скорости. Вертикальная составляющая скорости будет меньше на наклонной горке.

Чтобы максимально упростить геометрию, я рассмотрю наклонные пандусы (без выступов, без изгибов; просто пандус под некоторым углом наклонен относительно горизонтали). Чтобы числа были проще, я буду использовать g =10 м/с ² , а не 9,80665 м/с ² . Предположим, горка имеет перепад высот 5 метров. Это означает, что скорость в нижней части слайда составляет 10 м/с. Средняя скорость вдвое меньше, 5 м/с.

Теперь давайте разместим слайды разной длины. Горка длиной 5 метров означает, что вы падаете, а не скользите. Чтобы прыгнуть с высоты 5 метров, требуется одна секунда. Что, если бы мы использовали горку длиной десять метров (то есть, наклоненную под углом 30 градусов по отношению к горизонтали). Скорость не изменилась, но расстояние увеличилось вдвое. Чтобы спуститься по этому слайду, требуется две секунды; в два раза длиннее вертикального падения. Используйте еще более длинную горку, но все же 5-метровый перепад высоты, и вам потребуется еще больше времени, чтобы добраться до дна. С горки длиной 50 метров (5,74 градуса по горизонтали) требуется десять секунд, или в десять раз больше времени, чтобы добраться до дна по сравнению с вертикальным падением.

В общем, время, необходимое для достижения нижней части наклонной рампы без трения, определяется выражением$t_\text{slide}=\frac l h t_\text{vert}$, куда$l$длина пандуса,$h$вертикальное падение, и$t_\text{vert}$это время, необходимое для падения на то же расстояние по вертикали.

В своей работе вы исходили из того, что$a=g$- это верно, если слайд вертикальный.

Слайды будут иметь некоторый угол,$\theta$(например$45^\circ$), что будет означать, что ускорение,$a$дан кем-то

Обратите внимание, что$a$будет меньше, чем$g$потому что ценность$sin$срок будет между$0$а также$1$. (кроме случая вертикального скольжения$\theta=90^\circ$а также$sin \theta=1$так$a=g$).

Но мы еще не закончили, потому что большинство слайдов заканчиваются горизонтально, поэтому внизу слайда будет кривая.

В дополнение к существующим ответам стоит отметить, что тот факт, что слайд замедляет что-то, скользящее вниз, на самом деле является тем, как Галилей подтвердил, что объекты падают с одинаковой скоростью независимо от их массы. Просто отбрасывать их не очень хорошо, потому что вещи рушатся слишком быстро, по крайней мере, с использованием технологий эпохи Возрождения. Поэтому он построил наклонные горки, которые замедляли падение, позволяя ему лучше измерять, сколько времени требуется вещам для падения.

Кроме того, представьте, если бы все не работало таким образом. Мы могли бы создать очень эффективную систему передвижения, построив поверхности с очень небольшим наклоном: скажем, пусть высота одного конца будет десять футов, а конец — в двадцати милях, а высота — пять футов. Тогда вы сможете проехать двадцать миль за то же время, за которое вы упадете на пять футов.

Горка обеспечивает нормальное усилие для ребенка. Это изменяет ускорение ребенка в различных точках горки, что влияет на время, необходимое для достижения дна. Ребенок больше не падает свободно под постоянным равномерным ускорением, а следует за неровностями. Если горка имеет достаточно сложную форму, то будет трудно найти время, необходимое для достижения дна из-за этого переменного чистого ускорения.

Вы знаете конечную скорость, и вы также знаете (из-за сохранения кинетической + гравитационной потенциальной энергии), что это максимальная скорость (по крайней мере, при условии, что горка остается над уровнем земли). Назовите эту максимальную скорость$v$.

В любое время$t$, рассмотрим a (прямой, пологий для больших$t$) слайд длиной более$vt$. По теореме о среднем значении или просто по здравому смыслу вы не можете проехать расстояние больше, чем$vt$во время$t$ни в коем случае не превышая скорость$v$. Так что этот конкретный слайд занимает больше времени, чем$t$путешествовать.

Таким образом, время, затрачиваемое на перемещение вниз по слайду, не просто зависит от формы слайда, оно даже не ограничено сверху.

Ошибка в вашей работе состоит в том, чтобы принять$a = 9.8$. Это верно при падении, но неверно при скольжении по любой форме, кроме вертикальной скалы.