Многие сообщения здесь посвящены вопросу о том, как именно пространственно-временные симметрии представлены в (проективных) гильбертовых пространствах в квантовой механике. Вопрос здесь в том, почему квантовые состояния должны жить в (проективных) пространствах представления этих групп симметрии в первую очередь.
В конце концов, пространственно-временные симметрии просто отражают избыточный и произвольный выбор, который мы делаем для описания системы в классической механике. Сами физические объекты, конечно, не затронуты преобразованием симметрии, в этом весь смысл симметрии. Выдающаяся роль таких «артефактов» нашего классического описания в построении квантовой механики кажется удивительной (см., например, Л.Э. Баллентайн: Квантовая механика , глава 3, и С. Вайнберг, Квантовая теория полей , глава 2).
Редактировать: В каком смысле пространственно-временные симметрии просто отражают избыточный и произвольный выбор того, как мы описываем классическую систему? Под пространственно-временными симметриями я подразумеваю элементы группы Галилея или группы Пуанкаре в нерелятивистской и релятивистской физике соответственно, действующие на векторные пространства и живущие в них объекты (тензоры). Теперь, например, активное вращение системы (включая все, с чем она взаимодействует) не имеет наблюдаемых последствий. Эквивалентно, пассивное вращение действует на базисные векторы, а также преобразует компоненты тензора , так что сам тензор как геометрический объект является инвариантным .
В этом смысле применение пространственно-временных симметрий, активных или пассивных, к системе дает разные описания системы, все из которых эквивалентны в том, что они описывают одну и ту же физическую ситуацию.
Мы должны различать две вещи:
Преобразование глобальной симметрии (например, глобальное вращение) явно не имеет наблюдаемого физического эффекта. Если мы вращаем всю Вселенную, мы не изменим ничего наблюдаемого.
Напротив, существование глобальной симметрии (я имею в виду математическое существование в модели) обычно имеет наблюдаемые последствия. Это потому, что глобальные симметрии имеют тенденцию к расщеплению , как это определено Харлоу и Оогури . Расщепляемая глобальная симметрия — это симметрия, которая позволяет нам преобразовывать часть системы, не преобразовывая ее целиком. Это хорошо заметно.
Рассматриваемые пространственно-временные симметрии расщепляемы, и поэтому нас волнует их представление в квантовой механике.
Вот еще одна точка зрения: большинство моделей, которые мы рассматриваем в квантовой механике, являются моделями только одной части более полной физической системы. В такой модели глобальное преобразование симметрии не обязательно представляет собой глобальное преобразование скрытого физического контекста, в котором модель предназначена для применения.
Можем ли мы исключить из формализма ненаблюдаемые глобальные преобразования? С помощью расщепляемой симметрии мы можем преобразовать сколь угодно большую часть системы, и это можно наблюдать, поэтому запрет на преобразование всей системы кажется сложной задачей для математического обеспечения. Я не знаю, как это сделать, и я не уверен, для какой цели это послужит.
Имейте в виду, что даже локальные калибровочные симметрии — это повсеместная черта нашей современной формулировки физики, хотя все признают, что это просто избыточность. Мы не исключаем их из формализма, мы просто признаем избыточность.
Ваш вопрос основан на ложной предпосылке. Пространственно-временные симметрии не являются избыточностью. Взять мою чашку чая и переместить ее через комнату — это подлинное преобразование, а не какое-то калибровочное преобразование, и утверждение, что законы физики неизменны при таких преобразованиях, — это подлинное утверждение о Вселенной.
Можно представить Вселенную, в которой существует особое направление в пространстве, вдоль которого все объекты естественным образом ускоряются быстрее, чем в любом другом направлении, или особая точка (в пустом пространстве), к которой все объекты естественным образом испытывают силу. Утверждение, что вселенная, в которой мы живем, не имеет каких-либо особых направлений или точек в пространстве, является реальным физическим утверждением, которое может оказаться верным, а может и не оказаться верным.
Если бы мы действительно жили во Вселенной с, например, особым направлением ускорения, то вращение всей материи во Вселенной оказало бы ощутимое влияние на ее поведение. Орбиты звезд и планет после вращения были бы иными, и форма физических законов, управляющих их поведением, должна была бы измениться.
Я придерживаюсь точки зрения пассивных преобразований: например, в специальной теории относительности вращение действует на основе касательного пространства к пространству-времени. Тогда соответственно изменяются компоненты тензора в нашем описании, но сам тензор (геометрический объект) не меняется.
Активный и пассивный — не эквивалентные точки зрения, которые вы можете принять на досуге. Активное преобразование относится к подлинному физическому преобразованию рассматриваемой физической материи или полей, а пассивное преобразование относится к изменению координат.
Выполнение преобразования симметрии пространства-времени, такого как вращение системы, является активным преобразованием. Возвращаясь к приведенному выше примеру, можно представить, что Вселенная анизотропна и что объекты быстрее ускоряются в направлении, нормальном к плоскости Млечного Пути. Тогда вращение всей галактики явно изменит ее поведение. Это больше, чем просто смена координат.
Иными словами, законы физики по своей сути инвариантны относительно пассивных преобразований, потому что мы определяем это так. В Physics 101 мы часто меняем координаты, чтобы описать движение по наклонной плоскости. Мы меняем координаты одним способом, а базисные векторы — другим, так что законы физики остаются неизменными. Это пассивное преобразование.
С другой стороны, мы действительно могли взять в руки наш экспериментальный аппарат и вращать его. Координаты наших объектов изменятся, но базисные векторы не изменятся . Это активное преобразование (которое, впрочем, не оставляет неизменным поведение системы, так как эта модель не обладает вращательной инвариантностью).
Любопытный Разум
Фигаро
Любопытный Разум