Почему пространство-время искривлено массой, а не зарядом?

Заряд искривляет пространство-время. Метрика заряженной черной дыры отличается от незаряженной черной дыры. Заряженные (невращающиеся) черные дыры описываются метрикой Рейснера-Нордстрема . У него есть некоторые интересные особенности, в том числе действие в качестве портала в другие вселенные, хотя, к сожалению, они вряд ли будут иметь какое-либо физическое значение. Это обсуждается в ответах на вопрос Имеют ли объекты энергию из-за их заряда? , хотя это не дубликат. Все, что появляется в тензоре энергии-импульса , будет искривлять пространство-время.

Вращение также имеет эффект, хотя я должен признаться, что здесь я не в своей зоне комфорта. Чтобы принять во внимание спин, мы должны распространить ОТО на теорию Эйнштейна-Картана . Однако в большом масштабе чистый спин фактически равен нулю, и мы не ожидаем, что спин будет иметь какое-либо существенное влияние, пока мы не перейдем к квантовым масштабам длины.

Гравитация связывается с чем-либо в пределах тензора энергии-импульса, как это диктуется уравнениями поля,

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

И заряд, и угловой момент влияют на кривизну пространства-времени, как и на метрику. Например, рассмотрим вращающуюся заряженную черную дыру, описываемую метрикой Керра-Ньюмена.

$$\mathrm{d}s^2 = -\left( {\mathrm{d}r^2 \over \Delta + \mathrm{d}\theta^2} \right)\rho^2 + \left(\mathrm{d}t-\alpha \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi\right)^2 \frac{\Delta}{\rho^2}-\left( (r^2+\alpha^2)\mathrm{d}\phi -\alpha \mathrm{d}t\right)^2 \frac{\sin^2 \theta}{\rho^2}$$

Параметры$\alpha$а также$\rho$зависят от углового момента и$\Delta$на самом деле зависит от заряда черной дыры. Очевидно, от них зависят и формы кривизны.

---

Почему пространство-время не искривляется из-за других сил или аспектов тел?

На пространство-время влияет присутствие других полей. Например, электрические и магнитные поля описываются лагранжианом Максвелла,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

куда$F=\mathrm{d}A$напряженность поля, замкнутый$2$-форма. Теория поля имеет ненулевой тензор энергии-импульса (полученный путем применения теоремы Нётер к пространственно-временным преобразованиям), который находится в правой части уравнений поля и вызывает кривизну. Другой пример: метрика Калуцы-Клейна в теории Калуцы-Клейна определяется выражением

$$\mathrm{d}s^2 = g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \mathrm{d}x^\nu -e^{2\sigma(x)}\left[ \mathrm{d}\psi + A_\mu \mathrm{d}x^\mu\right]^2$$ Следовательно, в этом $5D$модельное пространство-время находится под влиянием скалярного поля $\sigma(x)$, и четырехпотенциальный $A_\mu$.

---

Для полноты действие, которое порождает метрика Калуцы-Клейна, таково:

$$S=-\frac{1}{16\pi G}\int \mathrm{d}^4 x \, \sqrt{g_4} \, \mathrm{d}\psi \,e^{\sigma} \left[ R^{(4)} + \frac{1}{4}e^{2\sigma}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -2e^{-\sigma} \square e^{\sigma}\right]$$

которая сводится к теории Эйнштейна-Максвелла, если$\psi \sim \psi + L$, на какой-то период$L$и дилатон$\sigma=\mathrm{const}$.

Единственное свойство, почему масса и отсутствие заряда соответственно вращаются (по крайней мере, не сильно, только за счет "побочных эффектов") искривляют пространство-время, - это принцип эквивалентности. Принцип эквивалентности гласит, что гравитационная масса == инертной массе. После долгих размышлений над этим свойством (экспериментально доказанным Галилеем) Эйнштейн обнаружил, что, как следствие, пространство-время должно искривляться массой.

С другой стороны, между зарядом (или спином) и инертной массой нет обязательной связи, точнее, нет никакой связи. Следовательно, заряд или вращение априори не имеют никакого влияния на пространство-время, по крайней мере, прямого. Как уже было сказано, электромагнитное поле несет энергию и своей энергией способствует искривлению пространства-времени. Но заряд не является источником искривления пространства-времени, он зарезервирован для массы соответственно энергии из-за принципа эквивалентности.