Почему у нас спин не больше 2?

Частицы с более высоким спином должны быть связаны с сохраняющимися токами, а в квантовых теориях поля нет сохраняющихся токов с высоким спином. Единственными сохраняющимися токами являются векторные токи, связанные с внутренней симметрией, ток тензора энергии-импульса, ток тензора углового момента и сверхток спина 3/2 для суперсимметричной теории.

Это ограничение на токи ограничивает спины до 0,1/2 (которые не должны быть связаны с токами), спин 1 (который должен быть связан с векторными токами), спин 3/2 (который должен быть связан с током). сверхток) и спин 2 (который должен быть связан с тензором энергии-импульса). Аргумент эвристический, и я не думаю, что он поднимается до уровня математического доказательства, но он достаточно правдоподобен, чтобы служить хорошим руководством.

Предварительные сведения: все возможные симметрии S-матрицы.

Вы должны принять следующий результат О'Раферти, Коулмана и Мандулы: непрерывные симметрии S-матрицы частиц, предполагающие массовый зазор и лоренц-инвариантность, представляют собой группу Ли внутренних симметрий плюс группу Лоренца. Эта теорема верна, учитывая ее предположения, но эти предположения упускают из виду много интересной физики:

• Коулман-Мандула предполагают, что симметрия является симметрией S-матрицы, а это означает, что она нетривиально действует на некоторое состояние частицы. Это кажется безобидным, пока вы не поймете, что можете иметь симметрию, которая не затрагивает состояния частиц, а действует нетривиально только на такие объекты, как струны и мембраны. Такие симметрии будут иметь отношение только к рассеянию бесконечно протяженных объектов с бесконечной энергией, поэтому они не отображаются в S-матрице. Преобразования становились бы тривиальными всякий раз, когда эти листы замыкались бы сами на себя, образуя локализованную частицу. Если вы посмотрите на аргумент Коулмана и Мандулы (простая версия представлена ​​в заметках Аргиреса о суперсимметрии, что придает изюминку. В книге Вайнберга по квантовой теории поля есть прекрасное полное изложение, а исходная статья доступна и понятна), она почти требует, чтобы объекты, заряженные более высокой симметрией, были пространственно протяженными. Когда вы расширяете фундаментальные объекты, неясно, занимаетесь ли вы больше теорией поля. Если расширенные объекты являются солитонами в перенормируемой теории поля, вы можете увеличить масштаб рассеяния на сверхкороткие расстояния и рассматривать ультрафиолетовую теорию фиксированной точки как изучаемую вами теорию поля, и этого достаточно, чтобы понять большинство примеров. Но исключение расширенного объекта является наиболее важным, и его всегда следует держать в уме. вы можете увеличить масштаб рассеяния на сверхкороткие расстояния и рассмотреть теорию фиксированной точки ультрафиолетового излучения как теорию поля, которую вы изучаете, и этого достаточно, чтобы понять большинство примеров. Но исключение расширенного объекта является наиболее важным, и его всегда следует держать в уме. вы можете увеличить масштаб рассеяния на сверхкороткие расстояния и рассмотреть теорию фиксированной точки ультрафиолетового излучения как теорию поля, которую вы изучаете, и этого достаточно, чтобы понять большинство примеров. Но исключение расширенного объекта является наиболее важным, и его всегда следует держать в уме.
• Коулман и Мандула предполагают массовый разрыв. Стандартное распространение этой теоремы на безмассовый случай просто распространяет максимальную симметрию с группы Пуанкаре на конформную группу, чтобы увеличить пространственно-временную часть. Но Коулман и Мадула используют свойства аналитичности, которые, я не уверен, можно использовать в конформной теории со всеми ветвлениями, которые не контролируются массовыми пробелами. Результат чрезвычайно правдоподобен, но я не уверен, что он по-прежнему строго верен. Это упражнение по Вайнбергу, которое я, к сожалению, не делал.
• Коулман и Мандула игнорируют суперсимметрии. Это зафиксировано Хаагом-Лопушански-Зониусом, которые используют теорему Коулмана о мандуле, чтобы доказать, что структура максимальной симметрии квантовой теории поля представляет собой суперконформную группу плюс внутренние симметрии и что суперсимметрия должна замыкаться на тензор энергии-импульса.

На практике теорема Коулмана-Мандулы означает, что всякий раз, когда у вас есть сохраняющийся ток в квантовой теории поля, и этот ток нетривиально действует на частицы, он не должен нести никаких пространственно-временных индексов, кроме векторного индекса, за единственными исключениями. геометрические токи: ток спинорной суперсимметрии,$J^{\alpha\mu}$, (симметричный Белинфанте) тензор энергии-импульса$T^{\mu\nu}$, тензор углового момента (Белинфанте)$S^{\mu\nu\lambda} = x^{\mu} T^{\nu\lambda} - x^\nu T^{\mu\lambda}$, а иногда и ток дилатации$D^\mu = x^\mu T^\alpha_\alpha$а также конформные и суперконформные токи.

Спин сохраняющихся токов определяется теорией представлений: антисимметричные индексы имеют спин 1, независимо от того, есть ли они 1 или 2, поэтому спин токов внутренней симметрии равен 1, а тензор энергии напряжения равен 2. Другая геометрическая тензоры, полученные из тензора энергии напряжения, также ограничены спином меньше 2, а сверхток имеет спин 3/2.

Что такое КТФ?

Здесь это практический вопрос — для данного обсуждения квантовая теория поля — это конечный набор локальных полей, каждое из которых соответствует представлению группы Пуанкаре, с лагранжианом локального взаимодействия, который связывает их вместе. Кроме того, предполагается, что существует ультрафиолетовый режим, в котором все массы не имеют значения, а все взаимодействия все еще относительно малы, так что пертурбативный обмен частицами допустим. Я говорю псевдопредел, потому что это не настоящая ультрафиолетовая фиксированная точка, которой могло бы не существовать, и она не требует перенормируемости, а только унитарности в режиме, когда теория все еще пертурбативна.

Каждая частица должна с чем- то взаимодействовать , чтобы быть частью теории. Если у вас есть невзаимодействующий сектор, вы отбрасываете его как ненаблюдаемый. Теория не обязательно должна быть перенормируемой, но она должна быть унитарной, так что амплитуды должны унитаризироваться пертурбативно. Предполагается, что связи слабы на некотором масштабе коротких расстояний, так что вы не создадите большого беспорядка на коротких расстояниях, но вы все равно можете анализировать выброс частиц по порядку.

Граница Фруассара для теории массовой щели утверждает, что амплитуда рассеяния не может расти быстрее, чем логарифм энергии. Это означает, что любой более быстрый, чем постоянный рост амплитуды рассеяния должен быть чем-то компенсирован.

Пропагаторы на любой спин

Пропагаторы для массивных/безмассовых частиц любого спина следуют из соображений теории групп. Эти пропагаторы имеют схематический вид

$$s^J\over s-m^2$$

А важнейший s-скейлинг с его J-зависимостью можно извлечь из физически очевидной угловой зависимости амплитуды рассеяния. Если вы поменяете частицу со спином J с коротким расстоянием распространения (так что масса не имеет значения) между двумя длинными плоскими волнами (так что их угловой момент равен нулю), вы ожидаете, что амплитуда рассеяния будет выглядеть как$\cos(\theta)^J$, именно потому, что вращения действуют на спиральность обмениваемой частицы с этим фактором.

Например, когда вы обмениваетесь электроном между электроном и позитроном, образуя два фотона, а внутренний электрон имеет средний импульс k и спиральность +, то если вы вращаете вклад в амплитуду рассеяния от этого обмена вокруг k- ось на угол$\theta$против часовой стрелки, вы должны получить фазу$\theta/2$в уходящих фотонных фазах.

В терминах переменных Мандельштама угловая амплитуда имеет вид$(1-t)^J$, поскольку t — косинус переменной рассеяния, с точностью до некоторого масштабирования по s. Для больших t это растет как t ^ J, но «t» — это «s» пересеченного канала (вплоть до небольшого смещения), и поэтому, пересекая t и s, вы ожидаете, что рост будет идти с мощностью угловой зависимости. Знаменатель фиксируется на$J=0$, и этот закон определяется теорией Редже.

Так что для$J=0,1/2$, пропагаторы сжимаются при больших импульсах, для$J=1$, амплитуды рассеяния в некоторых направлениях постоянны, а для$J>1$Они растут. Эта схематическая структура, конечно, усложняется фактическими состояниями спиральности, которые вы прикрепляете к концам пропагатора, но схематическая форма — это то, что вы используете в аргументе Вайнберга.

Спин 0, 1/2 в порядке

Эти спины 0 и 1/2 в порядке без специальной обработки, и этот аргумент показывает вам, почему: пропагатор для спина 0

$$1\over k^2 + m^2$$

Который падает в k-пространстве при больших k. Это означает, что когда вы рассеиваете, обменивая скаляры, ваши древовидные диаграммы сжимаются, так что им не требуются новые состояния, чтобы сделать теорию унитарной.

Спиноры имеют пропагатор

$$1\over \gamma\cdot k + m$$

Это также падает при больших k, но только линейно. Обмен спинорами не ухудшает ситуацию, потому что спинорные петли имеют тенденцию компенсировать линейную расходимость за счет симметрии в k-пространстве, оставляя логарифмические расходимости, которые являются симптомами перенормируемой теории.

Так что спиноры и скаляры могут взаимодействовать, не раскрывая субструктуры, потому что их пропагаторы не требуют новых вещей для унитаризации. Это отражается в том факте, что они сами по себе могут создавать перенормируемые теории.

Спин 1

Вводя спин 1, вы получаете пропагатор, который не отваливается. Массивный пропагатор для спина 1 равен

$${ g_{\mu\nu} - {k_\mu k_\nu\over m^2} \over k^2 + m^2 }$$

Числитель проецирует спиральность перпендикулярно k, а второй член проблематичен. В k-пространстве есть направления, где пропагатор вообще не спадает! Это означает, что при рассеянии путем обмена спином-1 эти направления могут привести к взрыву амплитуды рассеяния при высоких энергиях, который нужно как-то компенсировать.

Если вы отмените дивергенцию с более высоким спином, вы получите там дивергенцию, и вам нужно отменить это, а затем более высокий спин и так далее, и вы получите бесконечно много типов частиц. Таким образом, предполагается, что вы должны избавиться от этого расхождения по своей природе. Способ сделать это состоит в том, чтобы предположить, что$k_\mu k_\nu$термин всегда попадает в сохраняющийся ток. Тогда его вклад исчезает.

Это то, что происходит в массивной электродинамике. В этой ситуации массивный пропагатор все еще подходит для перенормируемости, как это было отмечено Швингером и Фейнманом и объяснено Штюкельбергом. $k_\mu k_\nu$всегда попадает в$J^\mu$, а в x-пространстве пропорциональна дивергенции тока, которая равна нулю, потому что ток сохраняется даже с массивным фотоном (поскольку фотон не заряжен).

Тот же аргумент работает, чтобы убить kk-часть пропагатора в полях Янга-Миллса, но это гораздо сложнее, потому что само поле Янга-Миллса заряжено, поэтому локальный закон сохранения обычно выражается по-другому и т. д. и т.п. Эвристический урок заключается в том, что спин-1 подходит только в том случае, если у вас есть закон сохранения, который отменяет несокращающуюся часть числителя. Это требует теории Янга-Миллса, и результат также совместим с перенормируемостью.

Если у вас есть частица со спином 1, которая не является полем Янга-Миллса, вам нужно будет выявить новую структуру, чтобы унитаризировать ее продольную составляющую, чей пропагатор не сжимается должным образом при высоких энергиях.

Спин 3/2

В этом случае у вас есть поле Рариты Швингер, и пропагатор будет расти, как$\sqrt{s}$при больших энергиях, как раз из аргумента Мандельштама, представленного ранее.

Рост пропагатора приводит к нефизическому росту рассеяния на этой частице, если только поле со спином 3/2 не связано с сохраняющимся током. Сохраняющийся ток - это ток суперсимметрии по теореме Хаага – Лопузанского – Сониуса, потому что это спинор сохраняющихся токов.

Это означает, что частица со спином 3/2 должна взаимодействовать со сверхтоком, сохраняющим спин 3/2, чтобы быть последовательным, а количество гравитино равно (меньше или равно) количеству сверхзарядов.

Гравитино всегда вводятся в супермультиплете с гравитоном, но я не знаю, точно ли невозможно ввести их с партнером по спину 1 и все равно связать их со сверхтоком. Эти мультиплеты со спином 3/2/спином 1, вероятно, не будут перенормируемыми, за исключением какого-нибудь чуда суперсимметрии. Я не разобрался, но возможно.

Спин 2

В этом случае у вас есть пертурбативное гравитоноподобное поле$h_{\mu\nu}$, а пропагатор содержит члены, линейно растущие с ростом s.

Чтобы отменить рост в числителе, вам нужно соединить тензорную частицу с сохраняющимся током, чтобы уничтожить части со слишком быстрым ростом, и создать теорию, которая не требует новых частиц для унитарности. Сохраняемая величина должна быть тензором$T_{\mu\nu}$. Теперь можно обратиться к теореме Коулмана-Мандулы и заключить, что сохраняющийся тензорный ток должен быть тензором энергии напряжения, и это дает общую теорию относительности, поскольку тензор напряжения включает также напряжение поля h.

Существует вторая сохраняющаяся величина тензора, тензор углового момента$S_{\mu\nu\sigma}$, который также имеет спин-2 (он может выглядеть как его спин 3, но он антисимметричен по двум своим индексам). Вы можете попытаться связать поле со спином 2 с тензором углового момента. Чтобы увидеть, работает ли это, требуется подробный анализ, которого я не проводил, но я предполагаю, что результатом будет просто нединамическое кручение, связанное с локальным вращением, как того требует теория Эйнштейна-Картана.

Виттен упоминает еще одну возможность спина 2 в главе 1 Грина Шварца и Виттена, но я не помню, что это такое, и я не знаю, жизнеспособна ли она.

Резюме

Я полагаю, что эти рассуждения принадлежат Вайнбергу, но лично я читал лишь их схематичное изложение в первых главах Грина Шварца и Виттена. Они не кажутся мне имеющими статус теоремы, потому что аргумент частица за частицей, он требует независимого обмена в данном режиме и не учитывает возможность того, что единство может быть восстановлено некоторым семейством частиц.

Конечно, в теории струн существуют поля сколь угодно высокого спина, и унитарность восстанавливается путем распространения их всех вместе. Для теорий поля со связанными состояниями, которые лежат на траекториях Редже, вы также можете иметь сколь угодно высокие спины, если вы рассматриваете все вклады траекторий вместе, чтобы восстановить унитарность (это было одним из первоначальных мотивов для теории Редже — унитаризация высших состояний). спиновые теории).

Например, в КХД у нас есть ядра с высоким спином в основном состоянии. Таким образом, существуют стабильные состояния S-матрицы с высоким спином, но они входят в семейства с другими возбужденными состояниями тех же ядер.

Вывод здесь таков: если у вас есть частицы с более высоким спином, вы можете быть уверены, что у вас появятся новые частицы с еще более высоким спином и более высокими энергиями, и эта цепочка частиц не остановится, пока вы в какой-то момент не обнаружите новую структуру. Таким образом, тензорные мезоны, наблюдаемые в сильном взаимодействии, означают, что следует ожидать бесконечное семейство сильно взаимодействующих частиц, исчезающих только тогда, когда обнаруживается субструктура квантового поля.

Некоторые комментарии

Джеймс сказал:

• Кажется, что поля с более высокими спинами должны быть безмассовыми, чтобы они имели калибровочную симметрию и, следовательно, ток для связи с ними.
• Безмассовая частица со спином 2 может быть только гравитоном.

Эти утверждения настолько же верны, насколько убедительны приведенные выше аргументы. Из-за компенсации, необходимой для того, чтобы пропагатор стал чувствительным, поля более высоких спинов принципиально не имеют массы на коротких расстояниях. Поля со спином 1 становятся массивными благодаря механизму Хиггса, гравитино со спином 3/2 становятся массивными из-за спонтанного нарушения SUSY, и это избавляет от голдстоуновских бозонов/голдстино.

Но все это, в лучшем случае, только на «умеренно правдоподобном» уровне аргументации --- аргумент касается унитаризации пропагатора, при этом каждый пропагатор в отдельности не имеет отмен. На самом деле примечательно, что это работает как руководство и что нет множества суперсимметричных исключений из теорий высших спинов с суперсимметрией, обеспечивающей сокращение пропагатора и унитаризацию. Возможно, они есть, просто их еще не обнаружили. Возможно, есть лучший способ сформулировать аргумент, который показывает, что унитарность не может быть восстановлена ​​с помощью частиц с положительным спектральным весом.

Большой разлом в 1960-е годы

Джеймс спрашивает

• Почему это не было указано ранее в истории теории струн?

Историю физики нельзя хорошо понять, не осознавая невероятного антагонизма между сторонниками S-матрицы Чу/Мандельштама/Грибова и сторонниками теории поля Вайнберга/Глэшоу/Полякова. Обе стороны ненавидели друг друга, не нанимали друг друга и не читали друг друга, по крайней мере, на западе. Единственными людьми, которые разделяли оба лагеря, были пожилые люди и русские — Гелл-Манн больше, чем Ландау (который считал, что полюс Ландау подразумевает S-матрицу), Грибов и Мигдаль больше, чем кто-либо другой на Западе, кроме Гелл-Манна и Уилсона. . Например, Уилсон защитил докторскую диссертацию по теории S-матрицы, как и Дэвид Гросс (при Чу).

В 1970-х теория S-матриц просто умерла. В 1974 году все специалисты быстро прыгнули с корабля, получив тройной удар вильсоновской теории поля, открытие шарм-кварка и асимптотическую свободу. Эти результаты убили теорию S-матрицы на тридцать лет. В число тех, кто сбежал с корабля, входят все оригинальные струнные теоретики, которые остались работать: в частности, Венециано, который был убежден, что калибровочная теория верна, когда т'Хоофт показал, что калибровочные поля с большим N дают топологическое расширение струны, и Сасскинд, который не упомянул Теория Редже после начала 1970-х гг. Все перестали изучать теорию струн, кроме Шерка и Шварца, а Шварца защищал Гелл-Манн, иначе его никогда бы не взяли на работу и не финансировали.

Эта печальная история означает, что сегодня в учебном плане не преподают ни одного курса теории S-матрицы, ее никто не изучает, кроме нескольких теоретиков преклонного возраста, спрятавшихся в ускорителях частиц, а основная теория S-матрицы, теория струн, не изучается. правильно объяснено и остается совершенно загадочным даже для большинства физиков. Для этого было несколько веских причин — некоторые специалисты по S-матрице говорили глупости о непротиворечивости квантовой теории поля — но, честно говоря, специалисты по квантовой теории поля говорили такие же глупости о теории S-матрицы.

Эти эвристические аргументы были выдвинуты Вайнбергом в 1960-х годах, что убедило его в том, что теория S-матрицы является тупиковой, или, скорее, показало, что она является тавтологическим синонимом квантовой теории поля. Вайнберг был мотивирован моделями пион-нуклонных взаимодействий, которые были горячей темой S-матрицы в начале 1960-х годов. Решением проблемы являются модели нарушения киральной симметрии пионного конденсата, а это эффективные теории поля.

Опираясь на этот результат, Вайнберг пришел к убеждению, что единственным реальным решением S-матрицы является теория поля некоторых частиц со спином. Он все еще говорит это время от времени, но это совершенно неправильно . Самая снисходительная интерпретация состоит в том, что каждая S-матрица имеет предел теории поля, когда все частицы, кроме конечного числа, разделяются, но это тоже неверно (возьмем небольшую теорию струн). Теория струн существует, и существуют S-матрицы, не являющиеся теоретико-полевыми, а именно все матрицы в теории струн, включая маленькую теорию струн в (5+1)d, которая не является гравитационной.

индексы Лоренца

Джеймс комментирует:

• Что касается спина, я попытался применить теоретико-групповой подход к антисимметричному тензору, но немного заблудился - разве антисимметричная 2-форма (например) не содержит два поля со спином 1?

Теория групп для антисимметричного тензора проста: он состоит из полей «E» и «B», которые можно превратить в чисто киральные представления E+iB, E-iB. Иногда его также называли «шести-вектором», что означает, что E, B образует антисимметричный четырехмерный тензор.

Вы можете сделать это, используя индексы с точками и без точек, если вы понимаете, что теория представления SU (2) лучше всего выполняется в индексах --- см. «Прогревающую» проблему в этом ответе: Математически, что такое цветовой заряд?

В КТП Шварца и стандартной модели есть потрясающее объяснение, стр. 153.

Отсутствие безмассовых частиц со спином > 2 является следствием малой групповой инвариантности и сохранения заряда.

Для безмассовых частиц можно взять мягкий предел в элементах матрицы рассеяния

Лоренц-инвариантность подразумевает, что номера матриц должны быть одинаковыми в разных системах отсчета, но поляризации, конечно, не обязательно должны быть одинаковыми.

Шварц также заканчивает тем, что показывает, что безмассовые частицы со спином 2 подразумевают, что гравитация универсальна.

Для безмассового спина 3 мы получаем

Сумма «заряда, умноженного на энергию в квадрате» (для нулевой составляющей импульса 4) входящих частиц равняется тому же, что и вылетающих.

Это похоже на сохранение заряда, только мы также умножаем на сумму квадратов энергии.

Это условие слишком ограничивает, чтобы добиться чего-либо, если только заряды не равны 0.

Следует отметить, что МАССИВНЫЕ частицы со спином > 2 существуют.

В основном для безмассовых частиц:

1. Спин 1 => сохранение заряда
2. Спин 2 => гравитация универсальна (входящие и исходящие заряды равны для всех частиц при взаимодействии
3. Спин 3 => заряды = 0

Этот аргумент был обнаружен Вайнбергом еще в 60-х годах, и он просто невероятен.