Почему в гамме семь (или пять) нот? Почему не шесть?

Я думаю, что ваш вопрос в основном касается выбранной нотации для западной системы, на которую большинство ответов на самом деле не обращались.

Нотация, которую мы имеем, на самом деле довольно естественна и логична по простой причине: в западной системе есть двенадцать различных нот, но только часть из них — на самом деле семь — используются в данном звукоряде, таком как мажор. шкала.

Давайте использовать отдельные полутона в качестве основы для обозначения, как вы предлагаете; Итак, скажем, нота A по-прежнему обозначается буквой A, но теперь A# (или Bb) обозначается буквой B, а затем остальные ноты — C, D, E, F, G, H, I, J, K и л (всего двенадцать).

Я понимаю, почему вы хотите это сделать; он удаляет синонимы. Но какой ценой? Как теперь выглядит настоящий ключ? Возьмем, к примеру, до мажор. В новой системе обозначений используются ноты D, F, H, I, K, A, C. Это сбивает с толку и трудно запоминается. Сравните с до мажор в обычной нотации: C, D, E, F, G, A, B. Он просто циклически повторяет семь букв.

А другие ключи? Давайте возьмем фа мажор в качестве другого примера. Я не буду снова записывать все это в новых обозначениях, потому что вы просто получите еще один запутанный список букв, но в обычных обозначениях это F, G, A, Bb, C, D, E.

Надеюсь, теперь вы видите преимущества этого обозначения: легко думать о каждой тональности, потому что, игнорируя знаки альтерации (т. е. бемоль на си), они просто циклически проходят наши семь букв.

Вы теряете уникальность названий нот — хотя на самом деле это не совсем так на практике, например, вы бы никогда не назвали Bb «A#», говоря о мажорной тональности F — и полезность этой особенности нотации намного перевешивает эту минорную проблема.

Вы можете делить октаву как хотите, но оказывается, что делать то, что вы предлагаете, на самом деле не получается хорошо звучащая музыка, по крайней мере, для наших западных ушей.

Все дело в обертонах и приятных соотношениях высоты тона. Интервал звучит для нас созвучно, когда соотношение частот математически просто. Это приводит к тому, что формы сигналов выравниваются и создают конструктивную интерференцию.

Если я возьму C в качестве основы для построения серии обертонов, я быстро обнаружу, что G и E имеют простые соотношения (3:1 и 5:1, а сдвигая октавы, чтобы сблизить их, 3:2 и 5: 4). Сложите две квинты и опустите октаву, чтобы получить D = 9:8, и сдвиньте квинту вниз и октаву вверх, чтобы создать F = 4:3. Теперь у нас есть начало гаммы: CDEFG, но ноты расположены неравномерно (EF примерно в два раза короче остальных). Это начало пифагорейской настройки, и различные способы построения оставшихся нот мажорной гаммы и заполнения пробелов приводят к огромному количеству настроек, основанных на пропорциях.

Вкратце: это так, потому что это звучит хорошо. Конечно, в некотором смысле это немного странно, но мы не хотим заставлять форму искусства соответствовать какому-то понятию математической простоты.

Причина в том, что деление октавы на 12 нот звучит лучше всего по очень математической причине! Частота каждого полутона на 2 ^1/12 от его соседей.

Note    C × ?   Fraction    Note    C × ?   Fraction
C       1       1/1         C       2       2/1
C♯/D♭   1.059   18/17       B       1.888   17/9
D       1.122   9/8         A♯/B♭   1.782   16/9
D♯/E♭   1.189   6/5         A       1.682   5/3
E       1.260   5/4         G♯/A♭   1.587   8/5
F       1.335   4/3         G       1.498   3/2
F♯/G♭   1.414   7/5         F♯/G♭   1.414   10/7
G       1.498   3/2         F       1.335   4/3
G♯/A♭   1.587   8/5         E       1.260   5/4
A       1.682   5/3         D♯/E♭   1.189   6/5
A♯/B♭   1.782   16/9        D       1.122   9/8
B       1.888   17/9        C♯/D♭   1.059   18/17
C       2       2/1         C       1       1/1

Обратите внимание, что каждая дробь в правой части (по убыванию) почти обратна левой части (по возрастанию)? Разница в том, что одно из чисел каждый раз удваивается или уменьшается вдвое. Чем меньше эти два числа и чем меньше разница между ними, тем лучше они звучат для нас. Это связано с тем, что части сигналов, которые они производят, очень часто совпадают.

Когда пики часто совпадают, они образуют аккорд или согласие. Когда пики редко совпадают, они диссонируют и звук неприятный! Таким образом, мы можем видеть из таблицы, что C и G будут звучать лучше всего вместе, так как C имеет 2 пика на каждые 3 пика, которые есть у G. Следующей лучшей нотой для C является F, которая на самом деле является обратным соотношением C:G. Затем идет E, давая нам аккорд CEG, который, как мы уже знаем, звучит очень красиво! Соотношения для CEG составляют (4:5:6)/4. В минорной гамме у нас есть CE♭-G, что равно 6/(6:5:4).

Либо числитель, либо знаменатель должны иметь возможность умножаться на общее небольшое значение, чтобы две ноты хорошо звучали вместе. Вы можете подумать, что E♭-E будет звучать хорошо, потому что у них обоих есть 5, но это не так. Вы получите либо (24:25)/20, либо 30/(25:24), ни один из этих вариантов не будет звучать хорошо из-за больших чисел, необходимых для нахождения общей частоты.

Большинство ответов здесь, по-видимому, сосредоточены на том, почему в западной музыке мы остановились на семинотной шкале.

Это большая область исследований; однако стоит отметить, что каким бы ни был ответ на этот вопрос, семинотная шкала является принципиально произвольным продуктом западной культуры .

Диссонанс и гармония культурно относительны. Идея октавы появляется почти в каждом обществе; однако способ разделения октавы и приятные комбинации частот полностью зависят от культуры.

«Строго говоря, нет структурных характеристик, выявленных во всех известных музыкальных системах». - http://www.academia.edu/10684651/Cross-Cultural_Perspectives_on_Music_and_Musicality

Поэтому я бы сказал, что, хотя другие ответы в основном верны в определении причин, по которым мы используем шкалу из семи нот, следует помнить, что это в основном культурные и исторические причины, а не биологические или математические причины.

Изменить: просто хотел устранить неоднозначность на основе комментариев. Я имею в виду словарное определение «гармонии», которое представляет собой «комбинацию различных музыкальных нот, сыгранных или спетых одновременно для создания приятного звука» — http://merriam-webster.com/dictionary/harmony . Это определение не связано с какой-либо конкретной математической взаимосвязью или созвучием между нотами: «Гармония» просто означает, что результирующий звук приятен слушателю.

Ответ на вопрос «была ли диатоническая гамма разработана для облегчения игры на фортепиано» однозначно «нет», потому что диатоническая гамма предшествует изобретению фортепиано на несколько тысяч лет.

Помните, что на протяжении большей части истории музыки ее не играли на клавишных инструментах. Играли на духовых или струнных инструментах. Если вы хотите увидеть инструменты, на которых четко выложена хроматическая гамма, посмотрите на гриф любой гитары, укулеле или другого ладового струнного инструмента.

Ответ на вопрос «почему до-диез энгармонична с ре-бемоль» заключается в том, что это очень удобно. Как отмечалось в других ответах, фундаментальные отношения в музыке - это соотношения вибраций 2: 1 или 3: 2. Но невозможно сделать любую комбинацию соотношений 3:2, которая бы работала на соотношение 2:1! Что мы делаем тогда, так это выбираем двенадцать нот, каждая из которых находится в отношении друг к другу двенадцатого корня из двух; это число можно возвести в целую степень, что дает результат, очень близкий к 3:2. Я написал серию статей об этом десять лет назад (начнем снизу).

Ответ на ваш вопрос: «Можем ли мы поставить черную клавишу между каждой белой клавишей на пианино?» да, и эта аранжировка будет иметь несколько приятных свойств, включая упрощение транспонирования на фортепиано (на любое количество полных тонов; транспонирование полутонов в этом макете сложно). Традиционная аранжировка фортепианной клавиатуры не позволяет даже опытным пианистам сыграть произведение, известное в одной тональности, в другой тональности, скажем, в соответствии с диапазоном конкретного певца. Статья Википедии об изоморфных клавиатурах может вас заинтересовать.

Вам также может быть интересно изучить раскладку клавиш баяна.

Было бы интересно построить маленькое пианино или орган с предложенной вами раскладкой клавиатуры и научиться играть на нем гаммы и аккорды. Если я когда-нибудь соберу клавиатуру, я попробую и отчитаюсь.

Ответ на ваш вопрос: «Почему бы просто не подниматься каждый раз на целые тона и не иметь шкалу из шести нот?» is: Если хочешь, то иди вперед и играй такую ​​музыку. Если вы смотрите фильм, снятый в середине 20-го века, и персонаж внезапно попадает в последовательность сновидений, вероятность того, что музыкальное сопровождение использует именно тот масштаб, который вы описываете, весьма прилична. Музыка, написанная в этой гамме, может иметь тревожное и сказочное качество, по крайней мере, для людей, привыкших слушать западную музыку.

Глубокой причины нет. В западной «народной музыке» часто использовались только 5-нотные гаммы (примерно CDEGA в современных обозначениях). Песня "Amazing Grace" - хорошо известный пример.

Были эксперименты с большим количеством нот на октаву — 19, 31 и 43 работают довольно хорошо. Люди создали игровые клавиатуры для тех и других систем. На http://en.wikipedia.org/wiki/Enharmonic_keyboard есть несколько изображений .

Незападная музыка следует другим правилам. Арабские гаммы используют 24 равных деления на октаву. Турецкие гаммы делят каждый тон на 9 равных частей, но не используют все 54 ноты в одной гамме. Яванский гамелан использует две группы инструментов, настроенных на разные гаммы с 5 и 7 нотами, обе отличаются от любых нот в западной гамме.

Рационализация западных гамм задним числом с использованием «просто интонационных» интервалов, таких как 3: 2 и 4: 3, интересна (и впервые была сделана по крайней мере 2500 лет назад), но, учитывая то, что делает остальной мир, я считаю, что он должен был признать, что есть что-нибудь "фундаментальное" в этом. Некоторые очень старые европейские монофонические инструменты не играют даже «октав», настроенных в соотношении 2:1 — например, шотландская волынка, хотя некоторые современные настроены в равной темперации.

На самом деле, даже пианино не настраивается математически равным темпераментом — погуглите «растянутая настройка».

Существует шкала, полностью использующая тона — она называется шкалой целых тонов. Так же, как есть шкала с использованием полутонов - хроматическая шкала.

Следуя вашей идее дополнительных черных клавиш - нет необходимости менять ширину белых, пара дополнительных черных поместится так же, как и между существующими белыми. Проблема в том, что узор при этом теряется, поэтому должны быть другие ориентиры, например, на арфе.

Три музыкальных интервала особенные: октава, чистая квинта и чистая кварта. Если сыграть ноту и ее первые три гармоники, интервалы между этими высотами будут составлять октаву, квинту и кварту. Гаммы, как правило, звучат хорошо, если некоторые из их нот имеют интервалы в идеальных или почти идеальных квинтах или четвертях между ними. Чистая квинта очень близка к 7/12 октавы, а чистая кварта очень близка к 5/12 октавы. Поскольку это нечетные подразделения, невозможно разделить октаву менее чем на двенадцать примерно равных частей и содержать пару частей, разделенных идеальной квартой или квинтой.

Поскольку октава — это чистая квинта плюс чистая кварта, а чистая квинта больше чистой кварты, имеет смысл, что между двумя высотами, разделенными чистой квинтой, должно быть больше нот, чем остальных нот в октаве, которые разделены совершенной четвертью. Однако, если подразделения не составляют примерно половину размера разницы между чистой квартой и квинтой, нет смысла в том, чтобы в квинте было на две ноты больше, чем в четвертой. Если количество нот в квинте на единицу больше, чем в четвертой, это означает, что общее количество нот будет нечетным.

Самой сильной мотивацией для шкалы ABCDEFGA является СИСТЕМА АККОРДОВ, которые составляют мажорную тональность. Для тональности до-мажор основной аккорд до дает нам ноты CEGC. Связанные с ним аккорды: фа-мажор, состоящий из FAC, и соль-мажор, состоящий из GBD. Собрав все вместе, мы получим ноты CDEFGABC, которые представляют собой белые ноты на фортепиано. То же самое можно сделать для любой другой тональности, и постепенное использование каждой из белых нот для формирования системы мажорных аккордов для этой тональности мотивирует все ЧЕРНЫЕ ноты на фортепиано. Как уже было сказано, это принципиально вопрос определения очень конкретного частотного соотношения (4-5-6-8) как максимально приятного для наших ЗАПАДНЫХ и ЕВРОПЕЙСКИХ ушей. Учитывая это, все дело в системе аккордов для тональности.

Пианино должно было измениться, чтобы между каждой белой клавишей были черные клавиши.

Это называется клавиатура Янко. Они не набрали оборотов, необходимых для того, чтобы стать популярными в значительном количестве. Вариант для аккордеона - «система Бейройтера» . Опять же, они не получили значительного распространения по сравнению с ныне распространенным «хроматическим баяном», в котором для равномерного расположения полутонов используются 3, а не 2 неизбыточных ряда (для облегчения аппликатуры и транспонирования есть дополнительные 0-3). избыточные ряды, причем 2 избыточных ряда, всего 5, являются наиболее распространенным вариантом в настоящее время).

Нет ничего нового под луной...

Если переформулировать математическую причину по-другому: два звука звучат гармонично, если они имеют много общих обертонов. Для одномерных осцилляторов (таких как струнные или флейты, но не барабаны, например) обертоны возникают при целых кратных базовой частоте, поэтому гармония возникает, когда частное базовых частот представляет собой дробь с очень низкими числителем и знаменателем. Среди «лучших» таких дробей 1/2 и 1/3 (или 2/3). Следовательно, должно быть легко играть ноты с таким соотношением, т. е. переход на определенное количество клавиш вправо должен поднять нас на одну октаву (или одну квинту) вверх. Нельзя выполнить оба требования одновременно (по крайней мере, с конечным числом ключей), поэтому приходится полагаться на приближения.

Математически нам нужны рациональные приближения к log 3/log 2, и наилучшие такие приближения находятся путем исследования непрерывной дроби для этого числа, которое равно

log 3/log 2 =1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(2+1/(3+1/(1+1/5+...))))) )))

Наилучшие приближения получаются путем разрезания этой бесконечно длинной непрерывной дроби, что дает нам приближения

1, 2/1, 8/5, 19/12, 65/41, 84/53, 485/306, ...

Наиболее интересным приближением является 19/12, потому что оно приводит к нашим 12 полутонам. Давайте попробуем: мы начинаем со случайной частоты, скажем, 200 Гц, и многократно умножаем ее на 3, всегда делясь на 2, когда мы превышаем 400 Гц. Проделав это двенадцать раз, мы получим (приблизительно)

200, 300, 225, 337,5, 253,1, 379,7, 284,8, 213,6, 320,4, 240,3, 360,4, 270,3, (202,7)

и если мы для простоты согласимся, что 202,7 достаточно близко к 200, с которых мы начали, то это и есть наша шкала (несортированная).

Предыдущая аппроксимация 8/5 привела бы к меньшему масштабу, но потребовала бы от нас согласия с тем, что 379,7 составляет приблизительно 400. С другой стороны, следующая аппроксимация 65/41 просто требует слишком много клавиш на нашем пианино.

Я пытаюсь объяснить на своем плохом английском.

Вам нужно выполнить два условия, чтобы получить то, что мы называем «мажорной гаммой».

1) ПЕРВОЕ УСЛОВИЕ: ГАРМОНИЧЕСКОЕ СОЕДИНЕНИЕ

Самое сильное созвучие двух разных нот дает «квинта», например расстояние между C и G (CDEFG - пять нот друг от друга).

Вы можете создать «цикл квинт», цепочку нот, в которой каждая нота отдалена на квинту. Но позвольте мне начать с Gb, только для этого примера:

Gb Db Ab Eb Bb FCGDAEB

Как видите, все ноты гаммы до мажор расположены справа. Таким образом, они связаны в сильном пути.

2) ВТОРОЕ УСЛОВИЕ: РАССТОЯНИЕ

Мы можем представить октаву в виде двенадцатиугольника, где каждая сторона представляет собой полутон, отдельную ноту.

Теперь попробуйте поставить семь точек на вершине двенадцатиугольника на максимально возможном расстоянии. У вас получится та же самая конфигурация мажорной гаммы: WWHWWWH (как вам сказала жена).

Итак, причина, по которой мажорная гамма (и все ее производные) состоит из семи нот, заключается в том, что она:

«ШКАЛА, СОСТАВЛЯЕМАЯ ИЗ ОПРЕДЕЛЕННОГО ЧИСЛА НОТЫ, СОЕДИНЕННЫХ ИНТЕРВАЛОМ В КЯПНЫЕ И РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ОКТАВЕ»

Точно так же вы получите пентатоническую гамму, более расплывчатую, чем мажорная.

Я думаю, что «произвольный» - правильный ответ. Я подозреваю, что приятные тона и интервалы существовали задолго до появления гамм, тональностей и других теорий. И в человеческом организме есть что-то фундаментальное, что позволяет нам наслаждаться музыкой. Посмотрите, сколько великих (не только хороших) музыкантов не читают музыку. Затем была создана какая-то смехотворно сложная теория, которая соответствовала действительности. Вот кое-что для рассмотрения: предположим, что нотоносец скрипичного ключа и нотоносец базового ключа в фортепианной музыке были соединены двумя нотами — средней до и «средней ля». Тогда ноты в обоих нотоносцах будут иметь одинаковые имена — нотоносец басового ключа будет читается как e,f,g,a,b,c,d,f, то же, что и скрипичный ключ. Это сократит сложность вдвое. Удачи в изменении этого.

Клавиши пианино должны быть одинаковой ширины, иначе играть на пианино будет невозможно. Это связано с тем, как наши мышцы учатся нажимать на клавиши. Если бы некоторые клавиши были шире, чем другие, чтобы вместить черные клавиши повсюду, это сделало бы невозможной игру на пианино. Мы ударяем по клавишам пианино разными пальцами в разное время, это совсем не похоже на набор текста на клавиатуре компьютера. Мышечная память диктовала бы нажимать клавиши определенным образом, но когда клавиша шире, все это больше не будет работать, так как в разное время придется приспосабливаться к разной ширине... что-то вроде рулевого колеса. на вашем автомобиле рулить с разной скоростью случайным образом в зависимости от того, на какой полосе какого шоссе вы находитесь.

Нынешняя система 2-х и 3-х черных клавиш прекрасно работает - она ​​помогает нам видеть все сразу.

А нынешняя система на самом деле очень проста - если подумать, то нужно выучить всего 12 нот: 5 черных клавиш и 7 белых. Потом все повторяется сначала. Теперь, что касается того, как это написано в нотоносце, это немного сложнее, но это совсем другой разговор, и, честно говоря, у меня тоже есть некоторые проблемы с этим... (не позволяйте моей жене-пианистке посмотри это :) )