Сколько времени мне понадобится, чтобы добраться до далекой звезды?

Начните с рассмотрения того, что видят люди, наблюдающие за вами с Земли. Ничто не может двигаться быстрее скорости света,$c$, поэтому быстрее всего вы могли бы добраться до Kepler 186f, если бы вы путешествовали на$c$в этом случае это заняло бы 490 лет. На практике это займет больше времени, потому что вы должны разгоняться из состояния покоя, когда покидаете Землю, и снова замедляться до полной остановки, когда доберетесь до пункта назначения.

Пока это не очень интересно. Что делает проблему интересной, так это то, что часы на быстро движущихся объектах идут медленно из-за замедления времени . Если бы вы могли путешествовать со скоростью, близкой к скорости света, время, которое пройдет для вас, будет меньше 490 лет, а на самом деле может быть намного меньше, как мы увидим ниже.

Сначала давайте возьмем простой случай, когда вы путешествуете с некоторой постоянной скоростью.$v$, и мы не будем беспокоиться о том, как вы ускорились до$v$или как вы собираетесь замедлить снова. Мы назовем расстояние до звезды$d$. Для людей, наблюдающих с Земли, затраченное время равно пройденному вами расстоянию, деленному на вашу скорость:

$$t = \frac{d}{v}$$

Таким образом, если расстояние составляет 490 световых лет, и вы путешествуете со скоростью света, время, затраченное на это, составляет всего 490 лет. Но сколько времени вы бы измерили на своих наручных часах? Для правильного расчета нужно использовать преобразования Лоренца , но на самом деле ответ оказывается очень простым. Время, которое вы измеряете,$\tau$, дан кем-то:

$$\tau = \frac{t}{\gamma}$$

куда$t$время измеряется на Земле и$\gamma$является фактором Лоренца и определяется как:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}$$

Или, если вы хотите, чтобы все выражение было записано полностью, время, которое вы измеряете, равно:

$$\tau = \frac{d}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Чтобы дать вам представление об этом, я сделал расчет для путешествия в 490 световых лет к Kepler 186f и нарисовал график зависимости времени, которое вы измеряете, от вашей скорости:

Синяя линия — это время в пути, измеренное на Земле, поэтому оно равно 490 годам.$v \rightarrow c$. Красная линия — это время, измеренное на ваших наручных часах, которое стремится к нулю, когда$v \rightarrow c$.

Но это не очень реалистично, поскольку игнорирует ускорение и замедление. Предположим, вместо этого вы проходите половину пути к звезде с постоянным ускорением, затем переворачиваетесь и проходите половину пути с постоянным замедлением. Это позволяет вам начинать с отдыха и заканчивать в состоянии покоя, а также вы получаете приятную искусственную гравитацию во время поездки. Но как рассчитать замедление времени для поездки с ускорением?

Детали расчета приведены в главе 6 книги « Гравитация» Мизнера, Торна и Уилера . Я не буду воспроизводить расчет здесь, потому что он на удивление скучный. Вы решаете пару одновременных уравнений, чтобы получить дифференциальные уравнения для времени,$t$, и расстояние,$x$, и вы решаете эти два дифференциальных уравнения, чтобы получить:

$$t = \frac{c}{a} \sinh\left(\frac{a\tau}{c}\right) \tag{1}$$

$$x = \frac{c^2}{a} \left(\cosh\left(\frac{a\tau}{c} \right) – 1 \right) \tag{2}$$

В этих уравнениях$\tau$время измеряется на ваших наручных часах,$t$время, измеряемое наблюдателями на Земле и$x$это расстояние, пройденное наблюдателями на Земле. Времена$t$а также$\tau$начните с нуля в тот момент, когда вы начнете ускоряться и покинете Землю. Окончательно$a$ваше постоянное ускорение. Обратите внимание, что$a$это ускорение, которое вы измеряете, т.е. это ускорение, которое показывает акселерометр, который вы держите, когда сидите в ракете.

Чтобы сделать расчет, например, для полета на Кеплер 186f, вы берете первую половину пути, пока ракета разгоняется, и устанавливаете$x$на это расстояние. Итак, для Кеплера 186f$x = 245$световых лет. Затем вы решаете уравнение (2), чтобы получить время, прошедшее с ракеты.$\tau$, и, наконец, подставьте это в уравнение (1), чтобы получить прошедшее время на Земле. Это время для половины пути, так что просто удвойте его, чтобы получить время для всего пути. Я сделал это для диапазона ускорений, чтобы получить этот график:

Опять же, синяя линия — это время, измеренное на Земле, а красная линия — ваше время. При ускорении всего в 0,1 g время в пути уже сократилось до 76 лет (что вполне выполнимо за одну жизнь), а при более удобном ускорении в 1 g время в пути составляет чуть более 12 лет.

Поскольку значения не так легко прочитать на графике, вот некоторые репрезентативные значения:

$$\begin{matrix} a (/g) & \tau (/\text{years}) & t (/\text{years}) \\ 0.01 & 374.9 & 655.9 \\ 0.1 & 76.8 & 509.0 \\ 1 & 12.1 & 491.9 \\ 10 & 1.7 & 490.2 \end{matrix}$$

Сноски для тех, кто не ботан

Предполагая, что у вас есть более чем случайный интерес к физике (зачем бы вам еще это читать!), есть еще много интересного об ускоренном движении. Например, вы можете задаться вопросом, как космический корабль, разгоняющийся до 1 g, может пройти 490 световых лет за 12,1 года, если ничто не может двигаться быстрее света. Ответ заключается в том, что космический корабль не пролетает 490 световых лет — лоренцево сокращение , вызванное его высокой скоростью, означает, что он пролетает гораздо меньшее расстояние.

У нас есть приведенные выше уравнения для расстояния и времени, и вы можете объединить их, чтобы определить скорость как функцию времени космического корабля.$\tau$. Я не буду этого делать, так как это просто алгебра; вместо этого я просто процитирую результат:

$$v = c \tanh \left( \frac{a\tau}{c} \right) \tag{3}$$

Если космический корабль движется со скоростью$v$относительно Земли и звезды назначения, то Земля и звезда движутся со скоростью$v$относительно космического корабля, а экипаж космического корабля видит расстояния, сокращаемые фактором Лоренца:

$$d’ = \frac{d}{\gamma} = d\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Когда космический корабль стартует, его расстояние до звезды составляет 490 световых лет, но по мере его ускорения это расстояние уменьшается по двум причинам. Во-первых (очевидно) корабль движется к звезде, но, во-вторых, лоренцево сокращение уменьшает оставшееся расстояние.

Чтобы рассчитать этот эффект, вы работаете$x(\tau)$используя уравнение (2) для первой половины пути. Поскольку путешествие симметрично, вы можете подумать о половине пути, чтобы получить$x(\tau)$на вторую половину пути. Тогда осталось всего (для Kepler 186f) 490 световых лет -$x$. Рассчитайте скорость, используя уравнение (3) (опять же для первой половины, затем отразите примерно половину пути). Вычислите коэффициент Лоренца из скорости и умножьте его, чтобы получить оставшееся сжатое расстояние. Результаты для ускорения 1g выглядят следующим образом:

Чтобы сделать данные более четкими, я отложил оставшееся расстояние за последнюю половину пути в увеличенном масштабе справа. Разрыв — это место, где космический корабль переключается с ускорения на торможение. График показывает, что пассажиры корабля видят, что расстояние, которое им осталось пройти, быстро сокращается по мере увеличения их скорости. И наоборот, когда они начинают замедляться, лоренцево сокращение уменьшается, и расстояние, которое осталось пройти, уменьшается очень медленно, пока они не окажутся близко к месту назначения.

Вы можете очень быстро добраться до далекой звезды, приблизившись к скорости света... Когда вы сделаете это, количество времени, которое вы испытаете, будет очень небольшим из-за замедления времени.

Конечно, как только вы приземлитесь там и прочитаете местную газету, для остального мира пройдет огромное количество времени, что очень прискорбно :/

В каком-то смысле и для вас прошло столько же «времени», просто вы его не испытали!