user3247992

A и ~ A в логическом доказательстве


Логика Доказательство Философия

В моем классе логики в прошлом семестре мы перешли доказательства с правилами индукции и замены. В нескольких упражнениях я заметил что-то. В каждом из рассматриваемых упражнений все письма в заключении не были ни в одном из помещений. Итак, как я пришел к выводу, что я в конечном итоге получил какое-то письмо сам по себе (например, A) и наоборот (~ A). Затем я добавил полный вывод к дополнению А и использовал ~ А, чтобы доказать это, используя дизъюнктивный силлогизм.

Мой вопрос в том, что если я могу иметь как A, так и A в одном и том же доказательстве, не означает ли это, что аргумент недействителен, потому что существует противоречие?

Вот пример одной из проблем, с которыми я столкнулся, и моего доказательства для нее (что было сказано правильно):

Mauro ALLEGRANZA
Согласно ответу @Nick R, предпосылки противоречия противоречат друг другу, т. Е. Они не являются (совместно) выполнимыми . Рассмотрите 3-е предположение: ~ O ; это верно, когда O ложно . Затем рассмотрим второе предположение: W v O ; если O ложно , для того, чтобы оно было истинным, мы должны иметь W true . Таким образом: O ложно и W истинно . Наконец, рассмотрим 1-ю предпосылку, то есть конъюнктив W ⊃ O : с W true и O false это неверно . Таким образом, невозможно, чтобы все три предпосылки были одновременно истинными .

Mauro ALLEGRANZA
В заключение: неудивительно, что при выводе вы можете найти противоречие : O и ~ O. Это было уже с самого начала ...

Ответы


Nick R

Я считаю, что вы можете ввести в заблуждение понятия справедливости и обоснованности.

Действительный аргумент, безусловно, может вызывать противоречие. Например, аргумент (действительный) reductio ad absurdum , иногда называемый доказательством от противоречия, является допустимым аргументом, который порождает противоречие.

Пример, который вы даете, является допустимым аргументом. Однако тот факт, что он позволяет вам получить противоречие, означает, что это не звук. Можно сделать вывод, что по крайней мере одно из помещений должно быть ложным.

Более подробную информацию см. В статье IEP о достоверности и обоснованности . См. Также эту статью о методе reductio ad absurdum .


Keelan

Действительно, когда помещение противоречит, любое заключение (даже ложное) верно. Это связано с принципом взрыва ( ex falso quodlibet ):

Принцип взрыва ... есть закон классической логики, интуиционистской логики и подобных логических систем, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия.

Мы можем переписать несколько помещений P 1 , P 2 , ..., P n как одно: P = P 1 ∧ .. ∧ P n . Если помещение противоречит друг другу, это соединение будет ложным.

Поэтому для любого Q импликация P → Q верна. Следовательно, любое заключение Q следует из P. Это связано с таблицей истинности импликации, где ложный антецедент всегда дает истинный результат.

В методах доказательства мы абстрагируемся от фактического содержания помещений и выводов. Принцип взрыва применим всякий раз, когда помещение ложно. Итак, также из предпосылки «Франция имеет короля», мы можем получить что угодно, даже если она не имеет формы A ∧ ¬A. Поэтому тот факт, что помещение содержит как A, так и ¬A, является незначительным по отношению к методу доказательства и, следовательно, относительно справедливости аргумента.

user21820
Хм, ладно, я понимаю, что ты говоришь; извините, я неверно истолковал ваш ответ.

Смотри также