Амплитуды перехода

Операторы в картине взаимодействия следуют свободному уравнению движения. Таким образом, мы можем выразить поле через$V_I(t)$(сейчас я опускаю индекс) с точки зрения операторов создания и уничтожения свободных QHO, т.е.

$$\begin{equation} V(t) = \frac{f(t)}{\sqrt{2m}} \left( a(t) + a^{\dagger}(t) \right). \end{equation}$$ Начальное состояние n возбуждений есть $$\begin{equation} \vert n \rangle = \frac{\left(a^\dagger\right)^n}{\sqrt{n!}}\vert 0 \rangle. \end{equation}$$ Насколько я понимаю ваш вопрос, начальное состояние подготавливается до начала движения, т.е.$a$здесь также оператор интерактивной картинки, но на время$-\infty$. Тогда ваше выражение становится $$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{n!}} \sum_{\alpha = 0}^{\infty} \frac{(-i)^\alpha}{\alpha!(2m)^{\alpha/2}} \int \textrm{d}t_1 ... \int \textrm{d}t_\alpha f(t_1)...f(t_\alpha) \langle 0 \vert T \left\{ \left( a(t_1) + a^{\dagger}(t_1) \right) ... \left( a(t_\alpha) + a^{\dagger}(t_\alpha) \right) \left(a^\dagger (-\infty)\right)^n \right\} \vert 0 \rangle, \end{equation}$$ где я втянул операторы созидания в бесконечное прошлое во временной порядок. Хитрость заключается в том, чтобы понять, что выживают только члены с равным числом операторов рождения и уничтожения (эволюция во времени в картине взаимодействия сохраняет количество возбуждений). В низшем порядке в$f$, это соответствует$\alpha = n$и поэтому $$\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{(-i)^n}{n!(2m)^{n/2}} \int \textrm{d}t_1 ... \int \textrm{d}t_n f(t_1)...f(t_n) \langle 0 \vert T \left\{ a(t_1) ... a(t_n) \left(a^\dagger (-\infty)\right)^n \right\} \rangle . \end{equation}$$ По теореме Вика выражение в интеграле равно$n!$копии одной и той же диаграммы, т.е. $$\begin{equation} \frac{(-i)^n}{\sqrt{n!}(2m)^{n/2}} \lim_{t'\to-\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \textrm{d}t\ f(t)\ G_0 (t - t') \right]^n, \end{equation}$$ где$G_0 (t - t')$является упорядоченным распространителем теории в свободное время.