![введите описание изображения здесь](https://i.stack.imgur.com/2ZEKT.png)
Выразим возникающий уголя2
и угол отклонениядельта
как функции угла паденияя1
и после этого найдем условие, минимизирующее угол отклонениядельта
.
Из рисунка-01 мы имеем
грехя1грехя′2я′2дельта⟹дельта"="н2н1грехя′1Закон Снелла в точке 1"="н1н2грехя2Закон Снелла в точке 2= А -я′1из треугольника 124"="ю1+ю2= (я1−я′1) + (я2−я′2) =я1+я2−(я′1+я′2)А"="я1+я2− Аиз треугольника 123(01а)(01б)(01с)(01д)
так
я2"=""=""="( 01 б )арксин(н2н1грехя′2)"=""=""="( 01 с )арксин[н2н1грех( А -я′1) ]"=""=""="( 01 а )арксин[н2н1грех( А - арксинус[н1н2грехя1] ) ]"=""="= арксинус[н2н1( грехА1 —(н1н2)2грех2я1−−−−−−−−−−−−−−√− потому чтоАн1н2грехя1) ]"=""="= арксинус( грехА ⋅(н2н1)2−грех2я1−−−−−−−−−−−−−√− потому чтоГрех _я1)
то есть
я2(я1) = арксинус( грехА ⋅(н2н1)2−грех2я1−−−−−−−−−−−−−√− потому чтоГрех _я1)(02)
и из (01d)
дельта(я1) =я1+арксин( грехА ⋅(н2н1)2−грех2я1−−−−−−−−−−−−−√− потому чтоГрех _я1)я2− А(03)
Чтобы найти угол минимального отклонения, начнем с
дельта(я1) =я1+арксин[н2н1грехя′2]я2− А(04)
и так
д δ1гя1"=""=""=""="( 01 а )"=""=""="1 +н2н1потому чтоя′21 —(н2н1)2грех2я′2−−−−−−−−−−−−−−√гя′2гя11 +н2н1потому чтоя′21 —(н2н1)2грех2я′2−−−−−−−−−−−−−−√н1н2потому чтоя11 —(н1н2)2грех2я1−−−−−−−−−−−−−−√1 +потому чтоя′2⋅ потому чтоя11 —(н2н1)2грех2я′2−−−−−−−−−−−−−−√1 —(н1н2)2грех2я1−−−−−−−−−−−−−−√
то есть
д δ1гя1= 1 +потому чтоя′2⋅ потому чтоя11 —(н2н1)2грех2я′2−−−−−−−−−−−−−−√1 —(н2н1)2грех2я′2−−−−−−−−−−−−−−√1 —(н1н2)2грех2я1−−−−−−−−−−−−−−√(05)
Сейчас
д δ1гя1потому чтоя′2⋅ потому чтоя1потому что2я′2⋅потому что2я1( 1 -грех2я′2) ⋅ ( 1 -грех2я1)грех2я1= 0⟹= -1 —(н2н1)2грех2я′2−−−−−−−−−−−−−−√1 —(н1н2)2грех2я1−−−−−−−−−−−−−−√⟹= [ 1 -(н2н1)2грех2я′2][ 1 -(н1н2)2грех2я1]⟹= [ 1 -(н2н1)2грех2я′2][ 1 -(н1н2)2грех2я1]⟹"="(н2н1)2грех2я′2"=""=""="( 01 б )грех2я2(06)
так
грех2я1"="грех2я2(07)
С
я1,я2∈ [ 0 , π/ 2]
условие предельного угла отклонения
я1"="я*"="я2(08)
Но потом
я′1"="я′2(09)
так из (01c)
я′1"="А2"="я′2(10)
Из (01а)
я*= арксинус[ (н2н1) грех(А2) ](11)
Наконец, для минимального угла отклонения, который мы имеем, см. (01d),
дельта*= 2 ⋅я*− A = 2 ⋅ arcsin[ (н2н1) грех(А2) ] - А(12)
Из (12) показатель преломления материала призмы относительно окружающего материала может быть выражен как функция угла призмы
А
и минимальный угол отклонения
дельта*
(н2н1) =грех(А +дельта*2)грех(А2)(13)
Числовой пример
![введите описание изображения здесь](https://i.stack.imgur.com/V8mo4.png)
Позволять
А =60о,н1"=" 1,00,н2= 1,50(14)
Из (11)
я*= арксинус[ (1,501,00) грех(60о2) ] = арксинус( 0,75 ) =48,59о(15)
Из (12)
дельта*= 2 ⋅я*− А = 2 ⋅48,59о−60о"="37.18о(16)
Связанный: Почему график угла отклонения в призме не имеет симметрии? .
Сандеш Калантре
Фробениус