Быстрее, чем легкие галактики/скопления?

Вычисление скорости было расстоянием*(изменение угла). Однако это не принимает во внимание изменение временной задержки света: мы видим его ускоренным, потому что временная задержка уменьшается, как в телевизионной записи, где вы быстро перематываете вперед, постепенно приближаясь к реальному времени. К счастью, все, что нам нужно сделать, чтобы рассчитать реальную скорость, — это учесть временную задержку, никакой странной относительности не требуется.

Предположим, что далекий объект приближается на$0.8c$и имеет поперечную скорость$0.25c$(общая скорость$0.84c$). Он испускает вспышку света (в нашем кадре) в момент$t$и$t+5$секунды. Это$d$световые секунды от нас вовремя$t$и$d-4$в$t+5$. С учетом временной задержки света мы видим вспышки во времени$t+d$и$t+5+(d-4) = t+d+1$; мы видим только их$1$секунда друг от друга. В тех$5$секунд он переместился в поперечном направлении на расстояние$5\times0.25 = 1.25$световые секунды. Поскольку казалось, что он движется$1.25$световые секунды в$1$во-вторых, мы видим видимое сверхсветовое движение.

На этот вопрос уже есть два хороших ответа, но мне нужен был повод, чтобы выучить тикз, так что вот мой ответ.

Эта «поперечная» скорость может быть выше скорости света.$c$если объект приближается к вам достаточно быстро. Чтобы увидеть, как это работает, посмотрите на диаграмму ниже.

Здесь объект движется со скоростью$\beta c$, но он не движется перпендикулярно линии вашего взгляда. Он движется под углом$\theta$к прямой видимости.

Как можно оценить скорость этого объекта? Наивным способом было бы делить наблюдаемое поперечное смещение на наблюдаемую продолжительность времени.

Давайте посмотрим, каковы эти две величины, когда фактическая продолжительность времени равна$T_{\mathrm{actual}}$. За это время объект переместится на фактическое расстояние$v T_{\mathrm{actual}}$. Его кажущееся поперечное смещение будет$d=v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta$.

Какой будет наблюдаемая продолжительность времени? Это не будет$T_{\mathrm{actual}}$потому что лучи света из конечного положения получают фору по сравнению с лучами света из начального положения. Длина этой форы$v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta$. Поскольку свет движется на$c$, это приводит к ускорению времени$v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c$. Именно на столько быстрее, чем "должен" попадает финальный свет. Таким образом, наблюдаемая разница во времени короче фактической разницы во времени на эту величину. Получаем, что наблюдаемая разница во времени равна$T_{\mathrm{observed}} = T_{\mathrm{actual}} - v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c = T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)$.

Тогда наблюдаемая скорость$\frac{v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta}{T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)} =\frac{v \sin \theta}{1 - \frac{v}{c} \cos \theta}$. Подключение$v=\beta c$, получаем, что наблюдаемая скорость равна$c \frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}$. Чтобы получить наблюдаемую скорость больше, чем$c$, нам нужно$\frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}>1$. Сбор$\theta = 45^\circ$, это становится$\frac{\beta } {\sqrt{2}-\beta }>1$. Это неравенство достигается при$\beta > \frac{1}{\sqrt{2}}$, поэтому можно «наблюдать» сверхсветовые скорости.

Отличный ответ @Kevin, я просто перепишу его другими буквами.

Примечание: ниже применяется только классическая механика.

Предположим, что удаленный объект имеет скорость, удовлетворяющую (в единицах, где скорость света$c:=1$)

$$v^2 = v_{\perp}^2+v_{\|}^2<1^2\tag1$$ где $v_{\perp}$обозначает его перпендикулярную (к нашему лучу зрения) скорость и $v_{\|}$его скорость параллельна нашему лучу зрения. Излучает вспышку света (в нашем кадре) временами $t$и $t+\tau.$

Если$d_t$обозначает расстояние до объекта в момент времени$t$, то его расстояние во времени$t+\tau$является

$$d_{t+\tau} = d_t-v_{\|}\tau.$$

Когда свет дойдет до нас?

Свет, излучаемый во время$t$дойдет до нас вовремя

$$t+d_t$$ (по крайней мере, так как его расстояние было $d_t$и ничто не движется быстрее света).

Свет, излучаемый во время$t+\tau$дойдет до нас вовремя

$$t+\tau+d_{t+\tau}$$ но это равно $$t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau).$$

Таким образом, мы увидим две световые вспышки, разделенные временем

$$\Delta t = t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau) - \big[t+d_t\big]\\=\tau\cdot(1-v_{\|}).$$

Во время размера$\tau$, объект переместился на расстояние

$$d_{\perp} = v_{\perp}\cdot \tau,$$ перпендикулярно линии нашего взгляда. Но поскольку мы видим вспышки, появляющиеся со временем $\Delta t$кроме того, мы вычислим (кажущуюся) поперечную скорость объекта, чтобы быть $$v_{\perp}^a(v_\perp,v_\|) = \frac{d_{\perp}}{\Delta t}\\ =\frac{v_{\perp}}{1-v_{\|}}$$ где $v_\perp,v_\|$(в принципе должно) удовлетворять условию $(1).$

Теперь подключите некоторые числа, например$v_\perp=\frac{1}{4}$и$v_\|=\frac{4}{5}$мы получаем

$$v_{\perp}^a(1/4,4/5) = \frac{5}{4}>1.$$ Это больше, чем 1 (т.е. больше, чем скорость света в вакууме $c$) можно интерпретировать как сверхсветовое движение.