Чем отличается LS- и JJ-связь, если обе включают только сложение векторов?

Сложение угловых моментов ассоциативно в том смысле, что сами операторы как операторы одинаковы, т. е. операторы

$$\mathbf J = (\mathbf L_1 + \mathbf L_2) + (\mathbf S_1+\mathbf S_2) = (\mathbf L_1+\mathbf S_1)+(\mathbf L_2+\mathbf S_2)$$ одинаковы. Однако когда мы говорим о добавлении угловых моментов в квантовой механике, мы имеем в виду нечто большее; более конкретно, мы ссылаемся на процесс повторной диагонализации для нахождения собственных состояний оператора полного углового момента, и это не ассоциативная операция.

В конце концов, обе схемы связи LS и JJ имеют одну и ту же конечную цель: получить собственный базис для$J^2$и$J_z$(а также из$L_1^2$,$L_2^2$,$S_1^2$и$S_2^2$), но они достигают большего:

• Связь LS создает совместный собственный базис$J^2$и$J_z$который также является собственным базисом$L^2$и$S^2$.
• Связь JJ создает совместную собственную базу$J^2$и$J_z$который также является собственным базисом$J_1^2$и$J_2^2$.

Причина, по которой это возможно, заключается в том, что$J^2$и$J_z$ездить со всеми$L^2$,$S^2$,$J_1^2$и$J_2^2$. Однако они не возможны одновременно , потому что ни один из$L^2$или$S^2$коммутирует с любым из$J_1^2$и$J_2^2$.

Чтобы увидеть это явно, вы сначала расширяете коммутатор:

$$\begin{align} [L^2,J_1^2] & = \left[ (\mathbf L_1 + \mathbf L_2)^2 , (\mathbf L_1 + \mathbf S_1)^2 \right] \\ & = \left[ L_1^2 + L_2^2 + 2\mathbf L_1 \cdot\mathbf L_2, L_1^2 + S_1^2 + 2\mathbf L_1 \cdot\mathbf S_1 \right] \\ & = 4 \left[ \mathbf L_1 \cdot\mathbf L_2, \mathbf L_1 \cdot\mathbf S_1 \right] \\ & = 4 \sum_{k,n} \left[ L_{1,k} L_{2,k}, L_{1,n} S_{1,n} \right] \\ & = 4 \sum_{k,n} \left[ L_{1,k}, L_{1,n} \right]L_{2,k} S_{1,n} , \end{align}$$ и вот загвоздка: каждый из этих квадратов включает в себя набор терминов, линейных по компонентам $\mathbf L_1$по обе стороны от коммутатора, и они складываются в один коммутатор компонентов $\mathbf L_1$со всеми остальными компонентами $\mathbf L_1$, и этот коммутатор не равен нулю.

(Если вам действительно интересно, полный коммутатор оценивается как$[L^2,J_1^2] = 4 (\mathbf L_2 \times \mathbf S_1) \cdot \mathbf L_1$.)

Итак, что же делать в этой ситуации? Если вы суммируете четыре угловых момента как

$$\mathbf J = \mathbf L_1 + \mathbf L_2 + \mathbf S_1+\mathbf S_2,$$ то, что вам в идеале нужно, - это совместная собственная база

• полный угловой момент$J^2$и один из его компонентов,$J_z$,
• все (квадраты) отдельных угловых моментов,$L_1^2$,$L_2^2$,$S_1^2$и$S_2^2$, а также
• все (квадраты) промежуточных комбинаций, например$L^2$,$S^2$,$J_1^2$и$J_2^2$, а также операторы промежуточной связи , такие как$(\mathbf L+\mathbf S_1)^2$и тому подобное.

Первые две цели вполне достижимы, но, поскольку операторы в третьем пункте не все коммутируют друг с другом, нам нужно выбрать конечное подмножество таких операторов для кодиагонализации с ними.$J^2$и$J_z$. Это выбор, лежащий в основе дихотомии между муфтами LS и JJ.

Последовательность, в которой вы соединяете угловые, упростит вычисление матричных элементов некоторого гамильтониана. Так, например, при построении состояний с хорошим полным угловым моментом$L$, естественно связать вместе индивидуальный угловой момент$\ell_1,\ell_2\ldots$. С другой стороны, для вычисления спин-орбитального члена$\vec \ell\cdot \vec s$, проще всего работать с одночастичными состояниями с хорошей$j$.

Соединение угловых моментов — это не просто сложение векторов . Он включает алгебраические коэффициенты Клебша-Гордана и суммы по промежуточным состояниям. Так, например, при соединении двух$s=1/2$спины, состояния$s=1,m=0$и$s=0,m=0$соответственно

$$\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}\vert \textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle \vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\vert\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle$$ Недостаточно просто «добавить» прогнозы $m_1+m_2$поскольку правильные состояния включают суммы по состояниям отдельных частиц. В более общих случаях, скажем, $\ell_1$и $\ell_2$, коэффициенты перед произведениями не равны и обычно имеют разные знаки.

Ситуация становится еще более сложной с тремя или более частицами, поскольку может быть несколько значений данного полного углового момента или спина. В случае трех спин-$1/2$частицы, например, возможные полные спины равны$3/2, 1/2$и$1/2$снова. Правила объединения состояний и обеспечения их ортогональности неразрешимы с помощью простой векторной модели и требуют использования коэффициентов Клебша-Гордана и Рака.