Численная производная матрицы в зависимости от матрицы вращения

Question

Численная производная матрицы в зависимости от матрицы вращения

исчисление
матрицы
вращения
производные
Математика
многомерное исчисление

Десмонд13

Я хочу вывести матрицу $A$ написать матрицу вращения численно.

Матрица вращения, о которой я говорю, $R_i \in SO(3)$ и это происходит из выбора последовательности углов Эйлера $(1,2,3)$ . Используемые углы - это так называемые углы крена-тангажа-рыскания. $\phi_i,\theta_i,\psi_i$ (или углы Кардана, или углы Тейта-Брайана).

Поэтому:

$R_i(\phi_i,\theta_i,\psi_i)=R_i=R_x(\phi_i)R_y(\theta_i)R_z(\psi_i) \;\;\;\;\;\;(1)$

Если бы мне нужно было вывести матрицу $A$ численно относительно скаляра $\alpha$ Я бы сделал:

$\frac{A(\alpha)-A(\alpha+\delta)}{\delta}\;\;\;\;\;\;(2)$

Вместо этого в моем случае я думал сделать, так как я могу написать матрицу вращения как $R(\omega,\beta)=exp(\hat{\omega}\beta)$ (где $\hat{\omega}$ - кососимметричная матрица, связанная с вектором $\omega \in \mathbb{R}^3$ ):

$\frac{A(R_i)-A(R_i\cdot exp(e_i\delta))}{\delta}\;\;\;\;\;\; \forall i \in\{1,2,3\}\;\;\;\;\;\;(3)$

с $e_1= \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) \;\; , e_2= \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) , e_3= \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right)$

я не уверен, что $(3)$ правильно, и я не уверен, что его знаменатель правильный.

Не могли бы вы мне помочь?

Большое спасибо.

Ответы (2)

Численная производная матрицы в зависимости от матрицы вращения

Джон Алексиу · Answer 1

Если у вас есть последовательность вращений вокруг локальных осей $\mathbf{z}_1$ , $\mathbf{z}_2$ и $\mathbf{z}_3$ с углами $q_1$ , $q_2$ и $q_3$ то у вас есть следующие свойства

\begin{aligned} р & "=" р о т (г_{1}, д_{1}) р о т (г_{2}, д_{2}) р о т (г_{3}, д_{3}) \\ \dot{р} & "=" [ю \times] р \\ ю & "=" г_{1} {\dot{д}}_{1} + р о т (г_{1}, д_{1}) (г_{2} {\dot{д}}_{2} + р о т (г_{2}, д_{2}) г_{3} {\dot{д}}_{3}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathtt{R} &= \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_1,q_1)\mathrm{Rot}(\mathbf{z}_2,q_2) \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_3,q_3) \\ \dot{\mathtt{R}} & = [\boldsymbol{\omega} \times] \mathtt{R} \\ \boldsymbol{\omega} & = \mathbf{z}_1 \dot{q}_1 + \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_1,q_1) \left( \mathbf{z}_2 \dot{q}_2 + \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_2,q_2) \mathbf{z}_3 \dot{q}_3 \right) \end{align}$

_{Обратите внимание $[\omega \times]$ обозначение представляет собой антисимметричную матрицу оператора перекрестного произведения 3x3.}

[(\begin{matrix} Икс \\ у \\ г \end{matrix}) \times] "=" [\begin{matrix} 0 & - г & у \\ г & 0 & - Икс \\ - у & Икс & 0 \end{matrix}]

$[ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \times ] = \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y& x & 0 \end{bmatrix}$

Вы можете легко доказать вышеизложенное с помощью двух вращений, если примете правила о том, как различать векторы, которые перемещаются по вращающимся системам координат: (поиск производной вращающейся системы координат). Расширение до трех оборотов более утомительно, но следует той же логике.

\dot{р} "=" {\dot{р}}_{1} р_{2} р_{3} + р_{1} {\dot{р}}_{2} р_{3} + р_{1} р_{2} {\dot{р}}_{3}

$\dot{\mathtt{R}} = \dot{\rm R}_1 {\rm R}_2 {\rm R}_3 +{\rm R}_1 \dot{\rm R}_2 {\rm R}_3+{\rm R}_1 {\rm R}_2 \dot{\rm R}_3$

Привет, спасибо за ответ, который интересен, но это не то, что я искал. Здесь я явно попросил численный метод для получения производной матрицы, которая является функцией матрицы вращения, которая отличается от того, что вы предлагаете. Вы даете мне способ вычислить аналитическую производную матрицы вращения.
Я могу говорить только об аналитических методах (это то, чему я обучался), поэтому прошу прощения, если этот ответ вам не помог. Надеюсь, вы получите то, о чем просите.

Линн · Answer 2

Градиент, который вы ищете, является тензором 4-го порядка. $,\,{\mathcal F},\,$ который удовлетворяет

\begin{aligned} д А_{я Дж} & "=" Ф_{я Дж к л} д р_{к л} \end{aligned}

$\eqalign{ dA_{ij} &= {\mathcal F}_{ijkl}\,dR_{kl} \cr\cr }$ С

d R

$dR$ имеет 9 независимых элементов, вам нужно вычислить 9 числовых производных

\begin{aligned} \frac{А (р + час Е_{к л}) - А (р)}{час} \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{A(R+hE_{kl})-A(R)}{h} }$ где

E_{k l}

$E_{kl}$ это матрица, которая имеет

(k, l)

$(k,l)$ элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю.

h

$h$ параметр следует выбирать таким образом, чтобы сбалансировать ошибку округления с точностью. Для двойной точности IEEE это около

10^{- 8}

$10^{-8}$

Обновлять

Вот явная версия предлагаемой техники

\begin{aligned} Ф_{я Дж к л} & "=" \frac{А_{я Дж} (р + час Е_{к л}) - А_{я Дж} (р)}{час} \end{aligned}

$\eqalign{ {\mathcal F}_{ijkl} &= \frac{A_{ij}(R+hE_{kl})-A_{ij}(R)}{h} }$

Привет, большое спасибо за ваш ответ, но мне нужно понять его немного лучше. Что $dR_{kl}$ для тебя? и как можно определить $\mathcal{F_{ijkl}}$ ? Спасибо за ваше время
@minidiable Я обновил свой ответ, указав явное обозначение индекса.

Численная производная матрицы в зависимости от матрицы вращения

Десмонд13

Ответы (2)

Джон Алексиу

Десмонд13

Джон Алексиу

Линн

Десмонд13

Линн

В чем геометрическая разница между частной производной и обыкновенной производной?

Производная сложной функции R→Rn×n→RR→Rn×n→R\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n\times n} \to \mathbb{R}

Что это за производная с диагональной матрицей?

Как получить градиент матричного произведения относительно вектора?

Производная второго порядка по функции двух переменных.

Цепное правило для дифференциации дает противоречивые измерения

Почему здесь не работает упрощенный метод проверки дифференцируемости?

Нахождение производной функции с использованием первых принципов

Двойной интеграл между двумя кругами

По графику производной f′(x)f′(x)f'(x) начертить исходную функцию f(x)f(x)f(x) и вторую производную f′′( х)f″(х)f''(х)