Что такое большое ООО для этого суммирования?

Да, ты прав. Если время выполнения, как вы утверждаете $\frac{1}{2}(\sqrt{n} + 1)n$, то это $O(n^{3/2})$(и это на самом деле легко проверить: показав, что $\frac{1}{2}(\sqrt{n}+1)n\cdot n^{-3/2}$стремится к конечному (отличному от нуля) значению, вы покажете, что на самом деле $\frac{1}{2}(\sqrt{n} + 1)n$асимптотичен $n^{3/2}$, или, по определению, $O(n^{3/2})$).

Кстати, если $n$является квадратом, то приведенную выше сумму очень легко вычислить по формуле суммирования Гаусса: $1 + 2 +\cdots +m = (m + 1)/2$. Вы можете сделать это без Mathematica.

И если $n$не квадрат, сумма на самом деле $$\sum_{i=0}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}i\sqrt{n}=\sqrt{n}\sum_{i=0}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}i=\frac12\sqrt{n}{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}({\lfloor\sqrt{n}\rfloor}i+1).$$

По моему опыту, нотация большого O используется как граница, а не как асимптотика. Итак, в этом случае ваш алгоритм $O(n^{3/2})$, но верно и другое: алгоритм $\Theta(n^{3/2})$, и в точном порядке (` $\sim$') $n^{3/2}/2$.

спасибо за ответы. если кто-то хочет оставить ответ, я приму его.