Что такое калибровка в калибровочной теории?

При обычном использовании калибровка - это конкретный выбор или спецификация векторного и скалярного потенциалов. $\mathbf A$а также$\phi$который будет генерировать заданный набор физических силовых полей$\mathbf E$а также$\mathbf B$.

Более конкретно, физическая ситуация определяется электрическими и магнитными полями,$\mathbf E$а также$\mathbf B$. Набор потенциалов$\mathbf A$а также$\phi$генерирует силовые поля, если оно подчиняется уравнениям

$$\begin{align} \mathbf B & =\nabla\times\mathbf A \\ \mathbf E & = -\nabla\phi-\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}. \end{align}$$ Как известно, для данного набора силовых полей потенциалы не уникальны. Калибр – это особое, дополнительное требование к потенциалам. Одним из хороших примеров калибровки является кулоновая калибровка, которая в основном реализуется требованием, чтобы $\mathbf A$также быть нерасходящимися, $$\nabla \cdot\mathbf A=0.$$ «Кулоновская калибровка» относится к набору потенциалов, которые удовлетворяют этому.

Датчики обычно рассматриваются как однозначно определяющие потенциалы. На самом деле это не так, но они склонны указывать потенциалы «уникально с точностью до разумных физических предположений». Калибровка Кулона является хорошим примером этого: калибровочное преобразование к

$$\begin{align} \mathbf A'&=\mathbf A+\nabla \chi(\mathbf r)\\ \phi'&=\phi \end{align}$$ сохраняет физические поля, и если $$\nabla^2 \chi(\mathbf r)=0$$ то он также сохраняет калибровочное условие, что $\nabla \cdot\mathbf A'=0$. Это не очень хорошо для уникальности, потому что есть много гармонических функций, удовлетворяющих вышеуказанному условию. Однако для того, чтобы функция действительно была гармонической во всем пространстве — без исключений и сингулярностей — она должна расходиться на бесконечности, что в большинстве случаев неприятно. Из-за этого, говоря, что $\mathbf A$векторный потенциал в кулоновской калибровке обычно означает, что $\nabla \cdot\mathbf A=0$и что такие термины «бесконечной собственной энергии» были обнулены; обычно это уникальный набор потенциалов в ситуациях, когда энергия самих физических полей не бесконечна.

Стоит отметить, что в определенных ситуациях слово калибровка может быть естественным образом лишено этой двусмысленности. В моей области, физике сильного поля, слова «датчик длины» и «датчик скорости» означают, что полная энергия электрона, взаимодействующего с лазерным полем, в положении$\mathbf r$и с импульсом$\mathbf p$, имеет вид

$$E=\tfrac1{2m}\mathbf p^2-e\mathbf r\cdot \mathbf E$$ а также $$E=\tfrac1{2m}\left(\mathbf p-e\mathbf A\right)^2,$$ соответственно. Для однородного поля (т.е. в «дипольном приближении») две энергии эквивалентны посредством калибровочного преобразования. Однако здесь слово «калибр» совершенно однозначно, за исключением полной постоянной энергии, которой можно очень безопасно пренебречь.

---

Пока по техническим вопросам. Я думаю, однако, что многое из того, что вас беспокоит, — это само слово «датчик», что действительно является странным выбором. В повседневном использовании датчик представляет собой общую форму метра или циферблата. Фраза «калибровочная инвариантность», по-видимому, пришла в физику через немецкий язык, когда Герман Вейль использовал слово «Eichinvarianz», которое в широком смысле означает «масштабная инвариантность» или «калибровочная инвариантность» (в том смысле, что выбор измерительного инструмента (калибровочная инвариантность) ) определяет измеренные физические величины в данной настройке, т.е. определяет масштаб).

Эта инвариантность при изменении масштаба является в точности (частью) (технической) калибровочной инвариантности в общей теории относительности, которая инвариантна относительно преобразований координат.

Обратите внимание, однако, что моим источником для этой истории является Википедия , поэтому, если кто-то может присоединиться к лучшему источнику, это было бы фантастически.

Непрерывные симметрии действия системы, которые являются глобальными , т. е. не зависят от того, где они действуют, по теореме Нётер приводят к сохраняющимся величинам. Например, перевод во времени$t \to t+\epsilon$за$\epsilon \in \mathbb{R}$является глобальным преобразованием и ведет к энергосбережению.

С другой стороны, если действие инвариантно относительно локальных или калибровочных преобразований, зависящих от точки, в которой они действуют, то система обладает избыточностью. Например, в случае,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

который описывает электромагнетизм, где$F_{\mu\nu} = \partial_{[\mu}A_{\nu]}$, у нас есть калибровочная симметрия,

$$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \epsilon(x)$$

поскольку напряженность поля$F$будет то же самое. Чтобы убедиться в этом, выпишите напряженность поля явно:

$$F'_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + \partial_\mu\partial_\nu \epsilon(x) - \partial_\nu\partial_\mu\epsilon(x)=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\nu = F_{\mu\nu}$$

поскольку$[\partial_\mu,\partial_\nu]\epsilon=0$. Итак, если у меня есть система с 4-потенциалом$A_\mu$, мое действие не может отличить его от системы с$A_\mu$отличающийся полной производной$\partial_\mu \epsilon(x)$. Чтобы выйти за рамки вашего вопроса, обратите внимание, что калибровочная симметрия часто позволяет нам упростить нашу проблему. Если мы решим идентифицировать$A_\mu$а также$A'_\mu$как одна и та же система, то для любой$A_\mu$мы всегда можем заставить его удовлетворить,

$$\partial_\mu A^\mu =0$$

выбрав правильный$\epsilon(x)$такой, что$\partial_\mu \partial^\mu \epsilon(x)=-\partial_\mu A^\mu$. Мы называем первое «калибром» или «калибровочным условием». Эта конкретная калибровка принадлежит Лоренцу .