Что такое квантовый эквивалент хаоса в классической системе? (если есть)

Строго говоря, квантового хаоса не существует. Эволюция во времени унитарна, что означает, что небольшие изменения в состоянии не увеличиваются в размерах. Таким образом, чувствительная зависимость от начальных условий, предпосылка хаоса в классической механике, отсутствует в квантовой механике. Более того, в дискретных квантовых системах с конечномерным гильбертовым пространством (случай, изучаемый исключительно в квантовой теории информации) динамика является строго квазипериодической.

С другой стороны, есть предмет, называемый квантовым хаосом. Однако он описывает не то, как квантовая система является хаотической, а то, как распознать, станет ли квантовая система хаотичной в классическом пределе. (Большинство исследований носят исключительно численный характер и имеют очень мало теоретической поддержки.) Подобные исследования могут быть интересны сами по себе, но имеют очень мало отношения к физике, поскольку классический предел на самом деле не подходит для систем, нуждающихся в квантовом описании.

В статье http://mathnt.mat.jhu.edu/zelditch/Preprints/QEM4.pdf Стива Зельдича приводится обзор теоретических результатов по квантовому аналогу классической эргодичности, опять же связанный только с вопросом о том, порождает ли классический предел эргодическую систему.

Открытая проблема 4 на стр. 12 определяет конкретный класс квантовых систем как «квантово однозначно эргодические», если среднее по времени и среднее по пространству отличаются компактным оператором, тогда как классическая эргодичность требует, чтобы они были равны. Но последнее свойство имеет решающее значение для обоснования статистической механики, где макроскопически необходимо усреднить по времени, чтобы система выглядела однородной.

Таким образом, классические эргодические и перемешивающие свойства имеют физическое значение, поскольку они помогают объяснить, почему классическая статистическая механика работает. Но квантовая эргодичность не оказывает той же услуги квантовой статистической механике.

Существует другое, более абстрактное направление исследований, которое перефразирует эргодичность на операторном языке, который имеет физически значимый квантовый аналог, даже далекий от классического режима, хотя и не имеющий прямого динамического отношения. Это представлено, например, в трактате «Методы современной математической физики» Рида и Саймона, в разделах II.5 и VII.4 тома I (с интересными примечаниями на стр.62 и стр.244) и в разделе XIII. .12 тома 4 (с примечаниями, стр. 350 и далее).

В классическом случае можно записать динамику на фазовом пространстве$\Omega$формально в операторной форме, рассматривая операторы$A(t)$который отображает функцию фазового пространства$\psi(z)$к$\psi(z(t))$, где$z(t)$точка, достигнутая из$z$по классической динамике на временном интервале$[0,t]$. Этот оператор сохраняет меру Лиувилля и положительность$\psi$. Таким образом, у нас есть 1-параметрическая группа операторов, следовательно$A(t)=e^{-tH}$для некоторого бесконечно малого генератора$H$аннулирующие постоянные функции. Таким образом, 0 является собственным значением$H$, а по теории Перрона-Фробениуса это наименьшее собственное значение. Динамика эргодична тогда и только тогда, когда 0 — простое собственное значение. Действительно,$H\psi=0$если$U(t)\psi=\psi$для всех$t$если$\psi$постоянна на орбитах.

Это равносильно требованию,$\phi^* A(t)\psi>0$если$\phi,\psi$отличны от нуля и неотрицательны и$t$достаточно велико. Таким образом, можно (и, по существу, Рид/Саймон) назвать 1-параметрическую группу$A(t)$эргодическим, если выполняется это свойство.

Это имеет аналогию в квантовом случае (Рид/Саймон, теорема XIII.44). Место$H$принимается гамильтонианом, который теперь действует только на функции конфигурационного пространства, и для большого класса таких гамильтонианов$A(t)=e^{-tH}$(без привычного$i$, т.е. соответствующие «мнимому времени»$t$) сохраняет положительность. Они доказывают, что эргодичность эквивалентна единственности основного состояния.

Обратите внимание, что классически отсутствие эргодичности часто проявляется в существовании дополнительной сохраняющейся переменной помимо функций энергии. Это распространяется и на квантовый случай, поскольку существование такой дополнительной симметрии делает недействительным канонический ансамбль как единственный равновесный ансамбль. Чтобы иметь равновесие, эта дополнительная сохраняющаяся величина также должна иметь фиксированное значение.

Эти результаты также относятся к конструктивной КТП в 2 измерениях; см. книгу QFT Глимма и Джаффе. Они также обсуждают последствия отсутствия уникальности основного состояния. В квантовой теории поля основным состоянием является состояние вакуума. Если вакуумное состояние не уникально, существуют разные фазы.

Квантовым аналогом эргодического свойства классической системы многих частиц является единственность основного состояния в термодинамическом пределе.

Строгое изложение статистической механики см., например, в одном из томов по математической физике Рида и Саймона.

Хаос в классической механике означает, что система чрезвычайно чувствительна к начальным условиям. Существует множество различных возможных способов развития системы, и она будет точно обратимой во времени после того, как вы проработаете ее так долго, как вы хотите.

Насколько мне известно, в квантовой механике это не может быть обратимым во времени. Квантовая механика описывает все возможные состояния, в которых может находиться квантовая система, в зависимости от того, с каким потенциалом вы начинаете. Если потенциал, с которым вы начинаете, является вашим «начальным» состоянием, тогда вы получите различные возможные состояния, в которых может находиться ваша квантовая система. Вы правы, в КМ очень неясно, что означает хаос!

Я не изучал глубоко зависящую от времени квантовую механику, предупреждаю вас, но из того, что я знаю, если вы позволите волновой функции просто сидеть там и ни с чем не взаимодействовать, то она останется прежней. навсегда!

Это зависит от того, что вы моделируете, и потенциальных возможностей, которые вы рассматриваете. В реальной жизни мы, конечно, знаем, что волновая функция обязательно будет взаимодействовать с каким-то лежащим вокруг потенциалом, и ее волновая функция будет постоянно меняться, и когда вы пытаетесь узнать что-то о квантовой системе, вы тоже меняете ее.

В Классическом Хаосе некоторая система может быть изменена настолько сильно, что она может быть чрезвычайно радикальной по отношению к своему первоначальному состоянию, но что сохраняется, так это то, что ее время обратимо! Взглянув на квантовую систему, она тоже может быть настолько изменена, что сделает ее чрезвычайно радикальной по отношению к своему исходному состоянию. Хотя вы можете заставить квантовую систему вернуться в то же состояние, это не то же самое, что обратимость времени. В заключение, я не думаю, что определение Хаоса может быть применено к QM, я думаю, что оно зарезервировано для классической механики.