Что такое вневременной коррелятор для системы свободных фермионов?

Во-первых, ваше определение ОТОС неверно. Предполагается, что он состоит из статической и расширенной во времени версий одного и того же оператора, поэтому его следует читать$C(t) = - \langle [\hat{V}(t),\hat{V}(0)]^2 \rangle$. Знак минус стал стандартным в этой области.

Понимание этой функции не так уж трудно понять: если$\hat{V}(t)$и$\hat{V}(0)$ездить на все времена, ничего не происходит. Ваш вопрос о случае свободного фермиона можно обобщить на все случаи, когда$\hat{V}$коммутирует с гамильтонианом: ничего не происходит. В этом есть смысл, поскольку если вы ищете что-то, что можно было бы назвать хаосом , то оно не должно возникать при такой тривиальной временной эволюции. Но если ваша временная эволюция достаточно интересна, чтобы предоставить операторам, которые перестают ездить на работу, тогда ваш OTOC начинает выдавать значимые вещи. Было высказано предположение , что скорость роста специальной (импульсной) версии ОТОС должна быть тесно связана с показателями Ляпунова, что оказалось не совсем верным , но достаточно близким в некоторых аспектах. Причина этого постулата относительно импульса-OTOC заключается в том, что при использовании тестовой функции$f$и базис статического положения,

$$\begin{align} [\hat{p}(t), \hat{p}(0) ]f &= -i \hbar \left[ \hat{p}(t) \frac{\partial f}{\partial q(0)} - \frac{\partial}{\partial q(0)}(\hat{p}(t) f) \right] \\ &= (i \hbar f) \frac{\partial \hat{p}(t)}{\partial q(0)} \, , \end{align}$$

так что

$$\begin{align} C(t) &= -\langle [\hat{p}(t), \hat{p}(0) ]^2 \rangle \\ &= \hbar^2 \bigg\langle \left( \frac{\partial \hat{p}(t)}{\partial q(0)} \right)^2 \bigg\rangle \\ &\approx \bigg\langle \left( \frac{\Delta{p}(t)}{\Delta q(0)} \right)^2 \bigg\rangle_{\text{phase space}} \quad (\equiv C_{cl}(t))\, , \end{align}$$

то есть для времен, меньших времени Эренфеста, это приближение должно быть вполне разумным. Теперь, если мы говорим о хаотической карте, это означает, что при небольших отклонениях по позиции мы будем иметь очень большие (экспоненциальные) отклонения по импульсу. Это говорит о том, что после небольшого анализа

$$\begin{align} C_{cl} (t) &\approx (e^{ \Lambda t})^2 \\ \Rightarrow \Lambda &= \lim_{t \to \infty} \lim_{\Delta q(0) \to 0} \frac{1}{2t} \ln \left[ \frac{C_{cl}(t+1)}{C_{cl}(1)} \right] \, . \end{align}$$

Классическое выражение для показателя Ляпунова имеет вид

$$\begin{align} \lambda = \lim_{t \to \infty} \lim_{\delta Z(0) \to 0} \frac{1}{t} \ln \left( \frac{|\delta Z(t)|}{|\delta Z(0)|} \right) \, , \end{align}$$

где$\delta Z$представляет собой разделение между траекториями и$|.|$норма. Обратите внимание, как$\Lambda$и$\lambda$очень похожи. Это мотивирует изучение OTOC в контексте квантового хаоса.