Доказательство незначительного утверждения, связанного с гипотезой о простых числах-близнецах

Вопрос:

Как можно доказать, что целые числа вида н "=" 6 Дж к ± Дж ± к ;   Дж , к е Н * , являются единственными, которые (при умножении на 6 ) соответствуют кратным 6 не между двумя простыми числами? Откуда мы знаем, что не существует других целых чисел, таких, что при их умножении на 6 их произведения тоже не между простыми числами-близнецами?

Контекст:

Несколько лет назад я задал этот вопрос, надеясь, что у кого-нибудь может быть какой-нибудь совет по поводу решения диофантовых уравнений такого рода. Нет такой удачи.

В частности, вопрос связан с поиском целочисленных решений н , Дж , к е Н * к следующему уравнению

н "=" 6 Дж к ± Дж ± к

Поскольку каждая пара простых чисел-близнецов должна иметь кратное 6 между ними несложно показать, что целые числа, н , такой формы соответствуют кратным 6 которые не отмечают пару простых чисел-близнецов, т.е. 6 н + 1 или 6 н − 1 не является простым.

Причина проста: всякий раз, когда кратно 6 делится на целое число, на единицу меньше или на единицу больше, чем какое-либо другое кратное 6 , то существует близкое кратное 6 которое примыкает к кратному тому же числу на единицу меньше или на единицу больше. Например, 30 делится на 5 , так что ни 24 ни 36 может попасть между простыми числами-близнецами, поскольку они соседствуют с 25 и 35 соответственно. Так же, 210 является кратным 6 который не находится между простыми числами-близнецами, поскольку 209 "=" 11 × 19 , а это можно определить по формуле, так как 210 "=" 6 × 35 , 35 "=" 33 + 2 , и 33 является кратным 11 "=" 6 × 2 − 1 .

Другими словами, это уравнение действует как сито, отбирающее кратные 6 которые определенно не соседствуют с простыми числами-близнецами. Таким образом, эта линия рассуждений налагает необходимое условие на любых потенциальных кандидатов в простые близнецы.

Является ли это условие не только необходимым, но и достаточным?

Автор OEIS Джон Перри, похоже, считает, что этого достаточно, поскольку он утверждает здесь , что «6n-1 и 6n+1 являются простыми числами-близнецами, если и только если n не имеет формы 6ab +- a +- b».

Доказательство условного предложения довольно прямолинейно (как я уже объяснял), но обратное мне гораздо менее очевидно.

Как можно доказать, что «если н не в форме 6 а б ± а ± б , затем 6 н − 1 и 6 н + 1 являются простыми числами-близнецами"?

Ответы (1)

Предположим, у нас есть н которое не может быть выражено в виде 6 а б ± а ± б (для всех а , б е Н ).

Теперь предположим 6 н − 1 не является простым, поэтому 6 н − 1 "=" ( 6 а ′ + 1 ) ( 6 б ′ − 1 ) (для некоторых а ′ , б ′ е Н ), что противоречит гипотезе.

ИЛИ предположим 6 н + 1 не является простым, поэтому 6 н + 1 "=" ( 6 а ′ + 1 ) ( 6 б ′ + 1 ) (для некоторых а ′ , б ′ е Н ) или 6 н + 1 "=" ( 6 а ′ − 1 ) ( 6 б ′ − 1 ) (для некоторых а ′ , б ′ е Н ) в любом случае, что противоречит гипотезе.

Если число н которое не может быть выражено в виде 6 а б ± а ± б затем 6 н ± 1 будет простой парой, а простые пары могут быть сгенерированы только н с этим свойством (кроме пары ( 3 , 5 ) ).

6 н − 1 "=" ( 6 а + 1 ) ( 6 б − 1 ) ⟺ н "=" 6 а б − а + б и не все н можно записать так.
По большей части я понимаю аргумент, но не понимаю, почему (например) 6 н − 1 "=" ( 6 а ′ + 1 ) ( 6 б ′ − 1 ) . Почему вы можете сделать столь конкретное заявление о факторах 6 н − 1 ? Насколько я могу судить, единственное, что мы можем сказать наверняка о 6 н − 1 состоит в том, что его можно разложить на произведение двух целых чисел, хотя бы одно из которых простое (и, следовательно, его можно записать в виде 6 а ′ ± 1 ). Откуда мы знаем, что его определенно можно записать как произведение двух чисел, отличных от числа, кратного 6 на 1, так, как вы написали?
Если м "=" 6 н − 1 затем м ≡ 5 мод 6 . Единственный способ пары чисел (по модулю 6), которые будут умножаться, чтобы дать 5 являются 1 & 5 . Так что если М "=" А Б затем А ≡ 1 мод 6 и Б ≡ 5 мод 6 (или наоборот)
Ах, конечно. Это имеет смысл. Спасибо за ответ!
Доказательство незначительного утверждения, связанного с гипотезой о простых числах-близнецах
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v