Доказательство того, что сферическая линза является стигматической

Обычные сферические линзы лишь приблизительно являются стигматиками, т. е. изображение точки-источника само является точкой. Вам необходимо параксиальное приближение, чтобы обеспечить приблизительную стигматизацию и избежать сферической аберрации .

Вы можете увидеть это, поэкспериментировав с плоской границей между двумя разными прозрачными средами, такими как поверхность воды. Используя параксиальное приближение, можно доказать соотношение

$$\frac{n}{HA} = \frac{n'}{HA'}$$ где $n$- показатель преломления среды, в которой объект $A$лежит (например рыба, то $n=1.33$), $H$является ортогональной проекцией $A$на интерфейсе, $A'$это образ и $n'$- показатель преломления среды, в которой наблюдатель думает $A'$есть (например воздух такой $n'=1$). Если рыба $40$см под водой, вы увидите только его изображение $30$см от интерфейса (поэтому трудно поймать рыбу в аквариуме с первого раза).

Поскольку вам нужны сферические интерфейсы для создания объектива, и он даже не работает с плоскими интерфейсами (которые являются частным случаем сферических интерфейсов), это не может быть верно для любого типа сферических линз.

Вот две анимации, которые вы можете попробовать, чтобы увидеть, как работает стигматизм:

• один с плоским интерфейсом
• и еще один со сферическим зеркалом

Согласно статье Optometric Science Research Group под названием «Стигматические оптические системы »:

«Казалось бы, мало разногласий по поводу того, что составляет астигматическую систему в случае тонкой линзы: цилиндр не равен нулю. Сферическая тонкая линза является стигматической или не астигматической. Вопрос менее ясен в случае толстой системы. Например, является ли глаз стигматическим только потому, что его преломление стигматическое (сферическое)?»

Согласно закону Снелла (из Википедии) максимально возможный угол падения, при котором происходит преломление луча, называется критическим углом . Когда что-то превышает этот угол, у объекта на изображении нет точки преломления, что означает, что результат является астигматическим.

Также по оптическим системам Stigmatic :

«Глаз может быть астигматическим, несмотря на стигматическую рефракцию».

На самом деле есть один режим изображения, в котором сферическая линза является идеальной линзой: она сводит все лучи, независимо от того, насколько они далеки от параксиала, в одну фокальную точку. Это случай апланатической сферы , и это чрезвычайно важно при проектировании объективов микроскопа.

Здесь речь идет об однородных и изотропных сферах. Существуют и другие совершенные сферические линзы с неравномерным показателем преломления. Это класс линз Люнебурга , примером которых является Maxwell Fish Eye . Этот класс линз делает точки некоторых концентрических сферических поверхностей идеально сопряженными, то есть лучи из точки на одной поверхности будут точно сходиться в точку на другой.

Вернемся к апланатической сфере, нарисованной ниже:

Здесь у нас есть сфера показателя преломления$n_2$погруженный в среду индекса$n_1$. Мы рассматриваем любую точку$P$на сфере, концентричной линзе, но с радиусом$n_1/n_2$раз больше, чем у сферической линзы. Тогда эта точка имеет идеальное виртуальное изображение в точке$Q$, без какой-либо аберрации, т.е. все лучи, выходящие слева от прибора, сходятся точно в точку$Q$если продлен.

Этот принцип применяется в объективах микроскопов с большой числовой апертурой, погружных или масляных иммерсионных микроскопах, как показано на рисунке ниже, взятом из книги Борна и Вольфа «Принципы оптики».

Поверхность объекта — это сфера внутри жидкости для согласования преломления с таким же отношением к шарообразной линзе на конце микроскопа, как мы обсуждали выше. Смысл$P$на этой сфере имеет совершенный виртуальный образ при$P_1$. Кроме того, числовая апертура виртуального изображения уменьшается в несколько раз.$n_2^2/n_1^2$. Внутренняя поверхность менисковой линзы концентрична сфере изображения через$P_1$; соответственно, лучи от любого точечного источника на первой поверхности изображения не отклоняются внутренней поверхностью мениска. Итак, теперь мы можем снова проделать трюк с апланатической сферой с внешней поверхностью мениска, и мы получим идеальное изображение$P$в$P_2$.

Повторение этого трюка, каждый раз уменьшая числовую апертуру в несколько раз.$n_{i+1}^2/n_i^2$быстро приближает поле из любой точки поверхности объекта к коллимации и с нулевой аберрацией. Теперь несложно заставить линзу коллимировать с чрезвычайно низкой аберрацией для любой точки на поверхности сферического объекта в пределах среды, согласующей преломление.