Эффективный потенциал в общей теории относительности

Я хотел бы уточнить концепцию эффективного потенциала в общей теории относительности, когда член кинетической энергии не является унитарным.

Предположим (в сферических координатах) есть общий линейный элемент формы

г с 2 "=" − е ν ( р ) г т 2 + е − ν ( р ) ф ( р ) г р 2 + р 2 г Ом 2

существование г Ом 2 "=" г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ф 2 обычный элемент телесного угла, а функции ν ( р ) и ф ( р ) являются непрерывными функциями, зависящими только от радиальной координаты р , такой, что если р ≫ р 0 , существование р 0 некоторая конкретная шкала длины: ф ( р ≫ р 0 ) "=" 1 .

Для массивной частицы, свободно движущейся в таком пространстве-времени, уравнение сохранения энергии записывается в виде

1 2 Е 2 "=" 1 2 ф ( р ) р ˙ 2 + 1 2 е ν ( р ) ( 1 + л 2 р 2 ) .

Как отсюда читать эффективный потенциал В эфф ( р ) учитывая, что кинетический член не является унитарным из-за наличия фактора ф ( р ) ?

Комментарий к вопросу (v1): Можно показать, что из уравнений Эйнштейна в вакууме следует, что функция ф ( р ) является константой, не зависящей от р , тем самым решая вопрос ОП в вакуумных секторах пространства-времени.
@Qmechanic спасибо за комментарии, но я спрашиваю в целом. Предположим, что необходимо описать состояние движения массивной частицы общего положения, свободно движущейся в том пространстве-времени, где метрика измеряется заданным элементом прямой. Это типичная геометрическая задача, не связанная с какой-либо теорией гравитации, по крайней мере, априори.

Ответы (1)

Ответ прост: не каждое пространство-время имеет соответствующий эффективный потенциал в том смысле, что у нас есть координата Икс такой, что Икс ˙ "=" 2 ( Е − В е ф ф ) .

Но это верно даже в ньютоновской механике, рассмотрим задачу с лагранжианом

л "=" м 2 ( р ˙ 2 + р 2 ф ˙ 2 ) − В ( ф )
Очевидно, п р ≡ м р ˙ является интегралом движения, и результирующее движение эффективно одномерно, но мы не сможем выразить ф ˙ как ∼ Е − В е ф ф , скорее получим
ф ˙ "=" 2 ( Е − В е ф ф ) р
где В е ф ф "=" п р 2 / ( 2 м ) + В ( ф ) , и Е является, конечно, сохраняющимся гамильтонианом.

Вот, разница Е − В е ф ф может использоваться для исследования разрешенных областей движения, потому что р всегда положительный.

То же самое верно и в приведенном вами примере, по крайней мере, если функция ф ( р ) всегда положительный. Эффективный потенциал можно определить как В е ф ф "=" е ν ( 1 + л 2 / р 2 ) , и тогда ваша радиальная скорость будет

р ˙ "=" Е 2 − В е ф ф ф ( р )
То есть, построив Е 2 − В е ф ф и найдя, где оно выше нуля, вы сможете определить разрешенные области движения частицы. (Экстремумы В е ф ф также даст вам круговые орбиты и т. д.)

Однако мораль состоит в том, что в теории относительности (или, если угодно, для геодезических на лоренцевских многообразиях) понятие эффективного потенциала становится все более хрупким и условным. Чтобы увидеть, как можно ввести понятие эффективного потенциала в более сложном случае керровского пространства-времени, я рекомендую соответствующие главы у Мизнера, Торна и Уилера.

Эффективный потенциал в общей теории относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v