Эксперимент с двумя щелями - вероятность обнаружения с использованием формулы интеграла по путям

Меня действительно интересует формализм интегралов по путям, поэтому я хочу улучшить свое понимание концептуально и вычислительно.

Допустим, у нас есть свободная частица массы$m$ан$x=L$расстояние от детектора на$t=0$и барьер с двумя щелями на$y=\pm a$. И барьер, и детектор простирались от$-\infty$к$\infty$в направлении Y. Расстояние от барьерной щели до частицы равно$x=L/2$.

Я пытаюсь определить вероятность того, что частица будет измерена в детекторе.$\mathbb{P}(y,T)$на позиции$(L,y)$. Где$T$это время, когда он достигает детектора.

---

Вероятность обнаружить эту частицу определяется возможной амплитудой ее траектории (при условии, что она следует классической траектории):

$$\mathbb{P}(y,T) = |A'_{1} + A'_{2}|^{2}$$ где $A'$- амплитуда от пропагатора.

частица может следовать только двумя путями, прежде всего путем первой щели к детектору, который я буду называть$\mathcal{O}_{1}$и через вторую щель к детектору$\mathcal{O}_{2}$. Каждый путь имеет независимые временные траектории.

Перекрытие движения частицы к детектору можно определить как

$$\begin{align} \langle B,t=T |A,t=0\rangle \end{align}$$ где $B$является точечным источником на экране и $A$является источником происхождения частиц.

Полная вероятность того, что частица пойдет по тому или иному пути с течением времени$T$к детектору равно 1, поэтому приведенное выше можно записать как пропогатор:

$$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle = \int_{0}^{T} dt_{1} \langle B,T |\mathcal{O}_{1},t_{1} \rangle \langle \mathcal{O}_{1},t_{1}| A,0 \rangle + \int_{0}^{T} dt_{2} \langle B,T |\mathcal{O}_{2},t_{2} \rangle \langle \mathcal{O}_{2},t_{2}| A,0 \rangle \end{align}$$

Пропагатор для свободной частицы в общем случае определяется как:

$$\begin{align} \mathcal{U}_{free}(q',t' ; q,t_{0}) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar (t' -t_{0})}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ \Delta q^{2} }{\Delta t} \right) ) \end{align}$$

Итак, для одной из частей в раздаче:

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}_{1},t_{1} | A,0\rangle &= \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar t_{1}}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ x_{1}^{2} }{t_{1}} \right) ) \end{align}$$ где $x_{1}$это положение в щели $(\Delta x = x_1 - 0)$

Применив это ко всем четырем и объединив их, я получаю:

$$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle = \frac{m}{2 \pi i \hbar}\left( \int_{0}^{T} dt_{1} \frac{ \exp( -\frac{i m}{2\pi} \left( \frac{x_{1}^{2}}{t_{1}} - \frac{x_{1}'^{2}}{T-t_{1}} \right) ) }{t_{1}(T - t_{1})} + \int_{0}^{T} dt_{2} \frac{ \exp( -\frac{i m}{2\pi} \left( \frac{x_{2}^{2}}{t_{2}} - \frac{x_{2}'^{2}}{T-t_{2}} \right) ) }{t_{2}(T - t_{2})} \right) \end{align}$$

Итак, теперь это та часть, с которой я застрял.

1. Как правильно учесть размеры x и y в этом интеграле, который я привел выше?
2. Как мне тогда правильно учитывать ширину щели?

---

Другой подход состоит в том, чтобы просто посмотреть на действие частицы, поскольку мы знаем ее лагранжиан, и работать оттуда, принимая во внимание, что приближение частиц к щели будет симметричным каждому из ее путей.

$$\begin{align} \mathcal{U} = \int_{x=L/2,t=t'}^{L,T} \int_{y=0,t=0}^{y,T} \mathcal{D} e^{i\int dt \mathcal{L}} \end{align}$$

где лагранжиан (не плотность) нашей свободной частицы равен

$$\begin{align} \mathcal{L} = \frac{m}{2}( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} ) \end{align}$$