Если B1,B2B1,B2B_1,B_2 и B2,B3B2,B3B_2,B_3 являются MUB, можем ли мы заключить, что либо B1,B3B1,B3B_1,B_3 являются MUB, либо они имеют эквивалентные матрицы Адамара?

Этот вопрос можно сформулировать двояко. Пусть будет два$d$-мерные ортонормированные базисы$B_{1}$и$B_{2}$. Я имею в виду элементы$B_{1}$к$\lvert\nu_{i}\rangle$и к элементам$B_{2}$к$\lvert\omega_{j}\rangle$. Эти два основания взаимно несмещены, а именно:$\lvert\langle\omega_{j}\lvert\nu_{i}\rangle\lvert^{2}=1/d$для всех$\lvert\omega_{j}\rangle$и$\lvert\nu_{i}\rangle$. Определим некоторый вектор$\lvert\tau\rangle$такой, что$\lvert\tau\rangle$ортонормирован к одному элементу$B_{2}$, сказать$\lvert\omega_{m}\rangle$и взаимно несмещен по отношению ко всем элементам в$B_{1}$:$\lvert\langle\tau\lvert\nu_{i}\rangle\lvert^{2}=1/d$для всех$\lvert\nu_{i}\rangle$. Можем ли мы заключить, что$\lvert\tau\rangle$равен члену$B_{2}$сказать$\lvert\omega_{p}\rangle$для некоторых$p\neq m$до разности фаз?

Другой способ сделать тот же вывод — задать следующий вопрос: пусть существует три ортонормированных основания.$B_{1}$,$B_{2}$и$B_{3}$.$B_{1}$и$B_{2}$взаимно непредвзяты, поэтому$B_{2}$и$B_{3}$. Можем ли мы заключить, что$B_{1}$и$B_{3}$либо взаимно несмещены, либо имеют эквивалентные матрицы Адамара? Этот вопрос для меня особенно важен, так как в литературе всегда говорится о множествах попарно взаимно несмещенных базисов. Но нет никаких доказательств того, что три взаимно несмещенных основания обязательно должны быть попарно MUB.