Если одинаковая темперация делит октаву на 12 равных частей, то почему разница в герцах не одинакова, а составляет 12-ю часть от двух?

Интервалы между нотами «равны» не в том смысле, что разница в герцах между ними одинакова, а в том смысле, что соотношение между a ними одинаково. Скажем, gна один полутон выше, чем f, тогда g = a f.

Note  Hz      Ratio a to previous note, rounded to 3 decimal places
A4    440.00
A#4   466.16  1.059 (466.16 / 440.0 = 1.059, and so on down the column)
B4    493.88  1.059
C5    523.25  1.059
C#5   554.37  1.059
D5    587.33  1.059
D#5   622.25  1.059
E5    659.25  1.059
F5    698.46  1.059
F#5   739.99  1.059
G5    783.99  1.059
G#5   830.61  1.059
A5    880.00  1.059

Это может быть легче понять, когда вы думаете о частоте октав. Количество герц между октавами разное (220, 440, 880, 1760 и т. д.), но соотношение 2:1 всегда одинаково. То же самое относится и к нотам в гамме.

Математически мы делим октаву (соотношение 2:1) на 12 равных шагов (равных по соотношению, т.е. a^12=2). Используя научный калькулятор, мы можем найти a=2^(1/12) = 1.0594630943592952645618252949463, что является (почти) точным соотношением между двумя полушагами.

Разделение нот связано с человеческим восприятием и психоакустикой. Одним из описаний человеческого восприятия является закон Вебера-Фехнера, согласно которому человек будет воспринимать одинаковые изменения некоторых сенсорных входных данных, таких как уровень звука или высота звука, не по абсолютному уровню или разнице значений, а по соотношению изменений. например, большие значения требуют пропорционально большего изменения, чтобы изменение воспринималось (если оно небольшое) или воспринималось как примерно такое же в некотором разумном диапазоне (например, слышимое, но не вызывающее повреждения уха и т. д.).

Таким образом, для того, чтобы полутоновый (четвертый, пятый и т. д.) интервал звучал одинаково, независимо от того, с какой базовой ноты он начинается, в шкале равной темперации ноты должны отличаться не одинаковыми абсолютными частотными различиями (как было бы создано одинаковыми дельтами герц между нотами), но равными разностями отношений (12-й корень из 2, так что двенадцать равных умножений будут равняться одной октаве).

например, "равенство" в равном делении должно быть равным в отношении, а не аддитивной абсолютной величиной.

Что произойдет, если вы спуститесь по тем же шагам:

• 440 Гц
• 1 шаг вниз: 403,33 Гц
• 2 шага вниз: 366,67 Гц
• 3 шага вниз: 330.Гц
• ...
• 11 шагов вниз: 36,67 Гц
• 12 шагов вниз: 0 Гц
• 13 ступеней вниз: -36,67 Гц

Итак, используя вашу «равномерно разделенную» логику, мы находимся на нуле Гц после 12 шагов, а следующий шаг после этого - минус 37 Гц! Что это вообще значит? Но ладно, давайте немного проследим вашу логику... какая частота ровно посередине октавы 440 - 880 Гц, вот это будет 660 Гц. Какая октава выше этого? Это будет 2 * 660 Гц = 1320 Гц. Какие будут шаги в этой октаве - 660 Гц / 12 = 55 Гц? Хорошо, тогда давайте сделаем один шаг вверх от 660 Гц, это 660 Гц + 55 Гц = 715 Гц. Но подождите... шаг должен был быть 37 Гц, а не 55 Гц??? Зависит ли размер вашего шага от начальной и конечной точек октавы? Или нужен резкий скачок на 880 Гц - шаги ниже 880 будут 440/12, а выше 880 будут 880/12? Откуда такой делитель, это заложено в природе? Я думал, что A = 440 Гц — это всего лишь соглашение, а не закон природы.

Откуда вы взяли 880Гц? Путем умножения на 2, т.е. на октаву выше. Я думаю, то же самое должно применяться к любой частоте, а не только к 440 Гц? Например, на одну октаву выше 880 Гц должно быть 880 Гц * 2? И любая другая частота, такая как 1000 Гц... на одну октаву выше, должна быть 2000 Гц. Если интервал октавы вычисляется умножением, то как другие интервалы могут быть вычислены сложением?

Итак, спросите себя: если F1 и F2 — это частоты двух последовательных полутонов, какова связь между F1 и F2, если (F1 * 2) и (F2 * 2) должны иметь одинаковые отношения?

Вы ищете функцию f(F) такую, что f, примененная 12 раз, дает 2*F.

    f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(F)))))))))))) = 2 * F

Если вы подниметесь на один полутон от F, вы получите частоту f(F). Частота на октаву выше этого равна 2 * f(F).

Если вы сначала сделаете шаг вверх на октаву, вы получите F*2. И если вы сделаете шаг вперед на один полутон, вы получите f(F*2), что должно быть той же частотой, поэтому:

    2 * f (F) = f (2 * F)

На что может быть похожа функция f ?

Из темы "почему разница в герцах не одинаковая, а элемент 12-й из двух?" Я предполагаю, что вы уже знаете, что отношение последовательных полутонов равно 2^(1/12).

Простой способ - посмотреть на отношения, как было предложено выше. Можно разделить интервал поровну арифметически так, чтобы длина (размер или, более технически, «мера») каждого подинтервала была одинаковой. Арифметическое деление интервала на 12 частей (я могу объяснить 12, но это требует больше математики) дает 1 = 12/12, 13/12, 14/12, 15/12, 16/12, 17/12, 18/. 12, 19/12, 20/12, 21/12, 22/12, 22/12, 24/12=2. Однако кажется, что слух людей (экспериментально) различает соотношения частот, а не различия, как более идентичные. Например (взяв A = 440 символов в секунду), пятая часть выше A - это E со скоростью 660 символов в секунду, а не 19/12 * 440 = 696,666....

Если мы хотим равных отношений для каждого полушага, вместо (2-1)/12 мы 2 ^ (1/12). Дело в том, что отношение G к C постоянно для всех квинт (AD, CF и т. д.). С древности соотношение квинты составляет 3: 2 (или в 3/2 раза больше частоты нижней ноты). Это соответствует разделению струны на интервалы и прослушиванию частоты двух более коротких частей. (Кроме того: Винченцо Галилей предложил использовать 18/17 как приближение к двенадцатому корню из двух; это замечательно хорошо.)

Однако: для вычислительной работы мы можем использовать логарифмы; логарифм отношения – это разность логарифмов составляющих этого отношения. Один делит октаву на 1200 центов (1200-й корень из 2) и присваивает 100 центов равнотемперированному полутону. Это позволяет легко (по крайней мере, при использовании карандаша и бумаги вместо калькулятора) вычислить размер интервала для различных настроек.

Таким образом, даже если наши уши слышат соотношение (экспериментально), мы можем вычислить соотношением или сложением. В Вики есть куча статей qG (гугл по аналогии с qv), которые дают более полное объяснение.

Начните с рассмотрения равного деления октав на одну часть. То есть подумайте об изменении высоты тона только на октавы.

Если мы начнем с A1 = 55 Гц, у нас будут следующие высоты тона:

    Частота основного тона
    ----------------
    А1 55 Гц
    А2 110 Гц
    А3 220 Гц
    А4 440 Гц
    А5 880 Гц
    ...

Вы можете видеть, что когда вы увеличиваете высоту тона на равную аддитивную величину, вы увеличиваете частоту на такой же множитель . То есть каждый раз, когда вы увеличиваете высоту звука на одну октаву, вы удваиваете частоту. Это означает, что связь между высотой тона и частотой является логарифмической.

Отсюда довольно легко сделать вывод, что для деления октавы на некоторое количество равных частей нужно найти множитель, который при умножении этого числа на себя дает 2. Другими словами, частотный множитель, соответствующий делению октавы на n частей является корень n-й степени из 2.

Возможно, самый простой способ взглянуть на это — посмотреть на гриф гитары. Октава там делится на 12 частей — равных, поскольку каждый лад отстоит от соседнего на полтона. Но при внимательном рассмотрении совершенно очевидно, что все лады не одного размера. На самом деле, одиннадцатый лад почти в два раза меньше первого, от верхнего порожка до первого лада. Идем дальше, и 12-й (октава) на самом деле вдвое меньше первого.

Ваша гипотеза состоит в том, что все они будут одного размера — одной двенадцатой половины длины открытой струны? Если бы это было так, что бы произошло на 13 ладу? Кроме того, каждый лад производил расстроенную ноту. Таким образом, должно быть соотношение каждого лада к соседнему, как указано в других хороших ответах.

Наша система заметок представляет собой логарифмическую шкалу частоты. Логарифмическая шкала превращает равные дроби в равные расстояния. Вы можете определить равную темперацию как постоянный размер шага 1/12по log_2шкале частот.

Возвращаясь к линейной шкале, это означает, что полутон переводится в множитель ( двенадцатый2^(1/12) корень из двух).

Причина этого в том, что звучание интервала зависит от того, как совпадают спектры обертонов двух узлов .

Октава имеет уникальную особенность, заключающуюся в том, что все гармоники более высокой ноты совпадают с некоторой гармоникой более низкой ноты. Точно так же, если у вас идеальная квинта (коэффициент 3/2), каждая вторая гармоника верхней ноты совпадает с каждой третьей гармоникой нижней ноты. Аналогичные отношения справедливы для совершенной четверти (множитель 4/3), старшей трети (5/4) и старшей шестой (5/3). И так далее и тому подобное. Характер совпадения гармоник определяет звучание интервала, а гармоники определяются факторами частоты .

Таким образом, только логарифмическая шкала может быть использована для хорошего описания интервалов (наша система заметок). И, как следствие, равный темперамент должен определяться по логарифмической шкале.

Если Октава определяется этим:

• удвоение частоты
• 12 шагов

Почему способ перехода от одной клавиши к другой должен регулироваться другим правилом (т. е. двигаться по другой кривой на диаграмме X, Y), чем перемещение примерно на 12 клавиш, что не что иное, как применение правила от клавиши к ключ 12 раз? Существует функция, которая указывает, как переходить от одной клавиши к другой, что определяется приведенными выше терминами. То, что вы хотите сделать, это линейно перемещаться от ключа к ключу, что противоречит приведенному выше определению. Кривая — это не линия. Это определяется не как добавление чего-либо, а как удвоение (умножение) определенного количества ключей (12). Октава выше 110 Гц - это 220. Но октава выше - 440, а не 330 - вы не добавляете число (чтобы получить равные шаги), вы умножаете (размер линейного шага увеличивается по мере увеличения).

Следовательно, если x — шаг умножения от одной клавиши к другой, f — начальная частота, а 2*f — на одну октаву выше:

f * x * x * ... * x = 2*f  | 12 steps, i.e. 1 (multiplication) step applied 12 times
f * x^12 = 2*f  | divide by f
x^12 = 2  | solve for x
x = 2 ^ (1/12)

то есть 12-й корень из 2. См. изображение ниже: Оранжевая кривая следует этому правилу от 110 Гц до 880 Гц, со всеми полутоновыми шагами между ними. Синяя кривая — это то, что произошло бы, если бы вы попытались удовлетворить оба ваших требования: удвоение частоты на октаву, а также переход с равными шагами (то есть линейно) от одной октавы к другой. Обе кривые встречаются в каждой октаве: 110, 220, 440, 880. Видите, как эта синяя линия не следует одной гладкой функции, а скорее состоит из линейных сегментов? Я не думаю, что вы ожидаете, что это будет звучать естественно и ровно, повышая частоту таким образом для полутонов;) Чтобы двигаться вверх плавно и удовлетворять «удвоению частоты на октаву», ваши полутона должны быть включены. эта оранжевая кривая (и субполутона, такие как центы, тоже, конечно, т.е. 100 центов также не расположены на равном расстоянии друг от друга)

Подняться на октаву вверх не значит добавить 440 Гц; скорее это означает умножение на 2. Каждый раз, когда вы поднимаетесь на полтона, вы умножаете на ту же величину; вы не добавляете ту же сумму.

Это еще один ответ, пытающийся помочь понять также вопрос людям, которые не могут справиться с соотношениями и другими абстрактными терминами:

Представьте, что у вас есть тон частотой 12 Гц (струна колеблется 12 раз в секунду). Как должны быть настроены 12 полутонов между октавами (24 Гц), чтобы разница между всеми полутонами была одинаковой?

Вопрос подразумевает: если диапазон между октавами составляет 12 Гц, почему разница между 12 полушагами не всегда составляет всего 1 Гц?

корень = 12 Гц

малая секунда 13 Гц

большая секунда 14 Гц

.

.

.

.

идеальная квинта 18 Гц

.

.

.

мажорная септима: 23 Гц

октава: 24

Мы видим, что разница между первой половиной 12 Гц и 13 Гц составляет всего 1/10 от 12 Гц (10% всей октавы), в то время как дополнительная разница между октавой 24 Гц и предыдущим полутоном (23 Гц) составила бы почти всего лишь 1/20 (= 5%) разницы между следующим верхним полутоном над октавой будет на 2 Гц больше, потому что это должна быть 1/10 следующей октавы 48 Гц, так как разница между октавой (24 Гц ) и октавы'' (48Гц) это 24Гц! (48-24=24) с половиной шага 1/12 между октавой и октавой будет 2?

Из этого мы можем вывести, что различия между полушагами не являются дополнительными к 1/12, а пропорциональны умножению каждого полушага на 1/12.

Надеюсь, это не бубнит и не сбивает с толку. TLDR?