Если расходящиеся лучи никогда не встречаются, то почему параллельные лучи встречаются на бесконечности?

Если вы выровняете направление взгляда параллельно некоторому набору параллельных линий, вы визуально увидите, как они заканчиваются в какой-то «точке» на бесконечном расстоянии. Типичным примером являются железнодорожные пути.

Если вы возьмете линии, которые не параллельны, то независимо от того, какую перспективу вы выберете, визуальная точка пересечения (если она есть) всегда будет находиться на конечном расстоянии, а, следовательно, не в бесконечности. Например, столб на изображении наклонен к рельсам пути, поэтому независимо от того, как вы сориентируете свой взгляд, они никогда не будут казаться пересекающимися, будь то в бесконечности или нет. Или взять рельсы и деревянные шпалы. Они образуют прямые углы в точках реального пространства, и независимо от того, как вы ориентируетесь, вы никогда не сможете заставить их казаться пересекающимися где-либо, кроме этих точек. Непараллельные линии не пересекаются в бесконечности, потому что наше зрение говорит нам, что они не пересекаются в бесконечности.

Также обратите внимание, что существуют разные точки на бесконечности. Бесконечно удаленная точка, в которой пересекаются железнодорожные пути, визуально отличается от той, в которой пересекаются все вертикальные линии на этом фото. И то и другое отличается от того, у которого пересекаются горизонтальные деревянные связи. Это противоречит ответу @nu. Это связано с тем, что существует множество способов математически построить бесконечно удаленные точки с учетом подходящего определения «реального пространства». Мое определение соответствует проективному пространству , а не одноточечной компактификации.

Использование множества различных точек на бесконечности оправдывается нашей визуальной интуицией, а также оптической интуицией. Например, мы обычно идеализируем звезды как точечные источники на бесконечности. Но есть много звезд, которые визуально появляются в разных местах неба. В этом трудно разобраться, если есть только одна бесконечно удаленная точка, но если вместо этого построить множество бесконечно удаленных точек, каждая звезда может получить свою собственную. Точно так же, если у вас есть пучок параллельных световых лучей и вы смотрите в луч, вы увидите свет как «звезду» в одной точке на бесконечности, в которой пересекаются параллельные лучи, а не в другой точке на бесконечности . . Если вместо этого лучи пересекутся в некоторой конечной точке, вы увидите источник света в этой точке, а не в какой-либо бесконечно удаленной точке.

Бесконечность — это не реальное расстояние или фактическое число. Он используется в математике при описании пределов неограниченного увеличения параметра.

Параллельные линии, по определению, на самом деле никогда не пересекаются на плоской плоскости (существуют неевклидовы геометрии, где они встречаются, и они актуальны, когда действует общая теория относительности, но не для классической физики световых лучей — мы можем аппроксимировать пространство как плоскость).

Расстояние от зеркала до точки, где встречаются лучи, зависит от угла между лучами. Чем меньше угол, тем больше расстояние. Поскольку углы могут стать бесконечно малыми (игнорируя квантовую механику), это означает, что расстояния могут стать бесконечно большими. Параллельные линии имеют угол 0, поэтому предел расстояния при приближении угла к 0 равен бесконечности.

В математике у вас будет уравнение с углом в знаменателе дроби. Деление на 0 не имеет реального значения в арифметике, поэтому мы используем пределы, чтобы справиться с этим.

В евклидовой геометрии параллельные прямые никогда не пересекаются. Это и есть определение параллели. Итак, если объект находится в фокусе, отраженные лучи действительно никогда не встретятся (в идеальном евклидовом мире).

Так почему же мы говорим, что они «встречаются в бесконечности»?

Оказывается, это просто условное обозначение. Чтобы позаимствовать из другого моего ответа :

Когда физики говорят, что что-то «уходит в бесконечность», они имеют в виду, что «по мере того, как вы принимаете предел, это значение становится все больше и больше без каких-либо ограничений и в конечном итоге превысит любое выбранное вами число».

В стандартной системе действительных чисел (которая используется для большинства вещей в классической физике) бесконечность на самом деле не является числом; это больше похоже на условное обозначение. Таким образом, более технически точным способом сказать это было бы:

По мере того, как объект приближается к фокусу, изображение (там, где встречаются лучи) отдаляется все дальше и дальше без каких-либо границ. Вы можете сделать изображение настолько далеким, насколько захотите, поднеся объект достаточно близко. Когда объект находится точно в фокусе, лучи параллельны и поэтому никогда не встречаются.

«Лучи встречаются в бесконечности» — это просто сокращение для этого.

Иногда такие вещи моделируются в проективной геометрии , а не в евклидовой геометрии. А в проективной геометрии «бесконечность» на самом деле является четко определенной вещью, и параллельные линии действительно пересекаются в бесконечности. Но, судя по формулировке вашего вопроса, я предполагаю, что вы еще не познакомились с проективной геометрией; вводные занятия, как правило, придерживаются хорошо знакомой евклидовой геометрии, где «бесконечность» — это просто приятный кусочек синтаксического сахара.

Тот факт, что параллельные линии встречаются в бесконечности, становится интуитивно понятным, когда думаешь о том, что на самом деле означает «бесконечность» в 2D-плоскости. В то время как реальные цифры$\mathbb R$часто компактифицируются с помощью двух точек, а именно$+\infty$и$-\infty$, чтобы сохранить их порядок при компактификации, в 2 измерениях порядок не имеет особого смысла (есть$(2,1) > (1,2)$?), и распространена другая компактификация ( одноточечная компактификация Александрова ), которая добавляет только одну точку,$\infty$.

Эту компактификацию можно изобразить следующим образом:

1. Определите плоскость для компактификации с помощью$x$-$y$-plane и добавить третью координату$z$.
2. Поместите центр единичной сферы в$(0,0,1)$, так что он касается начала координат$x$-$y$-самолет.
3. Соедините каждую точку плоскости с$(0,0,2)$, которая является самой верхней точкой сферы, с помощью линий, и отождествить точку, где линия пересекается с плоскостью, с точкой, где та же самая линия пересекается со сферой. Это сопоставление$p: \mathbb R^2 \rightarrow \{\vec r \in \mathbb R^3 : |\vec r - (0,0,1)| = 1\} \setminus \{(0,0,2)\}$является непрерывным и биективным и известен как стереографическая проекция .
4. Добавить точку$(0,0,2)$к кодовому домену и точке$\infty$в область отображения и определить$p(\infty) = (0,0,2)$. Это определение имеет смысл, поскольку для каждой последовательности$(a_n)_n$в$\mathbb R^2$с$a_n \rightarrow \infty$как$n \rightarrow \infty$, очевидно, имеет место$p(a_n) \rightarrow (0,0,2)$.

Используя это определение бесконечности, становится ясно, что любые две параллельные прямые содержат одну точку.$\infty$так и встретимся там.

Изменить: поскольку ОП предположил, что ответ слишком сложен, вот несколько дополнительных объяснений:

• В этом контексте «компактификацию» можно рассматривать просто как «добавление бесконечно удаленных точек». Компактно ли множество или нет, не важно для получения общего представления.
• кодовый домен$\{\vec r \in \mathbb R^3 : |\vec r - (0,0,1)| = 1\} \setminus \{(0,0,2)\}$это сфера из 2. без самой верхней точки.
• То, что отображение в 3. является непрерывным и биективным, означает, что оно сохраняет интересующие нас части структуры отображаемой плоскости, а именно, что точки, которые находятся «рядом друг с другом», остаются такими. Проблема с простым высказыванием «точки рядом друг с другом» заключается в том, что это не так просто определить для действительных чисел, поскольку между любыми двумя из них бесконечно много других.
• Как объяснил Коши в комментариях, все бесконечные линии встречаются в точке$\infty$. Они сопоставляются с кругами, содержащими$(0,0,2)$на сфере. Окружности, соответствующие параллельным линиям, соприкасаются только в этой точке. Однако, если две окружности пересекаются там, они должны сделать это в другой точке сферы, которая будет отображена в конечную точку на плоскости.

«Бесконечность» здесь на самом деле является сокращением для выражения «вырастает больше, чем любое значение, которое вы можете назвать, когда условия приближаются к условию X»; то есть он описывает поведение итерационной процедуры или алгоритма , а не является статическим числом (извините, я программист).

В этом случае процедура состоит в том, чтобы сделать угол между двумя линиями, которые проходят через две точки на 2D-плоскости, все меньше и меньше. Когда точки находятся на расстоянии 1 м друг от друга, а угол равен 90 °, линии пересекаются на расстоянии 1/2 м. Когда угол становится меньше, точка пересечения смещается дальше; нет такого расстояния, которое нельзя было бы превысить, уменьшив угол чуть-чуть. Именно это мы имеем в виду, когда говорим «параллельные прямые пересекаются в бесконечности»: расстояние пересечения превышает любой предел, когда угол приближается к 0 (т. е. когда линии становятся все более и более параллельными).

Естественным домом для геометрии плоских кривых является проективная плоскость, где все действительно намного проще. Например, кривая степени$n$и кривая степени$m$всегда встречаемся точно$mn$точек на проективной плоскости (с некоторыми оговорками о том, как именно считать), что оказывается чрезвычайно удобным.

Прямые — это кривые степени 1, поэтому две прямые пересекаются ровно в одной точке. Прямые называются параллельными, если бесконечная прямая проходит через эту точку пересечения. Но «линия в бесконечности» зависит от вашей системы координат, поэтому нет смысла спрашивать, параллельны ли две линии, пока вы не выбрали координаты. Одна и та же пара прямых может быть параллельна в одной системе координат и не параллельна в другой.

Когда вы работаете на аффинной (евклидовой) плоскости, вы выбираете линию в бесконечности и отбрасываете ее. Следовательно, линии, которые пересекались в бесконечности (т. е. параллельные линии), больше не пересекаются.

Точно так же (и не имеет прямого отношения к вашему вопросу, а как еще одна иллюстрация того, как аффинная плоскость отбрасывает информацию), коника (то есть кривая степени 2) называется окружностью, если она проходит через две определенные «круговые точки» на бесконечности. Две окружности называются концентрическими, если они касаются обеих этих точек окружности (здесь касание считается двумя встречами, поэтому два касания используют все четыре точки пересечения). Но опять же, идентичность круглых точек зависит от вашей системы координат, так что то, является ли коника окружностью, и являются ли две окружности концентрическими, зависит от вашей системы координат. А если отбросить линию на бесконечность, концентрические окружности вообще не сойдутся.