Если :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : нелокальна в пространстве, означает ли это, что взаимодействующая квантовая теория поля нелокальна?

Нет, это не означает, что квантовая теория поля нелокальна. Тот факт, что существуют операторы, которые точно (анти)коммутируют на пространственноподобном разделении, остается в точности верным на уровне взаимодействия.

Ваш аргумент основан на ошибочном предположении. Неверно, что член взаимодействия более высокого порядка должен быть нормально упорядоченным в гамильтониане. Правильный гамильтониан взаимодействия следует записывать «как есть», без нормального порядка.

Вывод правил Фейнмана для амплитуд рассеяния на операторном языке и картине взаимодействия требует вычисления матричных элементов$S$в начальном и конечном состоянии. Матрица$S$является упорядоченной по времени экспонентой:

$$S \approx T \left[i \exp\int dt\,H_I \right]$$ Извините, если должно быть $-i$перед $H_I$. В этой формуле нет нормального порядка, поэтому нет нелокальности члена взаимодействия; вместо этого существует временной порядок всего.

По теореме Вика эта упорядоченная по времени экспонента при расширении с помощью разложения Тейлора может быть записана с помощью сокращений

$$C(x_1,x_2) = \langle 0 | T (\phi_1 \phi_2) | 0\rangle = i\Delta_F(x_1-x_2)$$ который является стандартным пропагатором Фейнмана, связанным с $i/(k^2-m^2+i\epsilon)$в импульсном пространстве. Но сжатие - это разность упорядоченного по времени (но не нормально упорядоченного) произведения двух операторов, которые всегда фигурируют в определении S-матрицы, и нормально упорядоченного (но уже не упорядоченного по времени) произведения, с которым легко иметь дело при вычислении матричных элементов.

Действительно, я думаю, что если вы добавите гамильтониан взаимодействия более высокого порядка с дополнительным нормальным порядком, вы получите нелокальную теорию, но КТП определяются не так.

Вы можете быть недовольны тем, что без нормального упорядочения гамильтониан взаимодействия приведет к бесконечным матричным элементам и т. д. Действительно, так и будет. Но есть много других бесконечностей подобного рода, и со всеми ими приходится иметь дело в процессе перенормировки.

Идея о том, что гамильтониан взаимодействия должен быть нормально упорядоченным, вероятно, является ошибочным артефактом интуиции, направленной на избавление от бесконечностей «как можно скорее». Для свободных квантовых теорий поля можно определить конечные предписания - без перенормировки - для таких величин, как полная энергия и полный заряд, и нормальное упорядочение помогает сделать это легко.

Но такая трактовка свободных квантовых теорий поля бесполезна для избавления от многих других бесконечностей, которые появляются после включения взаимодействий. Чтобы с ними справиться, нужна перенормировка. Нормальное упорядочение гамильтониана взаимодействия не только бесполезно для избавления от бесконечностей: оно было бы вредным, потому что, как вы правильно заметили, оно привело бы к нелокальностям. (Если только теория не будет эквивалентна локальной теории поля путем переопределения поля, а я не вижу очевидного способа, как это могло бы произойти.)

Насколько я вижу, эта тривиальная ошибка — придание гамильтониану нормально упорядоченного взаимодействия — появляется при некоторых трактовках квантовой теории поля в рамках «аксиоматической» или «алгебраической» квантовой теории поля, поэтому эти подходы, по крайней мере, в некоторые из их версий совершенно несовместимы как с перенормировкой, так и с локальностью.

Я согласен с частью ответа Мотла о том, что при обычной трактовке КТП это действительно неупорядоченный полином.$V(\phi)$это добавлено к свободному гамильтониану.

Но что бы это ни стоило, я думаю, что полином нормального порядка$N(V(\phi))$на самом деле местный. Конечно, вы правы, опасаясь априори , что это может быть не так, потому что общие суммы произведений лестничных операторов действительно нелокальны.

вот мой аргумент$N(V(\phi))$является местным; поправьте меня если я ошибаюсь. Давайте относиться к делу$V(\phi)=\phi^n$даже для$n$. Будем рассуждать по индукции даже$n$. То есть, предположим, мы доказали$N(\phi^m)$является локальным для всех даже$m<n$. По теореме Вика, скажем, в версии, выраженной здесь, в Википедии , мы имеем

$$\phi^n = N(\phi^n) + \; const. \langle \phi^2 \rangle N(\phi^{n-2}) + \; const. \langle \phi^2 \rangle \langle \phi^2 \rangle N(\phi^{n-4}) \, + ... .$$ Левая часть локальна, и все члены после первого в правой части локальны по индуктивной гипотезе, поэтому$N(\phi^n)$должен быть локальным.

Более того, если вы посмотрите на вышесказанное, вы можете сделать вывод

$$N(\phi^n) = \phi^n + A_{n-2} \phi^{n-2} + A_{n-4} \phi^{n-4} + … + A_0$$ для некоторых констант$A_{n-2},...,A_0.$Так что из этого выражения также ясно, что$N(\phi^n)$является местным.

Аргумент для нечетных степеней аналогичен.