Есть ли лучший/быстрый способ получить антипроизводные простых функций, чем «обратить» производные правила?

Обновление : как бы то ни было, я подожду еще несколько часов, чтобы узнать, есть ли у кого-нибудь более исчерпывающий ответ на мой вопрос. Но если нет, я «приму» один из двух существующих ответов, оба очень хороши, хотя и не настолько исчерпывающие, как я надеялся.

Сейчас я прохожу курс AP Calculus AB, и мы изучаем антипроизводные (неопределенные интегралы) для Блока II. До этого мы изучили некоторые основные правила производных для преобразованных функций, такие как:

[ ф ( Икс + а ) ] ] ′ "=" ф ′ ( Икс + а )

[ ф ( а Икс ) ] ′ "=" а * ф ′ ( а Икс )

(Мы также изучили производные некоторых элементарных функций, например многочленов, показательных функций, синуса и косинуса.)

Для антипроизводных мы также запомнили (и доказали) формулы для некоторых основных функций, но, в отличие от производных, нас совсем не учили тому, что делать с преобразованными функциями.

Рассмотрим, скажем, нахождение антипроизводной Ф ( Икс ) если ф ( Икс ) "=" 1 / ( 4 Икс ) . Или найти антипроизводную г ( Икс ) если г ( Икс ) "=" потому что ⁡ ( 4 Икс ) . (Или, что еще хуже, как насчет того, ф ( Икс ) был на самом деле 1 / ( 4 Икс − 3 ) , и г ( Икс ) был на самом деле потому что ⁡ ( 4 Икс − 3 ) ?) Я не совсем уверен, как систематически и аккуратно подходить к решению таких задач.

Должен ли я попытаться выучить целочисленную u -подстановку или любые подобные приемы (которые мы еще не рассмотрели в классе), или мне лучше просто попытаться интуитивно «обратить» правила дифференцирования, насколько это возможно? Я хочу найти относительно эффективный метод интеграции основных функций, но сейчас я довольно запутался. (Часто попытки изменить правила дифференцирования вызывают у меня головную боль, ха-ха, и я совершенно теряюсь, потому что трудно думать о вещах в обратном направлении.)

Систематически интегрировать функции очень и очень сложно. В общем, дифференциация — это наука, а интеграция — это искусство. Это не значит, что вы должны разочаровываться, просто вы не должны удивляться, когда половина вашего урока исчисления, связанная с интеграцией, выглядит примерно так: «вот несколько случайных трюков, которые работают, если вы используете их с умом», даже несмотря на то, что дифференцирование половина была более систематической.
Что мне меньше всего нравится в AP Calculus BC, так это множество трюков, которые нам приходилось запоминать, в основном для интегралов. По крайней мере, в AB вы, по-видимому, получаете некоторое облегчение от этого. Ваши конкретные примеры легко обрабатываются с помощью u-подстановки, но многие другие интегралы - нет.

Ответы (2)

Вам придется изучить правила подстановки для более сложных композиций функций. Но для простых вещей, таких как г ( Икс ) "=" потому что ⁡ ( 4 Икс − 3 ) , быстрее сделать разумное предположение, а потом "зафиксировать константы". Разумное предположение для вышеизложенного г это "что-то с грех ⁡ ( 4 Икс − 3 ) ". Дифференциация грех ⁡ ( 4 Икс − 3 ) дает 4 потому что ⁡ ( 4 Икс − 3 ) с нежелательным фактором 4 . Отсюда немедленно следует, что правильные первообразные г имеют форму 1 4 грех ⁡ ( 4 Икс − 3 ) + С .

Интегралы очень, очень сложны до такой степени, что для некоторых из них, использующих простые для понимания функции, невозможно найти первообразную (например, ∫ е − Икс 2 г Икс не может быть выражен каким-либо «простым» способом. Однако существуют более сложные методы интегрирования (например, интегральная формула Коши ), которые не обязательно связаны с нахождением первообразных, но эти интегральные формулы являются лишь частными случаями, и вы, скорее всего, не узнаете о них в ходе занятий по математическому анализу AB. .

В общем, любой метод интеграции, который вы будете использовать в своем классе, будет просто применять производные правила в обратном порядке. Но со временем, подобно тому, как вы, вероятно, научились быстро разлагать выражения в алгебре, вы научитесь быстрее распознавать, что делать с определенным интегралом. Но вы все равно будете применять производные правила в обратном порядке. Однако, если у вас действительно возникли проблемы, я рекомендую изучить u-подстановку и другие более простые интегральные правила. По сути, они просто скрывают метод проб и ошибок под формулами, но при этом экономят массу времени на более сложных интегралах.

Есть ли лучший/быстрый способ получить антипроизводные простых функций, чем «обратить» производные правила?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v