Эволюция гармонического осциллятора в формулировке интеграла по путям

Ненормированное основное состояние гармонического осциллятора (выбор таких единиц, что м "=" ℏ "=" ю "=" 1 ) является

(1) ψ ( д , т ) "=" опыт ⁡ ( − д 2 / 2 − я т / 2 ) .

Функция перехода

(2) Вт ( д 2 , т 2 , д 1 , т 1 ) "=" 1 2 π я С опыт ⁡ [ я 2 С ( ( д 1 2 + д 2 2 ) С − 2 д 1 д 2 ) ] ,
где С "=" грех ⁡ ( т 2 − т 1 ) и С "=" потому что ⁡ ( т 2 − т 1 ) .

Из общих соображений мы должны иметь

(3) ψ ( т 2 , д 2 ) "=" ∫ − ∞ ∞ д д 1 Вт ( д 2 , т 2 , д 1 , т 1 ) ψ ( т 1 , д 1 ) .

Можем ли мы также показать это, вычислив интеграл явно для данного состояния? Мои попытки не увенчались успехом; в частности, я никогда не получаю правильную временную зависимость ∝ опыт ⁡ ( − я т 2 / 2 ) в конечном результате.

Ответы (1)

Подсказки:

  1. Упражнение ОП, по сути, заключается в проверке колебательного интеграла Гаусса (3) по начальному положению. д 1 .

  2. Позволять Δ т М "=" т 2 − т 1 > 0 . Чтобы сделать интеграл Гаусса сходящимся, вставьте фейнмановский я ϵ рецепт Δ т М → Δ т М − я ϵ . Или, что то же самое, Wick-rotate Δ т Е "=" я Δ т М , где р е ( Δ т Е ) > 0 . Здесь буквы М и Е означает Минковский и Евклид соответственно.

  3. Обратите внимание, что я С "=" я грех ⁡ Δ т М "=" грех ⁡ Δ т Е и С "=" потому что ⁡ Δ т М "=" чушь ⁡ Δ т Е .

  4. Выполнить сходящийся интеграл Гаусса (3) по действительной переменной д 1 .

  5. После интегрирования по Гауссу новый коэффициент квадратного корня 1 ( С + я С ) даст искомое т 2 зависимость.

Комментарий к ответу (v4): ответ неявно предполагает, что мы не прошли первую точку каустики/поворота. Δ т М < π .
Эволюция гармонического осциллятора в формулировке интеграла по путям
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v