Форма классического ЭМ-лагранжиана

Question

Форма классического ЭМ-лагранжиана

пользователь21433

Итак, я знаю, что для электромагнитного поля в вакууме лагранжиан равен

л знак равно - \frac{1}{4} Ф^{мю ν} Ф_{мю ν},

$\mathcal L=-\frac 1 4 F^{\mu\nu} F_{\mu\nu},$ стандартная модель говорит мне об этом. Я хочу знать, существует ли элементарный аргумент (возможно, основанный на симметрии) относительно того, почему он имеет такую форму. Я немного искал/читал об этом, но только когда-либо находил авторов, которые прыгали прямо к выражению и иногда говорили что-то о том, что это «самое простое из возможных».

Фробениус

Связанный: Получение лагранжевой плотности для электромагнитного поля .

Ответы (6)

Форма классического ЭМ-лагранжиана

Связанный: Получение лагранжевой плотности для электромагнитного поля .

луксен · Answer 1

Лагранжиан для электромагнетизма однозначно следует из требования перенормируемости и калибровочной инвариантности (плюс обращение времени четности)

Калибровочная инвариантность U(1)

если вы требуете, чтобы ваш лагранжиан был локально инвариантным относительно операций симметрии унитарной группы U (1), которая находится под

ф \to е^{я α (Икс)} ф

$\phi\to e^{i\alpha(x)}\phi$

все производные $\partial_\mu$ необходимо заменить ковариантной производной $D_\mu = \partial_\mu+ieA_\mu$ , где для сохранения локальной инвариантности введено калибровочное поле. Грубо говоря, это необходимо для того, чтобы сделать поля в разных точках пространства сравнимыми. Поскольку две точки могут иметь произвольную разность фаз из-за того, что мы можем положить $\alpha(x)$ как мы хотим, что-то должно компенсировать эту разницу, прежде чем мы сможем сравнивать поля, что в основном и делает дифференциация. Это похоже на параллельный транспорт в общей теории относительности (математическое ключевое слово — соединение , см. вики: Соединение (вики) Калибровочное поле $A_\mu$ трансформируется как $A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha(x)$ .

Теперь вопрос в том, какие лагранжианы мы можем построить с учетом этого требования. Для материальных (т.е. некалибровочных) полей легко построить калибровочно-инвариантные величины, просто заменив производные ковариантными производными, т.е.

\bar{ψ} \partial_{мю} γ^{мю} ψ \to \bar{ψ} Д_{мю} γ^{мю} ψ

$\bar{\psi}\partial_\mu\gamma^\mu\psi\to \bar{\psi}D_\mu\gamma^\mu\psi$ ,

это даст кинетические члены для поля (часть с нормальной производной) и условия взаимодействия между полями материи и калибровочным полем.

Только термины Gauge-Field

оставшийся вопрос заключается в том, как построить термины, включающие только калибровочное поле и не зависящие от полей (т. е. термины «без источника», о которых идет речь в вашем вопросе). Для этого мы должны построить калибровочно-инвариантные ростки $A_\mu$ .

Один раз $\alpha(x)$ выбирается, мы можем представить, что начинаем с точки и возвращаемся к ней по петле (это называется петлей Уилсона (вики) ). Это обязательно должно быть калибровочно-инвариантным, поскольку любую фазу, которую мы получаем на пути, мы также должны потерять на обратном пути. Оказывается, это именно тот термин $F_{\mu\nu}$ , т.е. напряженность поля. (расчет немного длиннее, см. Peskin & Schroeder, стр. 484). На самом деле это верно только для абелевых симметрий, таких как U (1), для неабелевых, таких как SU (3), мы получим некоторые условия взаимодействия между калибровочными полями, поэтому свет не взаимодействует сам с собой, а глюоны взаимодействуют.

Билинейные массовые термины, такие как $A_\mu A^\mu$ не являются калибровочно-инвариантными (в конце концов, это необходимость механизма Хиггса)

Перенормируемость

Если мы хотим, чтобы наша теория была перенормируемой, мы можем включать члены в лагранжиан только до массовой размерности 4. Теперь, перечисляя все члены до массовой размерности 4, мы приходим к

л знак равно \cdot \bar{ψ} Д_{мю} ψ - м \bar{ψ} ψ - б \cdot Ф_{мю ν} Ф^{мю ν} + г \cdot ϵ^{α β γ дельта} Ф_{α β} Ф_{γ дельта}

$\mathcal{L} = \cdot\bar{\psi}D_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi - b\cdot F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + d\cdot \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}$

последний член включает антисимметричный тензор $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ и, следовательно, не является инвариантным по времени и четности.

Обратите внимание, что мы не включили здесь линейные члены, так как мы все равно будем расширяться вокруг локального минимума, так что линейный член исчезнет.

Вывод

если мы потребуем калибровочную инвариантность U (1) и перенормируемость (массовая размерность до 4), а также временную и четную инвариантность, мы получим только

л знак равно \cdot \bar{ψ} Д_{мю} ψ - м \bar{ψ} ψ - б \cdot Ф_{мю ν} Ф^{мю ν}

$\mathcal{L} = \cdot\bar{\psi}D_\mu\psi - m\bar{\psi}\psi - b\cdot F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

В случае без исходников это

л знак равно - б \cdot Ф_{мю ν} Ф^{мю ν}

$\mathcal{L} = - b\cdot F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

общий фактор $\frac{1}{4}$ не важно.

Qмеханик · Answer 2

Термин Максвелла

\begin{matrix} (1) & л_{М а Икс ж е л л} знак равно - \frac{1}{4} Ф_{мю ν} Ф^{мю ν} \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}_{\rm Maxwell}~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

возникает естественным образом по многим причинам.

1) Чистый ЭМ без материи. Существует очень короткий список специальных релятивистских перенормируемых членов, которые можно поместить в локальную лагранжеву плотность без производных по времени более высокого порядка, и которые калибровочно-инвариантны (вплоть до граничных членов). Среди короткого списка этих кандидатов плотность Лагранжа (1) является единственной (по модулю общего нормировочного коэффициента и по модулю граничных членов), которая приводит к уравнениям Максвелла (без исходных членов). Плотность лагранжиана Борн-инфельда является примером нелокального кандидата.

2) ЭМ, связанная с материей. Дополнительные условия возникают при попытке связать ЭМ с точечными зарядами. Можно возразить, что релятивистский лагранжиан для $n$ точечные сборы $q_1, \ldots, q_n$ , на позициях ${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n$ , на ЭМ фоне задается как

\begin{matrix} (2) & л знак равно - \sum_{я знак равно 1}^{н} (\frac{м_{0 я} с^{2}}{γ (в_{я})} + д_{я} {ф (р_{я}) - в_{я} \cdot А (р_{я})}) . \end{matrix}

$\tag{2} L ~=~ -\sum_{i=1}^n \left(\frac{m_{0i}c^2}{\gamma({\bf v}_i)} +q_i\{\phi({\bf r}_i) - {\bf v}_i\cdot {\bf A}({\bf r}_i)\} \right).$

См. также этот ответ Phys.SE. Этот лагранжиан (2), например, правильно воспроизводит силу Лоренца . Из уравнения (2) это всего лишь небольшой шаг, чтобы заключить, что член взаимодействия ${\cal L}_{\rm int}$ между ЭМ и материей [в $(-,+,+,+)$ соглашение о знаках] имеет вид

\begin{matrix} (3) & л_{я н т} знак равно {Дж}^{мю} А_{мю} . \end{matrix}

$\tag{3} {\cal L}_{\rm int}~=~J^{\mu}A_{\mu}.$

Также напомним, что уравнения Максвелла с источниками

\begin{matrix} (4) & г_{ν} Ф^{ν мю} знак равно - {Дж}^{мю} . \end{matrix}

$\tag{4} d_{\nu} F^{\nu\mu}~=~-J^{\mu}.$

Если действие

\begin{matrix} (5) & С [А] знак равно \int г^{4} Икс л \end{matrix}

$\tag{5} S[A]~=~\int\! d^4x~ {\cal L}$

должен быть разнообразным относительно. в $4$ -калибровочный потенциал $A_{\mu}$ , т.е. $4$ -калибровочный потенциал $A_{\mu}$ являются фундаментальными переменными теории, и если к тому же соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа

\begin{matrix} (6) & 0 знак равно \frac{дельта С}{дельта А_{мю}} \overset{?}{знак равно} г_{ν} Ф^{ν мю} + {Дж}^{мю} \end{matrix}

$\tag{6} 0~=~\frac{\delta S}{\delta A_{\mu}} ~\stackrel{?}{=}~d_{\nu} F^{\nu\mu}+J^{\mu}$

должны воспроизводить уравнения Максвелла (4), быстро становится ясно, что

\begin{matrix} (7) & л знак равно л_{М а Икс ж е л л} + л_{я н т} \end{matrix}

$\tag{7} {\cal L}~=~{\cal L}_{\rm Maxwell}+{\cal L}_{\rm int}$

- подходящая плотность лагранжиана для ЭМ с фоновыми источниками $J^{\mu}$ .

3) Для обсуждения формулировки EM без $4$ -калибровочный потенциал $A_{\mu}$ , см. также этот пост Phys.SE.

Давид Бар Моше · Answer 3

Наиболее экономичный вывод уравнений Максвелла (т. е. зависящий от наименьшего числа постулатов) известен в настоящее время под названием «фейнмановское доказательство уравнений Максвелла». Это «доказательство» было обнаружено Фейнманом в 1948 году, но не было опубликовано, поскольку Фейнман не думал, что оно ведет к новой физике. Только в 1989 году после смерти Фейнмана его доказательство было опубликовано Дайсоном, см . статью Дайсона .

Было обнаружено, что после публикации Дайсоном доказательство Фейнмана содержит очень глубокие идеи геометрии Пуассона . А также его обобщение на неабелев случай приводит к уравнениям Вонга, описывающим движение точечной частицы во внешнем поле Янга - Миллса (см. относится к теории Калуцы-Клейна. Он объясняет различные механические идеи, например явление падающей кошки . Весь предмет известен сегодня под названием субримановой геометрии.

Постулаты доказательства Фейнмана следующие:

Положение и скорость частицы удовлетворяют соотношению канонической скобки Пуассона с положением.
Ускорение заряженной частицы в электромагнитном поле зависит только от положения и скорости.

Только при этих предположениях Фейнман доказал (подробности см. в статье Дайсона), что электромагнитная сила должна удовлетворять закону Лоренца, а электромагнитное поле должно удовлетворять однородным уравнениям Максвелла.

Асфир Дом · Answer 4

Да, аргумент симметрии верен - он должен быть инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований.

Это имеет смысл, но не ясно, что не может быть других лагранжианов, которые также инвариантны.

Джолд · Answer 5

Джолд

Варьируя его относительно четырехпотенциала, мы получаем уравнения Максвелла. Это действительно единственный ответ на вопрос, почему любой классический лагранжиан имеет именно такую форму — потому что он дает правильные уравнения поля.

пользователь21433

Но, конечно, есть и другие лагранжианы, которые делают то же самое. И это не годится в качестве вывода, если предположить, что вы не знали уравнений Максвелла заранее.

Николай-К

@SeanD: Что это такое, о чем ты знаешь заранее? Существуют некоторые инвариантные величины , что касается лагранжианов, конечно, классически может быть более одной, соответствующей уравнениям поля. Примечательная особенность

F^{2}

$F^2$ что она равна плотности энергии

u \propto E^{2} + B^{2} \propto (\vec{\nabla} ϕ)^{2} + . . .

$u\propto E^2+B^2\propto (\vec\nabla\phi)^2+...$ , или работа по сбору электрических зарядов в одном месте.

my2cts · Answer 6

Стандартный лагранжиан — единственная форма, которая

а) дает правильные уравнения движения

б) — скалярная плотность Лоренца

в) калибровочно инвариантна.

Требование а) очевидно. б) требуется, чтобы интеграл действия был лоренц-инвариантным. В моей статье, опубликованной как Eur. физ. JD, том. 8, стр. 9-12 (2000) я показываю, что в) не требуется.

Обратите внимание, что квантование теории требует формализма Гупта-Блейлера, который включает бесконечно малые члены, нарушающие калибровку . Это решает проблему, заключающуюся в том, что калибровка Лоренца или любая другая калибровка не может быть наложена в операторной форме. Это противоречит c), хотя конечный результат не зависит от того, как именно нарушается калибровочная инвариантность. Для укрощения инфракрасных расходимостей требуется бесконечно малая масса фотона, что также нарушает условие калибровочной инвариантности c) (Itzykson & Zuber, стр. 172).

Форма классического ЭМ-лагранжиана

пользователь21433

Фробениус

Ответы (6)

луксен

Калибровочная инвариантность U(1)

Только термины Gauge-Field

Перенормируемость

Вывод

Qмеханик

Давид Бар Моше

Асфир Дом

пользователь21433

Джолд

пользователь21433

Николай-К

my2cts

Эквивалентна ли эта теория КЭД?

Измерение киральной симметрии: существует ли векторное поле, связанное с киральным током?

Взаимодействие для КЭД с заряженными скалярными частицами

Глобальная симметрия U(1)U(1)U(1) 2+1D модели Абеля-Хиггса

Квантование калибровочной теории с минимальной связью

Обоснование калибровки U(1)U(1)U(1) для электромагнетизма?

Зависимость равновременной коммутации электромагнитного поля

Как найти непрерывные преобразования, оставляющие действие неизменным?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Конформная инвариантность действия электромагнитного поля