Фракция ионизации гелия в альтернативе, он доминировал в ранней вселенной

Меня попросили проверить выражение для доли ионизации гелия во Вселенной, в которой гелий преобладает над барионным веществом.

Мне дано, что доля ионизации$X = \frac{n_{He^+}}{n_{He^+}+n_{He}}$с заданной энергией ионизации$Q_{He}$, а плотности чисел по формуле$n_i=g_i(\frac{m_ik_BT}{2\pi \hbar})^{3/2}\exp(-\frac{m_ic^2}{k_BT})$. Также отношение барион-фотон в этом случае равно$\eta=\frac{4(n_{He^+}+n_{He})}{n_\gamma}$.

Я пытаюсь показать, что, собрав все это вместе, я получаю что-то с формой:

$\ln(\frac{1-X}{X^2})=A+\ln(\eta)-B\,\ln(\frac{Q_{He}}{k_BT})+\frac{Q_{He}}{k_BT}$. куда$A$и$B$являются константами.

Когда я все подключил, я получил$\frac{1-X}{X^2}=\frac{n_\gamma}{8}\eta \, \exp(-\frac{Q_{He}}{K_BT})$, который дает:

$\ln(\frac{1-X}{X^2})=\ln(\frac{n_\gamma}{8})+\ln(\eta)+\frac{Q_{He}}{k_BT}$

Любые идеи о том, где я мог ошибиться?