Графическое доказательство неориентируемости вихря SU(2)/Z2SU(2)/Z2SU(2)/\mathbb{Z}_2

я) Исх. 1 использует термин « ориентируемый вихрь» в конкретной ситуации, не предлагая общего определения. Однако в конкретной ситуации Ref. 1 рассматриваются два случая:

1. Вихри помечены аддитивным квантовым числом

   $$n~\in~\mathbb{Z}.$$ ($n=0$соответствует отсутствию вихря.) Так как знак$n$имеет физический смысл, Ref. 1 называет вихри ориентируемыми.

2. Вихри помечены аддитивным квантовым числом

   $$n~\in~ \mathbb{Z} \text{ mod } 2 ~\cong~\{0,1\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$ ($n=0\text{ mod } 2$соответствует отсутствию вихря.) Так как знак$n$не имеет физического смысла, Ref. 1 называет вихри неориентируемыми.

Что касается того, как Реф. 1 в конце главы 2 «делает вывод», что

[...] должны быть магнитные монополи ,

его, скорее всего, следует рассматривать не как математическое доказательство, а просто как закуску/рекламу для следующей главы 3, озаглавленной « Магнитные монополи», где объясняется механизм.

II) Давайте здесь кратко резюмируем главу 3, насколько позволяет место. Рассмотрим классические статические решения$SU(2)$Теория Янга-Миллса в 3+1 измерениях во временной калибровке$A^a_0=0$, а с полем Хиггса$\phi^{\alpha}$превращаясь в$SU(2)$ безответный $R:G\to GL(2I+1,\mathbb{F})$. Поле Хиггса$\phi^{\alpha}$имеет$2I+1$компоненты, где$\alpha=1, \ldots, 2I+1$. Давайте позвоним$I=\frac{1}{2}\mathbb{N}_0$для изоспина. Калибровочный потенциал$A_i^a$преобразуется в присоединенном представлении$Ad$, т.е.$su(2)$-ценный. Здесь$i=1,2,3$является пространственным индексом, и$a=1,2,3$является индексом алгебры Ли. У бозона Хиггса также есть потенциал мексиканской шляпы, чтобы обеспечить ненулевой VEV. $|D\phi|^2$член должен асимптотически обращаться в нуль, чтобы иметь конечную энергию, что, в свою очередь, сильно связывает воедино асимптотическое поведение калибровочного потенциала$A_i^a$и поле Хиггса$\phi^{\alpha}$.

Мы определяем$eI_3$как генератор электрического заряда. Мы будем анализировать только поля в асимптотической области вдали от ядра.

III) Случай полуцелого изоспинового невозвращения. нерепутация$R$сложный и верный . Минимальный ненулевой электрический заряд для полуцелых невозвратов равен$|e|/2$. Условие квантования Дирака гласит, что магнитный заряд должен быть кратен

$$\tag{A} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|/2}~=~\frac{4\pi}{|e|}.$$

Затем механизм Хиггса делает полный калибровочный потенциал массивным и нарушает всю калибровочную симметрию.

$$\tag{B} G~=~SU(2)~\to~ H~=~\{\bf 1\}$$

Нет монополий

$$\tag{C} \pi_2(G/H)~\cong~ \{\bf 1\},$$

ср. например , этот пост mathoverflow. Поэтому мы не будем обсуждать этот случай далее в этом ответе.

IV) Случай целочисленных изоспинов. нерепутация$R$реален, т.е. бозон Хиггса$\phi^{\alpha}\in \mathbb{R}$является вещественным. Ядро иррепа$R$является

$$\tag{D} {\rm Ker}(R)~\cong~\{\pm {\bf 1}\}~\cong~\mathbb{Z}_2.$$

Минимальный ненулевой электрический заряд для целочисленных неповторов равен$|e|$. Условие квантования Дирака гласит, что магнитный заряд должен быть кратен

$$\tag{E} g_m~=~\frac{2\pi}{|e|}.$$

Обратите внимание, что центр$SU(2)$является

$$\tag{F} Z(SU(2))~=~{\rm Ker}(Ad)~\cong~\mathbb{Z}_2.$$

Это означает, что двузначные калибровочные преобразования$\pm g\in SU(2)$иметь четко определенное групповое действие на калибровочный потенциал$A_i^a$а также на поле Хиггса$\phi^{\alpha}$в целочисленном невозврате$R$. Таким образом, калибровочная группа эффективно$^1$

$$\tag{G} SU(2)/\mathbb{Z}_2~\cong~ SO(3)~=~G,$$

и мы будем считать это с этого момента.

Теперь кроме центрального района$C\subset \mathbb{R}^3$где расположены возможные магнитные монополи, мы можем покрыть остальное пространство$\mathbb{R}^3\backslash C$с картой координат «Север» и «Юг», с потенциалом северной и южной колеи,$A_{(N)i}^a$а также$A_{(S)i}^a$, соответственно. Калибровочное преобразование между двумя картами в экваториальном перекрытии (которое гомотопически эквивалентно$S^1$) характеризует (асимптотические особенности) физическую многомонопольную конфигурацию. Топологически экваториальное калибровочное преобразование представляет собой отображение$S^1\to G$, и классифицируется по фундаментальной группе$\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.

V) Далее предполагается, что бозон Хиггса нарушает калибровочную симметрию

$$\tag{H} G~=~SO(3)~\to~ H~=~U(1),$$

так что только абелев калибровочный потенциал$A^3_i$остается безмассовым. [Мы предполагаем, что изоспин$I\neq 0$. За$I=1$группа изотропии$H=U(1)$автоматический. Для более высокого целочисленного изоспина$H=U(1)$происходит только для специальных ВЭУ с повышенной симметрией, в то время как$H=\{\bf 1\}$является общим: монополей нет$\pi_2(G/H)\cong \{\bf 1\}$для общих VEV.] Топологически экваториальное калибровочное преобразование является отображением$S^1\to H$, и классифицируется по фундаментальной группе$\pi_1(H)=\mathbb{Z}$. Без фоновых вихрей возможные конфигурации бозона Хиггса классифицируются как

$$\tag{I} 2\mathbb{Z}~\cong~\pi_2(G/H)~\cong~ {\rm Ker}\left(\pi_1(H)\to \pi_1(G)\right) ~\subseteq~ \pi_1(H)~\cong~\mathbb{Z},$$

ср. Ссылка 2. Таким образом, только кратные магнитному заряду в уравнении. (Е) можно. В 2+1-мерной картине из главы 2 мы допускаем фоновые целочисленные вихри в$x^3$-направления, которые не вынуждены жить в четной части ур. (Я).

Чтобы соприкоснуться с главой 2, обратите внимание, что в главе 2 рассматриваются классические статические решения задачи.$U(1)$Теория Янга-Миллса (также известная как EM ) в 2 + 1 измерениях во временной калибровке$A^3_0=0$, а с комплексом$^2$скаляр Хиггса$\phi^3$. Поля не зависят от$x^3$-направление. В частности, двумерный$A^3_i$-вихрь (2.6) следует отождествлять с экваториальной трубчатой ​​диаграммой на трехмерном изображении. Вихри можно рассматривать как толстые одномерные струны, тогда как магнитные монополи ведут себя скорее как частицы.

Без дополнительного нарушения симметрии$U(1)$симметрии приведенная выше картина соответствует ориентируемым вихрям (1) выше.

VI) Наконец, мы представляем, что мы дополнительно ломаем

$$\tag{J} U(1)~\to~ \{\bf 1\}.$$

Тогда магнитные монополи исчезают$\pi_2(G/\{\bf 1\})\cong \{\bf 1\}$, и вихри становятся неориентируемыми вихрями (2) выше, ср.$\pi_1(G)=\mathbb{Z}_2$.

В зависимости от энергетического масштаба двух нарушений симметрии ориентируемые вихри (1) могут быть квазиустойчивыми до того, как они разрушатся на устойчивые неориентируемые вихри (2), т.е. два вихря могут лопнуть, ср. Рис. 2.7 и Рис. 2.8. Остатки двух вихрей составляют два квазистабильных магнитных монополя, которые имеют чистый приток или отток магнитного потока соответственно.

Использованная литература:

1. G. 't Hooft и F. Bruckmann, Monopoles, Instantons and Confinement, arXiv:hep-th/0010225 .

2. Ф. А. Баис, Быть или не быть? Магнитные монополи в неабелевых калибровочных теориях, arXiv:hep-th/0407197 . (Подсказка: Охотник .)

--

$^1$Далее в разделе 3.6 вводится фермионная материя, которая превращается в фундаментальную$SU(2)$, и, следовательно, различает$SO(3)$а также$SU(2)$.

$^2$Для сравнения с главой 3, в которой$\phi^{\alpha}$как реальное поле, мы выбираем$\phi^3$быть настоящим полем, ср. сноску на с. 15, ака. унитарный калибр.