Имеет ли смысл спрашивать, как ковариантная производная действует на частную производную ∇µ(∂σ)∇µ(∂σ)\nabla_\mu ( \partial_\sigma)? Если да, то каков ответ?

Мой вопрос был бы, почему вы делаете это?

Идея ковариантной производной состоит в том, что она отображает тензор в тензор с еще одним пониженным индексом, удовлетворяя при этом нескольким другим правилам, таким как правило Либница.

Но если у вас есть объект типа$\partial_{a}\ell_{b}$, это уже, в общем-то, не тензор, а у вашего маппинга проблема с доменом.

Если вы пытаетесь вычислить выражение некоторого ряда ковариантных производных в терминах частичных чисел и символов Кристоффеля, вам нужно сделать что-то вроде:

$$\nabla_{a}\nabla_{b}v^{c} = \partial_{a}\left(\nabla_{b}v^{c}\right) - \Gamma_{ab}{}^{d}\nabla_{d}v^{c} + \Gamma_{ad}{}^{c}\nabla_{b}v^{d}\\ $$

И тогда вы можете расширить$\nabla v$сроки нормально. Но вычисление ковариантной производной частичного ничего не значит, за исключением одного случая: когда вы вычисляете производную функции. В таком случае имеем для всех$f$,$\nabla_{a}f = \partial_{a}f$по определению, поэтому не имеет значения, какой из них вы используете.

ОП спрашивает в заголовке (v2):

Имеет ли смысл спрашивать, как ковариантная производная действует на частную производную?$\nabla_\mu ( \partial_\sigma)$?

I) Ну да, в ограниченном смысле, если быть осторожным с обозначениями. Напомним, что частная производная$\partial_{\mu}$может быть истолковано как служащее двойной цели в дифференциальной геометрии: как актуальная производная$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$действующий по функциям, или просто как средство бронирования, как базис, корректно трансформирующийся при изменении местных координат$x^{\mu}$. Чтобы сделать это различие ясным, введем обозначение$b_{\mu}$для последней роли. Тогда мы можем, например, записать векторное поле как

$$X~=~X^{\mu}(x)b_{\mu}.\tag{1}$$ Затем мы можем воспроизвести ковариантное дифференцирование $$X^{\nu}_{;\mu}~=~\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} X^{\lambda}\tag{2}$$ с помощью уловки: ввести формальный дифференциальный оператор первого порядка $$\nabla_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}b_{\nu} \frac{\partial}{\partial b_{\lambda}}.\tag{3}$$ Затем $$\nabla_{\mu}X~\stackrel{(1)+(3)}{=}~\left(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}b_{\nu} \frac{\partial}{\partial b_{\lambda}}\right)(X^{\kappa}b_{\kappa})~=~\left(\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} X^{\lambda}\right)b_{\nu}~\stackrel{(2)}{=}~X^{\nu}_{;\mu}b_{\nu}\tag{4}$$

II) Аналогично, скобка Ли

$$[X,Y]^{\nu} ~=~ X^{\mu}\frac{\partial Y^{\nu}}{\partial x^{\mu}} -Y^{\mu}\frac{\partial X^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\tag{5}$$ векторных полей $$X~=~X^{\mu}b_{\mu} , \qquad Y~=~Y^{\mu}b_{\mu}, \tag{6}$$ может быть воспроизведен скобкой Схоутена-Ниенхейса $$[X,Y]~=~X\left(\stackrel{\leftarrow}{\frac{\partial}{\partial b_{\mu}}}\stackrel{\rightarrow}{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}} - \stackrel{\leftarrow}{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}}\stackrel{\rightarrow}{\frac{\partial}{\partial b_{\mu}}} \right)Y. \tag{7}$$

III) Такой формализм, который различает базисные элементы$b_{\mu}$, может получить дальнейшее развитие в других областях дифференциальной геометрии.

Если вы хотите использовать это для коммутаторов, то либо рассмотрите

$$\nabla_\sigma([k,l]^\mu)=\partial_\sigma[k,l]^\mu+\Gamma^\mu_{\sigma\kappa}[k,l]^\kappa=\partial_\sigma(k^\nu\partial_\nu l^\mu-l^\nu\partial_\nu k^\mu)+\Gamma^\mu_{\sigma\kappa}(k^\nu\partial_\nu l^\kappa-l^\nu\partial_\nu k^\kappa)...$$

и использовать это для дальнейших расчетов, или считать, что для любого соединения без кручения имеем

$$[k,l]^\mu=k^\nu\partial_\nu l^\mu-l^\nu\partial_\nu k^\mu\equiv k^\nu\nabla_\nu l^\mu-l^\nu\nabla_\nu k^\mu,$$ а последнее выражение содержит только термины, которые являются «ковариантными».