Имеют ли полные производные какое-либо отношение к центральным расширениям?

Question

Имеют ли полные производные какое-либо отношение к центральным расширениям?

Физика
алгебра лжи
теория групп
Нётер-теорема
галилеевская теория относительности
лагранжев формализм

пользователь1379857

Недавно я заинтересовался группой Галилея и ее центральным расширением и нашел статью « Квантование группы Ли: поляризации более высокого порядка » Алдайи, Герреро и Мармо.

Прежде чем задать свой вопрос, я дам краткую информацию по теме. Рассмотрим нерелятивистскую частицу, движущуюся в одном измерении. Лагранжиан

л "=" \frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} .

$L = \frac{1}{2} m \dot x^2.$

Галилеев импульс посылает

Икс \mapsto Икс + в т

$x \mapsto x + vt$ или бесконечно мало,

дельта Икс "=" ε т .

$\delta x = \varepsilon t.$ Если

ε

$\varepsilon$ является константой, то

дельта л "=" м \dot{Икс} ε "=" \frac{д}{д т} (м Икс ε)

$\delta L = m \dot x \varepsilon = \frac{d}{dt} ( m x \varepsilon)$ т.е.,

L

$L$ меняется на полную производную. Это означает, что мы можем использовать это изменение симметрии, чтобы найти сохраняющуюся величину по теореме Нётер. (В статье, на которую я ссылался, тот факт, что

L

$L$ изменяется полной производной, называемой «полуинвариантностью»

L

$L$ .)

Если мы сейчас скажем $\varepsilon = \varepsilon(t)$ зависит от времени, мы можем выполнить процедуру Нётер, чтобы найти соответствующую сохраняющуюся величину. Итак, давайте сделаем это. Теперь, когда $\varepsilon$ зависит от времени у нас есть

дельта л "=" м \dot{Икс} \frac{д}{д т} (ε т) "=" м \dot{Икс} ε + м \dot{Икс} \dot{ε} т .

$\delta L = m \dot x \frac{d}{dt} (\varepsilon t) = m \dot x \varepsilon + m \dot x \dot \varepsilon t.$

О решениях уравнений движения имеем

\begin{aligned} 0 & "=" дельта С \\ "=" \int д т дельта л \\ "=" \int д т (м \dot{Икс} ε + м \dot{Икс} \dot{ε} т) \\ "=" \int д т ε \frac{д}{д т} (м Икс - м \dot{Икс} т) \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &= \delta S \\ &= \int dt \delta L \\ &= \int dt \big( m \dot x \varepsilon + m \dot x \dot \varepsilon t \big) \\ &= \int dt \ \varepsilon \frac{d}{dt} \big( mx - m\dot x t\big) \end{align*}$

Потому что $\delta S = 0$ не важно что $\varepsilon(t)$ то есть, мы знаем, что "бустерный заряд"

м \dot{Икс} т - м Икс

$m \dot x t - mx$ сохраняется. Часто это переписывается как

п т - м Икс .

$p t - mx.$ Эта сохраняющаяся величина кажется странной, и ее физическая интерпретация неясна. Я думаю, что лучший способ думать об этом состоит в том, что, когда ваша система имеет галилеевскую буст-инвариантность, ваша частица гарантированно движется с постоянной скоростью. (Буквально говоря,

m x - p t

$mx - pt$ является

m

$m$ умножить на начальное положение вашей частицы в

t = 0

$t = 0$ . Тот факт, что начальное положение можно вычислить таким простым способом, связан с тем, что скорость является постоянной величиной.

p / m

$p/m$ .)

Итак, теорема Нётер — улица с двусторонним движением. В лагранжевом формализме вы можете использовать симметрии для вычисления сохраняющихся величин. В гамильтоновом формализме эти сохраняющиеся величины будут «генерировать» исходную симметрию. Сохраняемое количество $Q$ порождает симметрию, заданную

дельта д_{я} "=" \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}} дельта п_{я} "=" - \frac{\partial Вопрос}{\partial д_{я}} .

$\delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} {\hspace 1 cm} \delta p_i = -\frac{\partial Q}{\partial q_i}.$

Дайте определение «повышенному заряду» $K$ на фазовом пространстве как

К "=" п т - м д .

$K = p t - m q.$ Это генерирует

дельта д "=" \frac{\partial К}{\partial п} "=" т дельта п "=" - \frac{\partial К}{\partial д} "=" м

$\delta q = \frac{\partial K}{\partial p} = t{\hspace 1 cm} \delta p = -\frac{\partial K}{\partial q} = m$ которые действительно являются бесконечно малыми изменениями в

q

$q$ и

p

$p$ по форсированию.

Повышение заряда $K$ имеет интересные отношения с генератором переводов $p$ (импульс). Обратите внимание, что скобка Пуассона из двух является константой $m$ .

{п, К} "=" м

$\{p, K\} = m$ Группа Галилея — это группа перемещений пространства, вращений, перемещений времени и бустов (все симметрии нерелятивистской механики). Ее алгебра Ли имеет центральное расширение, как написано выше. Для квантовой частицы, выполняющей перенос, ускорение, обратный перенос и обратный подъем, остается постоянная фаза, пропорциональная

m

$m$ . (Это также можно рассматривать как предельный случай алегбры Пуанкаре,

[K_{i}, P_{i}] = P_{0}

$[K_i, P_i] = P_0$ , где

P_{0}

$P_0$ это энергия. в

v ≪ c

$v \ll c$ предел,

P_{0} = m

$P_0 = m$ .)

Ладно, преамбула окончена, вот мой вопрос. В статье, на которую я ссылался выше, они, кажется, подразумевают, что «полуинвариантность» бустов (что $L$ изменяется на полную производную, а не на $0$ ) как-то связано с центральным зарядом, но я не могу понять, указана ли конкретная причина.

Кто-нибудь знает, есть ли связь между симметриями, которые меняются $L$ полной производной и центральными зарядами?

Ответы (2)

Имеют ли полные производные какое-либо отношение к центральным расширениям?

пользователь1379857 · Answer 1

Ага. Я понял ответ, и это весьма приятно. (Ответ — да , полные производные имеют прямое отношение к центральным расширениям.) Как ни странно, это восходит к вопросу, который я задал некоторое время назад.

В этом вопросе я показываю, что при крошечном преобразовании, порожденном сохраняющейся величиной $Q$ (который удовлетворяет $\{Q, H\} = 0$ ), лагранжиан $L$ изменится на

дельта л "=" \frac{д}{д т} (п_{я} \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}} - Вопрос) .

$\delta L = \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big).$ (Повторяющийся указатель

i

$i$ неявно суммируется из

1

$1$ к

N

$N$ .) Следовательно, если

Q

$Q$ удовлетворяет

Вопрос "=" п_{я} \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}}

$Q = p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}$ затем

δ L = 0

$\delta L =0$ . За неимением лучшего слова мы будем называть любую функцию

Q

$Q$ удовлетворяющее приведенному выше равенству, является «инвариантной» функцией, поскольку она оставляет

L

$L$ инвариант. Между тем, если

Вопрос \neq п_{я} \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}}

$Q \neq p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}$ затем

δ L

$\delta L$ является полной производной, а не инвариантом.

(Я определил этот термин «инвариантный», чтобы решить поставленный вопрос. Кажется, что «инвариантные» функции имеют довольно много хороших свойств. Кто-нибудь знает, есть ли правильное имя для этих функций, и если больше известно о их?)

Инвариантные функции всегда имеют вид

Вопрос "=" п_{я} ф_{я} (д)

$Q = p_i f_i(q)$ для произвольных функций положения

f_{i} (q)

$f_i(q)$ . Импульс

(Q = p)

$(Q = p)$ и угловой момент

(Q = p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})

$(Q = p_1 q_2 - p_2 q_1)$ являются примерами инвариантных функций. Случайный гамильтониан

(Q = H)

$(Q = H)$ не является инвариантом, и в этом случае

δ L = \frac{d}{d t} L

$\delta L = \tfrac{d}{dt} L$ , как и ожидалось.

Позвольте мне теперь дать краткий обзор симплектической геометрии. На любое количество $Q$ , мы можем сделать его гамильтоновым векторным полем $X_Q$ , определяемый как

{Икс}_{Вопрос} "=" - \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}} \partial_{д_{я}} + \frac{\partial Вопрос}{\partial д_{я}} \partial_{п_{я}} .

$X_Q = -\frac{\partial Q }{\partial p_i} \partial_{q_i} + \frac{\partial Q }{\partial q_i} \partial_{p_i}.$ Это удовлетворяет

{Икс}_{Вопрос} "=" {Вопрос, \cdot} .

$X_Q = \{ Q, \cdot \}.$ Из тождества Якоби

{{г, час}, ф} + {{час, ф}, г} + {{ф, г}, час} "=" 0

$\{ \{g, h\}, f \} + \{ \{h, f\}, g \} + \{ \{f, g\}, h \} = 0$ который можно переставить так, чтобы

{{г, час}, ф} "=" {г, {час, ф}} - {час, {г, ф}}

$\{ \{g, h\}, f \} = \{g, \{h, f\} \} - \{ h, \{g, f\} \}$

{Икс}_{{г, час}} (ф) "=" {Икс}_{г} ({Икс}_{час} (ф)) - {Икс}_{час} ({Икс}_{г} (ф))

$X_{ \{g, h\} } (f) = X_g (X_h (f) ) - X_h (X_g (f))$

{Икс}_{{г, час}} "=" [{Икс}_{г}, {Икс}_{час}] .

$X_{ \{g, h\} } = [X_g, X_h].$ Так

Q \mapsto X_{Q}

$Q \mapsto X_Q$ является гомоморфизмом алгебры Ли, в котором скобка Пуассона отправляется в скобку Ли. Обратите внимание, что константная функция отправляется в

0

$0$ векторное поле, которое является источником того, как алгебра Ли векторных полей становится централизованно расширенной.

Мы определяем симплектическую форму как

ю "=" д д_{я} \land д п_{я} .

$\omega = d q_i \wedge d p_i.$ Обратите внимание, что

ю ({Икс}_{ф}, \cdot) "=" д ф

$\omega(X_f, \cdot) = df$ и поэтому

ю ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) "=" {ф, г} .

$\omega(X_f, X_g) = \{f, g\}.$

Все, обзор закончен. Какое это имеет отношение к нашим «инвариантным» функциям? Заметим, что 1-форма

θ "=" п_{я} д д_{я}

$\theta = p_i d q_i$ удовлетворяет

ю "=" - д θ .

$\omega = - d \theta.$ Поэтому его называют «симплектическим потенциалом». Его отношение к нашей истории заключается в том, что

\begin{aligned} θ ({Икс}_{Вопрос}) & "=" п_{я} д д_{я} (- \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{Дж}} \partial_{д_{Дж}} + \frac{\partial Вопрос}{\partial д_{Дж}} \partial_{п_{Дж}}) \\ "=" - п_{я} \frac{\partial Вопрос}{\partial п_{я}} \end{aligned}

$\begin{align*} \theta (X_Q) &= p_i dq_i \big( -\frac{\partial Q }{\partial p_j} \partial_{q_j} + \frac{\partial Q }{\partial q_j} \partial_{p_j} \big) \\ &= - p_i \frac{\partial Q }{\partial p_i} \end{align*}$ Таким образом, мы видим, что инвариантные функции удовлетворяют

Вопрос "=" - θ ({Икс}_{Вопрос}) .

$Q = - \theta (X_Q).$

Теперь поговорим о центральных расширениях. Как обсуждалось в этом другом вопросе , $\omega(X_f, X_g)$ , оцененный в произвольной точке $m_0$ , дает нам центральное расширение векторных полей обратно к функциям в фазовом пространстве. Неопределенность в выборе $m_0$ отражает неоднозначность добавления «границы 1-коцикла к нашему центральному расширению», т. е. линейной функции $b([X_f, X_g])$ . Это потому что

\begin{aligned} ю ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}], \cdot) & "=" ю ({Икс}_{{ф, г}}, \cdot) \\ "=" д ({ф, г}) \end{aligned}

$\begin{align*} \omega( [X_f, X_g], \cdot ) &= \omega( X_{\{f, g\} }, \cdot ) \\ &= d (\{f, g\} ) \end{align*}$ и так

\begin{aligned} б ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}]) & "=" \int_{м_{0}}^{м_{1}} ю ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}], \cdot) \\ "=" \int_{м_{0}}^{м_{1}} д ({ф, г}) \\ "=" {ф, г} |_{м_{1}} - {ф, г} |_{м_{0}} \\ "=" ю ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) |_{м_{1}} - ю ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) |_{м_{0}} \end{aligned}

$\begin{align*} b([X_f, X_g]) &= \int_{m_0}^{m_1} \omega( [X_f, X_g], \cdot ) \\ &= \int_{m_0}^{m_1}d (\{f, g\} ) \\ &= \{f, g\}\biggr\rvert_{m_1} - \{f, g\}\biggr\rvert_{m_0} \\ &= \omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_1} - \omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_0} \end{align*}$ по желанию.

Претензия: если $f$ и $g$ являются инвариантными функциями, т. е. удовлетворяют

ф "=" - θ ({Икс}_{ф}) г "=" - θ ({Икс}_{г}),

$f = - \theta(X_f) \hspace{1 cm} g = - \theta(X_g),$ затем

{ф, г}

$\{f, g\}$ также является инвариантной функцией.

Доказательство 1 (для младенцев): мы знаем, что можем писать

ф "=" п_{я} ф_{я} (д) г "=" п_{я} г_{я} (д)

$f = p_i f_i(q) \hspace {1 cm} g = p_i g_i(q)$ для некоторых функций

f_{i} (q)

$f_i(q)$ и

g_{i} (q)

$g_i(q)$ которые являются только функциями

q

$q$ . Простое вычисление дает

{ф, г} "=" п_{я} (ф_{я}^{'} г_{я} - ф_{я} г_{я}^{'}) .

$\{f, g\} = p_i (f_i' g_i - f_i g_i').$ Потому что

(f_{i}^{'} g_{i} - f_{i} g_{i}^{'})

$(f_i' g_i - f_i g_i')$ является лишь функцией

q

$q$ , мы видим, что

{f, g}

$\{f, g\}$ также является инвариантным.

Доказательство 2 (для взрослых): используя выражение без координат для внешней производной,

\begin{aligned} {ф, г} & "=" ю ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) \\ "=" - д θ ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) \\ "=" - ({Икс}_{ф} (θ ({Икс}_{г})) - {Икс}_{г} (θ ({Икс}_{ф})) - θ ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}])) \\ "=" {Икс}_{ф} (г) - {Икс}_{г} (ф) + θ ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}]) \\ "=" 2 {ф, г} + θ ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \{f, g\} &= \omega(X_f, X_g) \\ &= - d \theta (X_f, X_g) \\ &= - \Big( X_f (\theta(X_g) ) - X_g (\theta(X_f)) - \theta([X_f, X_g]) \Big) \\ &= X_f(g) - X_g(f) + \theta([X_f, X_g]) \\ &= 2 \{f, g\} + \theta([X_f, X_g]) \end{align*}$ что подразумевает

{ф, г} "=" - θ ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}]) "=" - θ ({Икс}_{{ф, г}})

$\{f, g\} = - \theta([X_f, X_g]) = - \theta(X_{\{f, g\} })$ показывая

{f, g}

$\{f, g\}$ инвариантно, что и требовалось.

Претензия: если $f$ и $g$ являются инвариантными функциями, то $\omega(X_f, X_g)$ можно представить в виде некоторой линейной функции $[X_f, X_g]$ , и, следовательно, является «границей 1-коцикла» и, следовательно, является тривиальным центральным расширением. (Следовательно, центральное расширение двух инвариантных функций (функций, не меняющих $L$ полной производной) всегда тривиально, как я и подозревал!)

Доказательство: потому что $\{f, g\}$ также является инвариантным,

\begin{aligned} ю ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) & "=" {ф, г} \\ "=" - θ ({Икс}_{{ф, г}}) \\ "=" - θ ([{Икс}_{ф}, {Икс}_{г}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \omega(X_f, X_g) &= \{f, g\} \\ &= - \theta ( X_{ \{f, g\} } ) \\ &= - \theta ( [X_f, X_g ] ) \end{align*}$ тем самым завершая доказательство.

Кстати, если вы выберете базовую точку $m_0$ быть источником, где все $p_i = 0$ , то оцениваемая симплектическая форма есть $0$ если оба $f$ и $g$ инвариантны, что дает нам явное понимание того, что центральный заряд действительно равен нулю:

ю ({Икс}_{ф}, {Икс}_{г}) |_{м_{0}} "=" {ф, г} |_{м_{0}} "=" п_{я} (ф_{я}^{'} г_{я} - ф_{я} г_{я}^{'}) |_{м_{0}} "=" 0.

$\omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_0} = \{f, g\}\biggr\rvert_{m_0} = p_i (f_i' g_i - f_i g_i')\biggr\rvert_{m_0} = 0.$

Теперь мы разработали симпатичную маленькую теорию этих «инвариантных» функций. Мы видим, что центральное расширение, возникающее из скобки Пуассона любых двух инвариантных функций, всегда тривиально. Следовательно, если любые две функции ДЕЙСТВИТЕЛЬНО получают центральное расширение, то одна из двух функций не может быть инвариантной. Например, $\{q, p\} = 1$ подразумевает, что один из $q$ или $p$ не может быть инвариантным. И, конечно же, очевидно $q$ то есть неинвариантный. Аналогично, в случае $\{K, p\} = m$ , мы видим, что $K$ также не является инвариантной функцией, поскольку она заменяет лагранжиан полной производной.

(Разве не кажется, что эта история имеет отношение к истории о центральном заряде Брауна Хенно? Маленькие диффеоморфизмы не развивают центральный заряд, а большие — делают.)

«инвариант» = однородный степени 1?

Qмеханик · Answer 2

Квазисимметрия галилеевых бустов и центральное расширение алгебры Галилея в алгебру Баргмана обсуждается, например, в работах [11] . 1-2 и этот пост Phys.SE.

FWIW, неверно, что любая квазисимметрия связана с центральным расширением. Контрпример: рассмотрим квазисимметрию $\delta x^k=\varepsilon \dot{x}^k$ лагранжиана $L(x,\dot{x})=\frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)$ . Сохраняющееся количество - это просто энергия, т.е. $H$ в гамильтоновой формулировке.

Использованная литература:

В. Алдайя, Дж. Герреро и Г. Мармо, Квантование на группе Ли: поляризации высшего порядка, arXiv: Physics/9710002 ; п. 6-8.
Р. Андринга, Э. Бергшофф, С. Панда и М. де Ру, Ньютоновская гравитация и алгебра Баргмана, arXiv:1011.1145 ; п. 11.

В вопросе, на который вы ссылаетесь, Давид Бар Моше указывает, что повышения не покидают $\theta = p dq$ инвариант. Я думал, что, возможно, это как-то связано с алгеброй предварительного квантования. $Q(f) = - i \hbar X_f - \theta(X_f) + f$ которое является центральным расширением алгебры Ли векторных полей.

Имеют ли полные производные какое-либо отношение к центральным расширениям?

пользователь1379857

Ответы (2)

пользователь1379857

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

пользователь1379857

Теорема Нётер с полугруппой симметрии вместо группы

Можем ли мы записать массу МММ, инвариант Казимира группы Галилея, как функцию ее образующих?

Что такое «нарушение симметрии»?

Существует ли супертеорема Нётер?

Вопрос об алгебре зарядов Нётер

Алгебра Ли осевых зарядов

Почему бесконечно малых сдвигов достаточно, чтобы доказать, что симметрия выполняется?

Следует ли из инвариантности относительно бесконечно малого преобразования инвариантность к конечному преобразованию?

SO(N)SO(N)SO(N) симметричная теория реальных скалярных полей NNN, почему заряды имеют правильные коммутационные соотношения образующих?

Теорема Нётер: группы Ли против алгебр Ли; конечные и бесконечно малые симметрии