Интуиция за крутящим моментом, инерцией вращения и угловым моментом

Отправной точкой не должна быть попытка связать физику вращательного движения с поступательным, скорее вы должны попытаться найти некоторую сохраняющуюся величину для вращательного движения и вывести оттуда законы.

Давайте сделаем шаг назад, глядя на законы Ньютона, давайте подумаем о том, что они на самом деле говорят, и попробуем свести это к чистейшему физическому принципу; и это закон сохранения импульса. Первый закон Ньютона гласит, что когда система изолирована, ее импульс сохраняется, а комбинация Второго и Третьего законов заключается в том, что при взаимодействии многих систем сумма их импульсов сохраняется.

Мы находим, что при анализе вращательного движения сохраняется величина углового момента; это физический факт. Угловой момент измеряется относительно точки вращения и может быть определен для точечной массы, а затем распространен на все другие формы и распределения масс посредством линейности (т.е. интегрирования). Эта сохраняющаяся величина углового момента равна:$L=mvr=mr^2\omega$.

Именно с этого момента мы проводим связь между вращательным и угловым движением.$p=mv$и$L=mr^2 \omega$,$F=\frac{d}{dt}p=m\frac{d}{dt}v$и$\tau=\frac{d}{dt}L=mr^2 \frac{d}{dt}\omega$. Аналог Силы — это новая вещь, которую мы определили$\tau$что такое Крутящий момент, а аналог массы вот эта обновка$mr^2$что есть момент инерции.

Должен отметить, что существование этих сохраняющихся величин не является случайным или совершенно необъяснимым, они являются следствием симметрии или инвариантности в «нашем мире». Это то, что известно как теорема Нётер, если вам интересно дальнейшее чтение.

На самом деле изменение скорости больше, когда крутящий момент прикладывается дальше от центра вращения.

Вы считали, что ваша вращательная инерция (I') изменяется в зависимости от r, но она постоянна для данного тела, поскольку аналогична массе.

Поскольку момент инерции (I) постоянен, а угловая скорость зависит от точки приложения силы, то в качестве rF необходимо принять момент

Вы просите о чем-то более глубоком, чем «это хорошо работает»

Угловой момент согласно стандартному определению удовлетворяет критерию согласованности. Эта согласованность заключается в следующем: всякий раз, когда объект находится в угловом движении, вы можете определить мгновенную касательную линию, и движение вдоль этой линии является линейным движением.

Возьмем, к примеру, кинетическую энергию. Вам нужна согласованность между кинетической энергией вращения и линейной кинетической энергией.

Для объекта, совершающего кругосветное движение с угловой скоростью$\omega$соответствующая линейная скорость равна$\omega r$

Отношение$v=\omega r$является геометрическим утверждением, а не физическим утверждением. Если вы принимаете евклидову геометрию, вы должны принять$v=\omega r$

Чтобы быть самодостаточным:

Объект, совершающий кругосветное плавание, обладает определенной кинетической энергией (это кинетическая энергия относительно инерциальной системы координат, стационарной относительно центра кругосветного плавания). Если ограничение, поддерживающее кругосветное движение, мгновенно снимается, движение объекта мгновенно изменяется от кругосветное движение к прямолинейному движению. Для согласованности мы должны по-прежнему приписывать этому движению одну и ту же кинетическую энергию (кинетическую энергию относительно инерциальной системы координат, стационарной относительно того, что мгновение назад было центром кругосветного плавания).

линейная кинетическая энергия:$\tfrac{1}{2}mv^2$

кинетическая энергия вращения$\tfrac{1}{2}m(r \omega)^2$

Если радиальное расстояние постоянно, мы можем изменить радиальное расстояние$r$вне круглых скобок

кинетическая энергия вращения$\tfrac{1}{2}(m r^2) \omega^2$

Ограничение — самосогласованность.
Идея состоит в том, чтобы создать условия, при которых происходит мгновенный переход от углового движения к прямолинейному; кинетическая энергия, которую вы приписываете движению, должна оставаться неизменной.

Вы как бы должны отвергнуть аналогию, чтобы понять вещи глубже.

Линейный и угловой импульс не являются двумя отдельными вещами, а существуют вместе, чтобы описать общее состояние импульса твердого тела. Подобно тому, как линейная и угловая скорости существуют вместе, описывая два качества движения тела. На самом деле, сила и крутящий момент также существуют вместе, чтобы описать нагрузку на тело.

1. Вы можете думать о том, как сила смещения$\boldsymbol{F}$вызывает крутящий момент относительно контрольной точки$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$.

2. Или скорость тела из-за вращения$\boldsymbol{\omega}$через точку смещения$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}$.

3. Наконец, угловой момент частицы с импульсом$\boldsymbol{p}$по смещенной траектории$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$

Ключевым моментом здесь является то, что с приведенным выше смещением$\boldsymbol{r}$и некоторое количество$\boldsymbol{A}$и мы вычисляем момент этой величины$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{A}$. Таким образом, крутящий момент — это момент силы, угловой момент — это момент количества движения, а скорость — это момент вращения.

Но это может работать и в обратную сторону. Момент количества$\boldsymbol{M}$можно использовать и сказать нам, где в пространстве вектор$\boldsymbol{A}$хоть и применяется. Это делается с

Таким образом, учитывая пары величин ниже, мы находим, где они действуют.

1. Крутящий момент$\boldsymbol{\tau}$представляет собой смещение$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}}{F^2}$где сила$\boldsymbol{F}$действует через.

2. скорость$\boldsymbol{v}$представляет собой смещение$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}}{\omega^2}$где вращение$\boldsymbol{\omega}$действует через.

3. Угловой момент$\boldsymbol{L}$представляет собой смещение$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}}{p^2}$где импульс$\boldsymbol{p}$действует через.

Величины момента описывают геометрию ситуации . Направление и величина величины описываются ее вектором, но там, где этот вектор существует в пространстве, он описывается исключительно моментом величины.

Позвольте мне пояснить, что означает ось, на которой действует импульс. У частицы эта ось проходит через центр масс, а у твердого тела — нет. Иногда это называют осью удара, и она представляет точную точку и направление в пространстве, где, если вы ударите объект, вы можете удалить все его движение (перемещение и вращение).

Пример

Подумайте о кувыркающемся стержне в космосе, который приближается к вам, и вы хотите его остановить. Если вы ударите его по центру масс, вы остановите его перемещение в пространстве, но не его вращение. Чтобы остановить как перемещение, так и вращение, вам нужно нажать его в определенном месте, заданном формулой выше.

Если в какой-то момент комбинированное движение приведет к тому, что ось вращения окажется на расстоянии$c$от центра масс, а тело имеет радиус вращения$\kappa$, то точка удара$x$находится по другую сторону центра масс от оси вращения на расстоянии

Этот расчет является чисто геометрическим, поскольку он включает только расстояния и может быть легко получен с использованием приведенного выше векторного выражения.

В классическом понимании сила — это внешнее воздействие, стремящееся изменить состояние покоя или равномерного движения тела.

Крутящий момент — это вращательный аналог силы, стремящейся вращать тело. Теперь, почему не принимается во внимание только тангенциальная сила? Это связано с тем, что тангенциальная сила сообщает телу только тангенциальное ускорение и не меняет его направления, что необходимо для углового движения. Для изменения направления также требуется центростремительное ускорение.

В теле, совершающем прямолинейное движение, масса тела является мерой его инерции. Чем массивнее тело, тем больше инерция. Но для вращающегося тела чем больше масса сосредоточена около оси вращения, тем меньше инерция.

Крутящий момент увеличивается с увеличением$r$потому что для поворота тела требуется меньшая сила на единицу расстояния, и, следовательно, для поворота объекта требуется меньшая мощность.

Рассмотрим тонкий безмассовый стержень с осью без трения на одном конце. Стержень поддерживает точечную массу (m) на расстоянии (r) от оси. Сила (F) (перпендикулярная стержню и оси) давит на стержень на расстоянии (R) от оси, вызывая угловое ускорение (α) и угловое смещение (θ). Работа силы (действующей по дуге) F(Rθ) передается стержнем точечной массе, (ma)(rθ) = (mrα)(rθ). Приравнивая их и деля на (θ), получаем: FR = (m$r^2$)α или τ = Iα. Эта логика может быть распространена на любое количество сил и масс и дает наилучшее определение: «Крутящий момент — это работа на единицу угла поворота (в джоулях/радианах), которая может быть выполнена силой, действующей таким образом, чтобы вызвать ротация». Обратите внимание, что для этого требуется тангенциальная составляющая силы (и расстояние).