Используйте подалгебру Картана в спинорном представлении, чтобы найти веса векторного представления

Для$SO(2n)$мы можем построить элементы алгебры Ли, используя антисимметричные комбинации$\gamma_\mu$которые подчиняются алгебре Клиффорда.

С точностью до некоторого префактора элементы$S_{\mu \nu} = \alpha [\gamma_\mu , \gamma_\nu]$можно использовать как генераторы. Тогда мы можем отождествить подалгебру Картана с элементами$H_i = S_{(2i-1)(2i)}$.

Теперь я хотел бы использовать это, чтобы найти вес элемента ($A_\mu)$в векторном представлении$SO(2n)$. Для этой цели я использовал$\gamma_\mu$основе и попытался найти веса для$A_\mu \gamma^\mu$.

Проблема в том, что некоторые элементы алгебры Картана просто коммутируют с частями$A_\mu \gamma^\mu$сумма. Например:

$H_2 (A_1 \gamma^1) = (2 \alpha \gamma_3 \gamma_4) \cdot (A_1 \gamma^1) = (2 \alpha ) \cdot (A_1 \gamma^1) \gamma_3 \gamma_4$

после замены 2$\gamma$дает коэффициент$(-1)^2$. Повышение и понижение индексов не имеет значения, поскольку метрика алгебры Клиффорда евклидова ($\delta ^{\mu \nu}$).

Но эти части должны скорее стремиться к нулю, чтобы получить линейное действие от$H$на векторном представлении.

Что не так с подходом выше? или должно работать? Есть ли способ обосновать, что коммутация соответствует нулевому элементу (или нулевому весу, если она коммутирует с wohle$A_\mu \gamma^\mu$)?