Изменяет ли введение калибровочного поля в лагранжиан комплексной скалярной теории поля его динамику?

Это действительно так, и это то, что называется калибровочным принципом. Это говорит нам, что если мы сделаем глобальную симметрию локальной, нам нужно добавить соответствующее калибровочное поле так, чтобы полный лагранжиан по-прежнему оставался инвариантным при этом локальном калибровочном преобразовании. Это новое динамическое поле, которое имеет свои собственные уравнения движения и может связываться с фермионом, что приводит к взаимодействиям.

В этом случае исходный лагранжиан инвариантен относительно$U(1)$как$\psi \to \psi e^{i \alpha}$, обратите внимание, что также$\partial_\mu \psi \to \partial_\mu \psi e^{i \alpha}$. Мы говорим, что эти поля преобразуются в фундаментальном представлении$U(1)$.

Теперь, сделав наше преобразование локальным:$\alpha \equiv \alpha(x)$это легко увидеть$\partial_\mu \psi \not\to \partial_\mu \psi e^{i \alpha(x)}$
Чтобы объяснить это, поскольку мы все еще хотим, чтобы наше поле преобразовывалось в фундаментальное представление, мы должны ввести калибровочное поле$A_\mu(x)$и ковариантная производная$\mathcal{D}_\mu$такой, что$\mathcal{D}_\mu \psi \to \mathcal{D}_\mu \psi e^{i\alpha(x)}$. Это последнее преобразование диктует, как$A_\mu(x)$должен трансформироваться.

Как упоминалось в некоторых комментариях, лагранжианы

$$\mathcal{L}=(\partial^\mu\psi)^\dagger(\partial_\mu\psi)-m^2\psi^\dagger\psi$$ и $$\mathcal{L}=(D^\mu\psi)^\dagger(D_\mu\psi)-m^2\psi^\dagger\psi+\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ представляют различные теории, каждая со своими свойствами.

Обычный способ мотивировать переход от «некалибровочной» теории к «калибровочной» состоит в том, чтобы отметить, что если мы хотим инвариантности относительно преобразования$\psi\rightarrow e^{i\alpha}\psi$для$\alpha=\alpha(x)$произвольная действительная функция, затем берется лагранжиан, уже инвариантный в особом случае, когда$\alpha$является константой и заменяет все производные от$\psi$ковариантными производными$D_\mu$, было бы достаточно, чтобы построить лагранжиан, также инвариантный относительно локальных преобразований.

Однако есть и другой взгляд на вещи, который может показаться немного менее случайным. Хотя эта точка зрения может быть описана в терминах этого примера$\psi$полей, немного естественнее начать с примера векторного поля.

Итак, предположим, что$V^a$являются компонентами некоторого векторного поля - обратите внимание, что это только компоненты. Само векторное поле, то есть абстрактный объект, инвариантный относительно изменений координат,$V=V^a\boldsymbol{e}_a$где$\boldsymbol{e}_a$образуют основу векторов в каждой точке пространства (технически называемые полями кадра). Например, в двух измерениях мы могли бы взять$\boldsymbol{e}_0=\boldsymbol{\hat r}$и$\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{\hat \theta}$.

Теперь ключевое предположение состоит в том, что физика нашей системы не должна зависеть от базисных векторов, которые мы выбираем для представления наших векторных полей, то есть, если мы перейдем к декартовым единичным векторам вместо полярных единичных векторов, компоненты$V^a$конечно, нужно было бы изменить, но объект$V=V^a\boldsymbol{e}_a$не должна.

Поскольку любое изменение базисных векторов$\boldsymbol{e}_a$будет (линейной) картой из линейного пространства в себя, они могут быть представлены матрицами$U^a_b$поэтому при изменении базиса мы бы имели$\boldsymbol{e}^\prime_a=U^b_a\boldsymbol{e}_b$. Если мы действительно будем независимы от векторов базиса, мы сможем выполнять такое преобразование по точкам, эти матрицы изменения базиса могут иметь произвольную зависимость от точки пространства-времени,$U^a_b=U^a_b(x)$. Для того чтобы$V$чтобы быть независимыми от этих изменений, компоненты должны преобразовываться обратно$U$,$V^{\prime\,a}=U^{-1\, a}_b V^b$.

Наконец, теперь мы хотим построить наш лагранжиан из$V$и его производные. Пока у нашего многообразия есть метрика, мы можем строить сколь угодно высокие производные из дифференциала$d$и двойственный по Ходжу$*$. Если мы вычислим дифференциал$V$с точки зрения компонентов, мы найдем

$$dV=(dV^a)\boldsymbol{e}_b+V^a(d\boldsymbol{e}_b).$$ Дифференциал компонентов прост, потому что все они$0$-формы (скаляры) и т.д.$d V^a=\partial_\nu V^adx^\nu$. Для дифференциала базисных векторов мы можем сначала отметить, что результат должен

а) быть 1-формой

б) снова быть некоторой комбинацией единичных векторов.

Эти два утверждения вместе подразумевают, что дифференциал должен иметь общий вид

$$d\boldsymbol{e}_a=(A_\mu)_a^b\boldsymbol{e}_bdx^\mu$$ где$A_{\mu\,b}^a$— некоторая неизвестная функция с наводящим на размышления названием. Возвращая этот результат к расчету$dV$, мы нашли $$dV=\partial_\mu V^a\boldsymbol{e}_adx^\mu+V^aA_{\mu\,a}^b\boldsymbol{e}_bdx^\mu.$$ Собирая дифференциалы, единичные векторы и компоненты вместе, это становится $$dV=\boldsymbol{e}_adx^\mu(\delta^a_b\partial_\mu+A_{\mu\,b}^a)V^b=\boldsymbol{e}_adx^\mu(D_\mu)^a_bV^b.$$ В последней строке мы определили ковариантную производную$D$. Это немного отличается от ковариантной производной в вопросе общим масштабированием$A$($iq$), которые могли бы быть включены в наше определение$A$.

Это выражение также немного отличается от того, что в вопросе, дополнительными индексами$a$и$b$плавает вокруг. В случае комплексного скалярного поля мы имеем дело не с вектором, а с некоторым объектом$\tilde \psi=\psi z$где сейчас$z$какое-то комплексное число с$|z|=1$. Теперь это играет роль нашего$\boldsymbol{e}$проигрывался ранее (но не имеет индексов).

С$z$должен иметь модуль 1, мы можем только преобразовать к новому$z$к$z^\prime=e^{iq\alpha}z$где$\alpha=\alpha(x)$таким же образом замена базовой матрицы$U$было позволено варьироваться от пункта к пункту (и$q$введено для удобства). Так как на нем нет индексов$z$, наш расчет дифференциала даст

$$d\tilde \psi=dx^\mu zD_\mu\psi=dx^\mu z(\partial_\mu+iqA_\mu)\psi.$$

В качестве забавного примечания обратите внимание, что если в примере с вектором мы переименовали$A$к$\Gamma$и вместо этого назвали бы калибровочный потенциал символом Кристоффеля, мы немедленно воспроизвели бы ковариантную производную из общей теории относительности.