Как долго я должен ждать, чтобы заварить чай?

$$T(t) = T_{env} + (T(0) -T_{env})e^{-t/\tau}\tag{1}$$

Найти$\tau$нам нужно немного «распаковать» закон охлаждения Ньютона. Закон гласит:

$$\dot{Q}=hA[T(t)-T_{env}]$$

(проверьте по вашей ссылке значение символов)

Мы также знаем, что:

$$\dot{Q}=-mc_p\frac{\text{d}T(t)}{\text{d}t}$$

В сумме получаем:

$$\frac{\text{d}T(t)}{\text{d}t}=-\frac{hA}{mc_p}[T(t)-T_{env}]$$

Часто мы тогда заявляем, что:

$$\frac{1}{\tau}=\frac{hA}{mc_p}$$

Интеграция тогда дает$(1)$.

$A$,$m$и$c_p$легко определить, но$h$сложнее. Обычно табличные значения$h$для разных ситуаций можно дать приблизительную оценку.

$\tau$можно также определить экспериментально из относительно простых домашних экспериментов.

---

Более простым и точным способом регулирования температуры может быть смешивание воды двух известных температур в правильном соотношении.

Например, скажем, у нас есть масса$m_H$кипяченой воды (при$T_H$). К нему мы теперь добавляем массу$m_C$холодной воды (например, ледяной воды при$T_C$).

В предположении, что смешение было адиабатическим, конечная температура$T_F$тогда приблизительно определяется как:

$$m_HT_H+m_CT_C\approx (m_H+m_C)T_F$$

Эту формулу можно использовать для определения$m_C$как функция всех остальных переменных$T_F$,$m_H$,$m_C$и$T_C$.

Вы можете ввести дополнительное ограничение, например:

$$m_H+m_C=M$$

где$M$было бы полным содержимым сосуда, как кружка или чайник.