Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Question

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Алу

Извините за расплывчатое название, но, пожалуйста, прочитайте мой вопрос ниже

Представьте себе твердое тело b с хвостом t из точечной массы , прикрепленным к его спине в суставе J . Хвост имеет 1 степень свободы и может приводиться в действие двигателем с осью вращения M (параллельной оси рыскания). Вся система находится в свободном пространстве (т. е. без действия гравитации и сопротивления воздуха) и находится в состоянии покоя (т. е. нулевой начальный угловой/линейный момент и отсутствие внешней силы/моментного момента).

Также предположим, что ЦМ системы расположен в шарнире J , а хвост совмещен с осью крена корпуса.

Изменить: предполагается, что COM тела находится в точке b .

Начальная конфигурация показана ниже на изображении:

Теперь, если хвост вращается, тело будет вращаться в противоположном направлении, так как внешний вращающий момент не будет приложен, и угловой момент сохранится (т.е. равен нулю). Так как внешняя сила не действует, положение ЦМ системы не изменится, т.е. соединение J будет статично. Это должно выглядеть как -

Но тогда не окажется ли новый ЦМ системы в точке J' (поскольку ЦМ системы должен находиться на линии, соединяющей центр масс тела и хвоста). Разве это не неправильно?

Мой вопрос, почему это происходит? Как должны вращаться тело и хвост, чтобы выполнялись условия сохранения углового момента (без внешнего крутящего момента) и центра масс (без внешней силы).

Если возможно, ответьте соответствующими уравнениями. Кроме того, пожалуйста, объясните диаграммой, показывающей положение тела, хвоста, шарнира J и COM системы, предполагающей ту же начальную конфигурацию.

Билл Н

Как вы пришли к новой позиции COM на диаграмме? Почему вы считаете это правильным или неправильным?

Алу

@BillN Я предположил, что COM тела находится в точке b [рис. 1]. Тогда ЦМ системы должен находиться на линии, соединяющей центр масс тела и хвоста.

Билл Н

Почему вы нарисовали COM как движущийся? Почему вы сохранили нижний угол массы коробки на том же уровне?

y

$y$ местоположение (если

y

$y$ на вашей диаграмме вертикально)?

Алу

ЦМ системы из начального состояния находится в точке J. Значит, тело будет вращаться вокруг J. Так как ЦМ системы не должен двигаться (нет внешних сил). Но затем, если мы снова рассчитаем COM системы, он будет равен J' (как объяснялось ранее). Что касается нижнего угла, то он немного сместился (не видно на рисунке должным образом), J зафиксирован.

Ответы (3)

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Как вы пришли к новой позиции COM на диаграмме? Почему вы считаете это правильным или неправильным?
@BillN Я предположил, что COM тела находится в точке b [рис. 1]. Тогда ЦМ системы должен находиться на линии, соединяющей центр масс тела и хвоста.
Почему вы нарисовали COM как движущийся? Почему вы сохранили нижний угол массы коробки на том же уровне? $y$ местоположение (если $y$ на вашей диаграмме вертикально)?
ЦМ системы из начального состояния находится в точке J. Значит, тело будет вращаться вокруг J. Так как ЦМ системы не должен двигаться (нет внешних сил). Но затем, если мы снова рассчитаем COM системы, он будет равен J' (как объяснялось ранее). Что касается нижнего угла, то он немного сместился (не видно на рисунке должным образом), J зафиксирован.

Гэри Годфри · Answer 1

Весь объект находится в состоянии покоя во внешней системе координат S, которая закреплена на вашем листе чертежной бумаги. То есть ЦМ объекта (точка J ) находится в $\vec{x}$ в S и $\vec{x}$ не меняется со временем. После того, как небольшая пружина (которая является частью объекта) поворачивает хвост относительно тела, новый ЦМ находится в точке J' , как вы нарисовали его на теле, за исключением того, что вы неправильно переместили J' от J на бумаге для рисования. . J' остается на $\vec{x}$ и вы должны были перерисовать согнутый хвост + тело ниже на бумаге, чтобы сделать это так.

Это просто сложная форма ответа Майкла Сейферта, который правильно звучал так: « J' окажется в исходном положении J в пространстве». Вам просто нужно было переместить свой второй рисунок так, чтобы буква J была на том же месте, что и буква J на бумаге для рисования.

ДжейАлекс · Answer 2

Если бы вы зафиксировали тело b и переместили хвост, то ЦМ был бы функцией угла хвоста. Используйте систему координат, в которой соединение J находится в начале координат, и найдите COM как функцию угла хвоста. $\theta$

С О М (θ) "=" (\begin{matrix} \frac{м_{б} с - м_{т} ℓ потому что θ}{м_{б} + м_{т}} \\ \frac{- м_{т} ℓ грех θ}{м_{б} + м_{т}} \end{matrix})

$\mathbf{COM}(\theta) = \pmatrix{ \frac{ m_b c - m_t \ell \cos \theta}{m_b + m_t} \\ \frac{ - m_t \ell \sin \theta}{m_b + m_t} }$

такой, что с $c = \frac{m_t}{m_b} \ell$ и $\theta =0$ COM находится в начале.

Теперь, когда тело b свободно, кинематически сустав может находиться в любом месте. Я использую координаты $\pmatrix{x_b \\ y_b}$ для расположения сустава.

Из кинетики задачи центр масс остается фиксированным в начале координат, что означает, что должно быть верно следующее

(\begin{matrix} {Икс}_{б} \\ у_{б} \end{matrix}) + (\begin{matrix} \frac{м_{б} с - м_{т} ℓ потому что θ}{м_{б} + м_{т}} \\ \frac{- м_{т} ℓ грех θ}{м_{б} + м_{т}} \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

$\pmatrix{x_b \\ y_b } + \pmatrix{ \frac{ m_b c - m_t \ell \cos \theta}{m_b + m_t} \\ \frac{ - m_t \ell \sin \theta}{m_b + m_t} } = \pmatrix{0 \\ 0}$

что дает следующее решение совместной позиции

{Икс}_{б} "=" - \frac{м_{б} с - м_{т} ℓ потому что θ}{м_{б} + м_{т}}

$x_b = -\frac{ m_b c - m_t \ell \cos \theta}{m_b + m_t}$

у_{б} "=" \frac{м_{т} ℓ грех θ}{м_{б} + м_{т}}

$y_b = \frac{ m_t \ell \sin \theta}{m_b + m_t}$

Поэтому, когда хвост смещается с $\theta$ как показано выше, сустав немного смещается вверх и влево. Но COM остается на (0,0).

Но поскольку внешних сил нет, ЦМ системы не должен двигаться, верно? Если он будет двигаться, то не нарушаем ли мы второй закон движения Ньютона?
Кроме того, я немного перегружен уравнениями в вашем случае, если возможно, объясните простыми словами.
@ Алу - это правда. Комбинированный ЦМ остается неподвижным, но его поворот ускоряется по вертикали. Начиная с состояния покоя вектор вертикального ускорения хвоста равен $\frac{M}{m_t \ell}$ при этом ускорение тела СОМ равно $-\frac{M}{m_b \ell}$ . Таким образом, ускорение комбинированного COM равно $м_{т} (\frac{М}{м_{т} ℓ}) + м_{б} (- \frac{М}{м_{б} ℓ}) "=" 0$ $m_t (\frac{M}{m_t \ell}) + m_b (- \frac{M}{m_b \ell}) = 0$
Как предполагалось в начальных условиях, ЦМ находится в точке разворота J, поэтому теоретически точка разворота J не должна двигаться. Извините, но я все еще не могу понять вашу точку зрения.
Для систем с несколькими телами объединенный ЦМ не движется (или движется с постоянной скоростью), но это не означает, что стержень не будет двигаться. Точка опоры — это не COM, она просто совпадает в этот момент. Каждая конфигурация угла поворота приводит к различному расположению ЦМ относительно основного корпуса (он перемещается вместе с хвостом).
@Alu - полностью переписал ответ, он надеется, что вы понимаете, что здесь происходит.

Майкл Зайферт · Answer 3

Майкл Зайферт

Если $J$ неподвижна в пространстве, то тело несвободно и на систему могут действовать силы, позволяющие ЦМ двигаться. С другой стороны, если $J$ не фиксируется, то COM останется в покое; а если "хвост" движется относительно "блока", то $J'$ окажется в исходном положении $J$ в космосе.

Алу

J ничем не поддерживается, т.е. она также может свободно перемещаться, как и вся система, находящаяся в свободном пространстве. Но, поскольку ЦМ системы находится в точке J, она не будет двигаться, так как на систему не действует никакая внешняя сила или крутящий момент.

Майкл Зайферт

@Alu: Я хочу сказать, что законы физики гласят, что COM остается фиксированным для изолированной системы. Пока

J

$J$ случается лежать на COM, он останется фиксированным. Но если распределение массы в теле изменится и

J

$J$ больше не лежит на COM, то

J

$J$ должен отойти от своего первоначального положения.

Алу

Пожалуйста, объясните диаграммой, показывающей положение тела, хвоста, сустава J и ЦМ системы. Предположим, что исходная конфигурация одинакова.

Майкл Зайферт

@Alu: У меня, вероятно, не будет времени рисовать диаграмму в течение следующих нескольких дней, но я постараюсь не забыть вернуться к этому, когда у меня будет больше времени. Честно говоря, приведенная выше диаграмма вполне могла бы подойти для этого, если бы вы изменили новую конфигурацию так, чтобы

J^{'}

$J'$ лежит на старом месте

J

$J$ .

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Алу

Билл Н

Алу

Билл Н

Алу

Ответы (3)

Гэри Годфри

ДжейАлекс

Алу

Алу

ДжейАлекс

Алу

ДжейАлекс

ДжейАлекс

Майкл Зайферт

Алу

Майкл Зайферт

Алу

Майкл Зайферт

Сохранение углового момента при приложении импульса

Доказать единственность тензора вращения, связанного с вращением твердого тела.

Крутящий момент относительно начала частицы с использованием момента инерции (в 2D)

Как вращается твердое тело, состоящее из двух частиц?

Совершает ли сила большую работу над протяженным телом?

Ускорение поворотной штанги

Цилиндр против цилиндра двойного радиуса катится по наклонной плоскости, какой из них побеждает?

Нахождение углового момента в частном случае

Полный угловой момент диска вокруг неподвижной оси

Может ли прецессия происходить без внешних сил?