Как измерить кривизну kkk в метрике FLRW?

Question

Как измерить кривизну kkk в метрике FLRW?

СРС

Как измерить параметр кривизны $k$ в метрике FLRW?

г с^{2} "=" - с^{2} г т^{2} + а^{2} (т) [\frac{д р^{2}}{1 - к р^{2}} + р^{2} г θ^{2} + р^{2} {грех}^{2} θ г ф^{2}]

$ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2]$ В частности, какое удобное уравнение (с участием

k

$k$ ), который можно использовать для измерения

k

$k$ ?

РЕДАКТИРОВАТЬ Я ищу ответ, который объяснит измерение кривизны $k$ с той же ясностью, что и измерение жесткости пружины $\kappa$ из одномерного простого гармонического уравнения $F=-\kappa x$ т.е. измерив приложенную силу $F$ (можно сделать с пружинным балансом можно) и соответствующий рабочий объем $x$ (по правилу метра) можно измерить $\kappa$ . Точно так же, если уравнение, включающее кривизну $k$ содержит нетривиальные физические величины (такие как компоненты тензора кривизны Римана и т. д.), я хотел бы знать, как измеряется каждая из них.

Ответы (2)

Как измерить кривизну kkk в метрике FLRW?

гертианский · Answer 1

На этот вопрос очень сложно ответить подробно, так как для вывода требуемых формул требуется несколько страниц математики (не существует такой простой подгонки, как $F=-kx$ как вы предложили)

Я не буду выводить формулу (ее можно найти, например, у Додельсона), но после некоторой работы вы получите:

Δ (м - М) "=" 5 бревно {(\frac{с}{{ЧАС}_{0}} \sqrt{\frac{к}{{Ом}_{т о т а л} - 1}} (1 + г)) С_{к} (\sqrt{\frac{{Ом}_{т о т а л} - 1}{к}} \int_{0}^{г} \frac{д г^{'}}{(1 + г^{'}) \sqrt{(1 + г^{'}) (1 - {Ом}_{Λ}) + {Ом}_{Λ} / (1 + г^{'})^{2}}})} - 5 бревно (\frac{1}{2} ((1 + г)^{2} - 1))

$\Delta(m-M) = 5\log\left\{ \left( \frac{c}{H_0}\sqrt{\frac{k}{\Omega_{total}-1}}(1+z) \right)S_k\left(\sqrt{\frac{\Omega_{total}-1}{k}}\int_0^z \frac{dz'}{(1+z')\sqrt{(1+z')(1-\Omega_\Lambda) + \Omega_\Lambda/(1+z')^2}} \right)\right\} \\ - 5\log\left(\frac{1}{2}((1+z)^2-1)\right)$

Где $\Delta(m-M) = (m-M)_{'real'\ universe} - (m-M)_{empty\ universe}$ . M можно получить, используя стандартные свечи, такие как сверхновые типа Ia, это легко вычислить. $(m-M)_{empty\ universe}$ по уравнению, аналогичному приведенному выше, и $m_{'real'\ universe}$ это просто величина, которую мы измеряем. Поэтому $\Delta(m-M)$

$S_k(...) = sinh(...), sin(...) or 1$ в зависимости от значения $k$

$\Omega_\Lambda, \Omega_{total}=\Omega_\lambda+\Omega_{matter}, H_0$ и k остаются неизвестными.

Следующим шагом будет измерение большого количества стандартных свечей на различных красных смещениях z и построение их графиков. $\Delta(m-M)$ отношение как функция z. Это должно подчиняться приведенному выше соотношению. Все, что осталось сделать, это запустить подходящий скрипт, который соответствует вышеуказанной функции для $\Delta(m-M)$ для различных значений $k, \Omega_\Lambda,...$ наилучшее соответствие дает нам наблюдаемую космологию.

На рисунке ниже вы можете увидеть такую подгонку из проекта, который я сделал в предыдущем семестре, где нам нужно было вычислить k для некоторого набора данных.

Очевидно, что подгонку выполнить сложно из-за вырождения в подгонке, и графики неопределенности могут быть построены следующим образом:

Мои результаты для приведенной выше подгонки были: $\Omega_{matter} = 0.286 \pm 0.031$ , $\Omega_{\Lambda} = 0.721 \pm 0.025$ , $H_0(km/s/MPc) = 70.3 \pm 2.58$ что согласуется с k = 0.

Надеюсь, это помогло :)

Возможно, вы могли бы сказать, что вам лучше всего подходит $k$ есть и его неопределенность? Кроме того, вы уверены, что ваше утверждение не должно быть $S_k(...) = \sin(...), \sinh(...)\text{ or }1$ а не то что у тебя? Судя по вашему первому графику, вы, похоже, получили результат, который " $k$ может быть не больше, чем x с неопределенностью y" результат, учитывая спреды в максимуме $z$ данные. Это так? Кроме того, именно так настоящие астрономы будут измерять $k$ ; Я мог представить, что есть несколько разных методов.
Я отредактировал свои результаты (хотя не могу найти свой окончательный результат на k). А ведь ты прав $S_k = sin, sinh or 1$ Я ошибся... Ну, как только вы получили свои космологические параметры, это просто вопрос получения k из них, и действительно вы получаете разброс по результату, но я, кажется, потерял его... Насколько я знаю, это наиболее распространенный метод «подгонки» космологий к наборам данных, поскольку он позволяет учитывать то, что произошло давно, если вы найдете стандартные свечи на этих красных щитах. Текущие исследования направлены на поиск этих объектов с высоким красным смещением.
Жаль, что вы его потеряли: это отличный практичный ответ. Пожалуйста, опубликуйте его, если найдете.
Спасибо, приятно это слышать :) Если у меня будет время в ближайшее время, я поищу его и отмечу вас в комментарии. Но моя магистерская работа в эти дни громко кричит на меня...

Джон Ренни · Answer 2

Вы просто измеряете отношение длины окружности к ее радиусу.

Возьмем пространственное подмногообразие и для удобства возьмем $a=1$ (единицы радиального расстояния всегда можно выбрать так, чтобы $a=1$ как любое выбранное время). Тогда пространственная метрика становится:

д ℓ^{2} "=" \frac{г р^{2}}{1 - к р^{2}} + р^{2} д θ^{2} + р^{2} {грех}^{2} θ д ф^{2}

$d\ell^2=\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$

Нарисуйте круг с собой в начале координат. Чтобы получить длину окружности, мы интегрируем вокруг экваториального угла. $\phi$ сохраняя $r$ фиксированный и $\theta$ фиксируется на $\pi/2$ . С $dr = d\theta = 0$ метрика становится:

д ℓ^{2} "=" р^{2} {грех}^{2} θ д ф^{2}

$d\ell^2=r^2\sin^2\theta d\phi^2$

Окружность тогда:

С "=" \int_{0}^{2 π} р д ф "=" 2 π р

$C = \int_0^{2\pi}\,rd\phi = 2\pi r$

что не должно нас сильно удивлять :-)

Теперь берем сантиметровую ленту и отмеряем расстояние до круга. В этом процессе мы сохраняем $\theta$ и $\phi$ исправлено так $d\theta = d\phi = 0$ поэтому наша метрика становится:

д ℓ^{2} "=" \frac{г р^{2}}{1 - к р^{2}}

$d\ell^2=\frac{dr^2}{1-kr^2}$

Итак, расстояние, которое мы измеряем, равно:

р "=" \int_{0}^{р} \frac{г р}{\sqrt{1 - к р^{2}}}

$R = \int_0^r\,\frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}}$

Интеграл зависит от знака $k$ . Для позитива $k$ (замкнутая вселенная) получаем:

р "=" \frac{{грех}^{- 1} (\sqrt{к} р)}{\sqrt{к}}

$R = \frac{\sin^{-1}(\sqrt{k}\,r)}{\sqrt{k}}$

и для отрицательных $k$ (открытая вселенная) получаем:

р "=" \frac{{грех}^{- 1} (\sqrt{| к |} р)}{\sqrt{| к |}}

$R = \frac{\sinh^{-1}(\sqrt{|k|}\,r)}{\sqrt{|k|}}$

Найти $k$ просто заменить $r = C/2\pi$ , где $C$ наша экспериментально измеренная окружность, и решить полученное уравнение для $k$ .

Это хороший и простой подход, но я не могу представить, чтобы это работало в экспериментальном контексте, ваш круг должен быть невероятно большим, чтобы это сработало. И вы также забыли, что k масштабируется таким образом, что k = 0 или +-1. Таким образом, ваша окончательная формула не может различать положительные и отрицательные кривизны.
@gertian: да, это не то измерение, которое вы могли бы провести на практике. Я отмечаю, что ваш ответ объясняет, как можно провести измерение с использованием реальных космологических данных, и я думаю, что это очень хороший ответ. Я думаю, что наши ответы дополняют друг друга, поскольку мой ответ является скорее принципиальным , а ваш - более практичным. Что предпочтет SRS, будет зависеть от того, какова его мотивация для вопроса. Кстати, в то время как мы обычно изменяем масштаб, чтобы установить $k = 0,\pm 1$ мы не обязаны этого делать.
Кажется, эта математика не работает. Я согласен с вашим выводом, но когда я действительно выполняю вычисления на сфере, я получаю неправильный ответ с вашей формулой. Если я использую базовую тригонометрию, я получаю эту формулу, которая дает мне правильный ответ: $р "=" {\sqrt{к}}^{- 1} с я н (\sqrt{к} р)$ $R=\sqrt{k}^{-1}\space sin\left(\sqrt{k}\space r\right)$ Есть идеи, почему есть разница между формулой, полученной с помощью метрики, и формулой, полученной с помощью триггера?

Как измерить кривизну kkk в метрике FLRW?

СРС

Ответы (2)

гертианский

Селена Рутли

гертианский

Селена Рутли

гертианский

Джон Ренни

гертианский

Джон Ренни

Глюонный суп

Поглощение реликтового излучения межзвездной средой и загрязнение галактическими микроволновыми фотонами

Почему «гравитационным» красным смещением пренебрегают в масштабах галактик и скоплений галактик?

Когда мы смотрим в разные стороны Вселенной, откуда мы знаем, что видим не одно и то же?

Космическая рамка отдыха

Аномалия Пионера наконец-то объяснилась?

Расположение точного центра наблюдаемой Вселенной

Как измеряется расстояние до далеких звезд и галактик?

Как Хаббл пришел к выводу, что Вселенная расширяется?

Что такое аномалия отношения потоков квазара?

Космологические модели, отличные от FRW